Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 14
Текст из файла (страница 14)
При расчете водородоподобного атома, приведшего к формуле (21.5), предполагалось, что ядро неподвижно, т. е. имеет бесконечную массу. В действительности же масса ядра М конечна. Поэтому фактически и электрон и ядро движутся вокруг общего центра тяжести. При рассмотрении задачи двух тел необходимо перейти в систему координат, связанную с центром масс. Все вычисления сохраняют силу, только при этом массу гп надо заменить приведенной массой м: 1 34 з (22.7) мо+о4 1+ мо Л4 где М вЂ” масса ядра. В результате этой замены формула (21.5) для уровня энергий сохранит свой вид, только вместо массы электрона то в эту формулу войдет приведенная масса 14, определяемая формулой (22.7). Постоянная Ридберга будет равна я е в ~~~о ~ и (228) 32лее$ао 32аое'„'ао то во 1+-- 1+ —" 7и м 32 е е о (22.8а) есть значение постоянной Ридберга в предположении бесконечности массы ядра.
64 Поэтому фактически формулы для излучения атома водорода и иона гелия выглядят следукацим образом: (22.9) (22.10) й„ йн= ! + ~'о Мн йр —— (22. 11) !+ то Мр Следовательно, получаем К,— В„К ( — — — ~~ Я вЂ” —, (22.12) / жа ~ло 1 ! арпа (.Мн Мр,) 2 Мн ' где учтено,что Мр — 2Мн, и, « Мн. Следовательно, для разницы частот излучения получается следующее выражение: Лы ы.— — — ж ы. ! ги~ ! 2 Мн 4000 ' (22.13) Эту разницу в частотах можно наблюдать.
Атомы дейтерия присутствуют в обыкновенной воде в составе молекул тяжелой воды, т. е. молекул воды, в которых атомы водо- 5 з э ж !оэ4 вб где Мн и Мн, являются массами ядра водорода и ядра гелия. Поскольку Мн, ж 4Мн, точного совпадения между линиями в спектре атома водорода и соответствующими линиями в спектре иона гелия не должно быть. Измерение разницы в положении линий блестяще подтвердили формулы (22.9) и (22.10).
Изотопический сдвиг спектральных линий. Аналогичное положение со сдвигом линий должно наблюдаться у изотопов атома водорода. Изотопами называются элементы, заряд ядра которых одинаков, а массы различны. Иначе говоря, ядра изотопов содержат одинаковое число протонов, но разное число нейтронов. Ввиду того, что химические свойства элементов определяются строением внешней части электронной оболочки атома, химические свойства изотопов весьма близки друг к другу, поскольку их электронные оболочки почти идентичны. Важнейшими из изотопов водорода являются дейтерий и тритий.
Ядро атома дейтерия, называемое дейтроном, состоит из протона и нейтрона. Ядро атома трития, называемое тритоном, состоит из протона и двух нейтронов. Различие в массах ядер различных изотопов приводит к сдвигу линий друг относительно друга в их спектрах излучения. Этот сдвиг линий называется изотопическим сдвигом. Он невелик. Например в случае дейтерия имеем рода замешены атомами дейтерия.
Пропорция атомов дейтерия в обыкновенной воде невелика: примерно один атом дейтерия приходится на пять с половиной тысяч атомов водорода. Поэтому линии излучения дейтерия в сравнении с линиями излучения водорода очень слабы. Чтобы их наблюдать, нужны очень длительные экспозиции при фотографировании спектра. По величине сдвига этих линий можно вычислить массу изотопов, а по интенсивности линий можно сделать заключение о концентрации изотопов.
Этот метод анализа изотопного состава веществ по изотопическому сдвигу линий излучения широко используется в практике. й 23. Недостатки теории Бора Теория Бора явилась крупным шагом в понимании новых квантовых закономерностей, с которыми столкнулась физика при изучении явлений микромира, отчетливо подчеркнула неприменимость классической физики для описания внутриатомных явлений. Эвристическая ценность теории Бора сохраняется до настоящего времени: не давая всегда достаточно точных и надежных количественных результатов, она позволяет отчетливо классифицировать и качественно интерпретировать многие явления. Однако с самого начала выявились существенные недостатки теории Бора.
Прежде всего эта теория была ни последовательно классической, ни последовательно квантовой, а была полуклассической, полуквантовой теорией. Недостаточность теории Бора выявилась уже при ее применении к атому водорода: давая правильно значения частот спектральных линий, она не давала возможности вычислять их интенсивности. За пределами теории оставались также вопросы поляризации, когерентности.
Теория не могла объяснить дублетный характер спектров щелочных металлов и мультиплетный характер спектров более сложных элементов. Попытки построить в рамках теории Бора теорию атома гелия, простейшего после водорода атома, окончились также неудачей.
Вне теории Бора оставался вопрос о квантовании многоэлектронных систем, благодаря чему она не может объяснить существование обменных сил, ответственных за химические связи в молекулах. В теории Бора оставался неясным вопрос о квантовании непериодических движений. Наконец, теория Бора не могла объяснить явление дифракции частиц. Поэтому теория Бора явилась очень важным, но все же переходным этапом от классической механики к последовательной квантовой механике. Задачи к гл.
