Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 15
Текст из файла (страница 15)
е. (с) (в) (в) Ф „+Ф„„=Ж„„. (25.1) 69 Принимая во внимание соотношения (24.1) — (24.3), получаем //„А„„, +/У„й В„„. = /У„,й„В„„. (25.2) Согласно распределению Больцмана, число атомов с энергией Ф' пропорционально ехр( — 67/ЙТ), т. е. н т~ 51„.= Ае хт, Ж„= Ае (25-3) Подставляя вгяражения (25.3) в формулу (25.2), получаем и'д гкч — ьг А „е "т + В„„о„е = В„„о„е (25.4) Это равенство выражает условие равновесия между излучением и абсолютно черным телом. й 26. Формула Планка Из физических соображений ясно, что при неограниченном увеличении температуры спектральная плотность излучения также должна увеличиваться до бесконечности, т.
е. о — сопри Т вЂ” ~- со. Поэтому, разделив обе части равенства (25.4) на о,.„при Т -~ сю находим (26.1) В„„= В„„, т. е. вероятность вынужденного перехода с верхнего уровня на нижний равна вероятности вынужденного перехода с нижнего уровня на верхний. С учетом (26.1) из (25.4) получаем следующее выражение для спектральной плотности излучения: А„„, и, ь пп —,те — ! Теоретически определить величину отношения А„„'/В„„