б 6,1. Вычислить величину полной энергии электрона в атоме водорода на первой, второй и третьей орбитах (в эв). 66 Отв. (Р'о= — 3,4 эв, Яяо — — — 1,8 эв. 6.2. Пользуясь результатами предыдущей задачи, вычислить величину первого потенциала возбуждения 17, атома водорода н величину его потенциала ионизации О„,„. От в. (7, о ' 10,2 в, (/ = — — '-=13,6 в. е е 6.3.
Найти отношение постоянных Ридберга для водорода и гелия, если массы водорода, ядра гелия и электрона равны соответственно Ми=1,672 1О" г, Мне=6.644.10~о г, ело=9108.10 оо г. Отв. 1+— мо н и ~ 1 + о о 0 999593 Мн, Мн Мтт 6,4. Система из электрона и позитрона, движущихся вокруг общего центра тяжести, называется позитронием. Л1асса позитрона равна массе электрона, а заряд позитрона положителен и по абсолютной величине равен заряду электрона. Найти расстояние между позитроном н электроном в основном состоянии н вычислить ионизационный потенциал. Р е ш е н и е. Пользуемся формулами (21.4) и (21.5), подставив в них вместо массы электрона то приведенную массу системы электрон — позитрон )о = то/2: ао= ', =1,06 10 ' сл, ~оое~ Глава 1 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА Э 24.
Спонтанные и вынужденные переходы Спонтанные и вынужденные переходы. Пользуясь представлением о переходе атомов из одного сгационарного состояния в другое при поглощении и излучении квантов света, можно простым методом, предложенным Эйнштейном, получить формулу Планка для излучения абсолютно черного тела.
Пусть мы имеем замкнутую полость, стенки которой нагреты до некоторой температуры Т и излучают и поглощают фотоны. При излучении фотона атом переходит с более высокого энергетического уровня на более низкий энергетический уровень. При поглощении фотона происходит обратный переход атома с более низкого энергетического уровня на более высокий.
Таким образом, с более низкого энергетического уровня на более высокий энергетический уровень атом может перейти т о л ь к о в результате поглощения фотона, т. е. он может совершить переход только в ы н у ж де н н о, в результате воздействия на него поля излучения, в котором он находится. Самопроизвольно, или спонтанно, т. е. без воздействия внешнего поля излучения, атом перейти на более высокий энергетический уровень не может, так как зто противоречило бы закону сохранения энергии.
Поэтому переходы атома на более высокий энергетический уровень бывают только в ы н уж де н н ы м и, т. е. обусловленными внешними по отношению к атому причинами. Переходы атома с более высокого энергетического уровня на более низкий энергетический уровень возможны двух видов: во-первых, это вынужденные переходы, обусловленные внешними по отношению к атому причинами, т. е. обусловленные взаимодействием атома с полем излучения, в котором он находится; во-вторых, это самопроизвольные, или спонтанные„ переходы, обусловленные внутренними причинами и не зависящие от поля излучения, в котором находится атом.
Коэффициенты Эйнштейна. Рассмотрим равновесное состояние. Воспользуемся принципом детального равновесия, согласно которому прямые и обратные процессы каждого типа должны компенсировать друг друга. Рассмотрим два стационарных состояния атома, характеризующихся квантовыми числами и и а'. Энергии этих квантовых состояний обозначим через И7„и В'„ь причем для определенности пусть будет В'„) В'„. Прямым и обратным процессами рассматриваемого типа являются квантовые переходы атома между рассматриваемыми стационарными состояниями. С уровня п на уровень и' возможны как спонтанные, так и вынужденные переходы, а с уровня п' на уровень п возможны только вынужденные переходы.
Обозначим через А„„. отнесенную к единице времени вероятность, что атом, находящийся в состоянии и, спонтанно переходит в состояние и', излучив фотон энергии пы = = %'„— В'„. Если на уровне и находится )У„атомов, то в единицу времени спонтанно на уровень и' перейдет число атомов Й („), равное й)'„„= й)„А, ° (24.1) Через В„„обозначим отнесенную к единице времени и единице спектральной плотности излучения вероятность, что атом вынужденно, под воздействием внешнего поля излучения, перейдет из состояния п в состояние п' с излучением фотона, энергия которого Ь(о = (Є— В'„.
Число атомов й('„). вынужденно перешедших в единицу времени с уровня и на уровень и', дается формулой й) и и ' — й~йюВиы. (в) (24.2) Наконец обозначим через В„„отнесенную к единице времени и единице спектральной плотности вероятность, что атом вынужденно перейдет с уровня и' на уровень п с поглощением кванта Ьы= В'„— )1)'„. Очевидно, что если на уровне и'имеется )У„атомов, то в единицу времени на уровень а вынужденно перейдет число атомов й(„ „, равное (в) )у„,„= Ф„.й„В;„. (в) (24.3) Величины А„„, В„„и В„„называются коэффициентами Эйнштейна. 9 25. Условия равновесия В случае равновесия число атомов й(„ и Ж„' в состояниях п и и' не должно меняться со временем. Это означает, что число переходов с верхнего уровня на нижний, отнесенное к единице времени, должно равняться числу переходов с нижнего уровня на верхний, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
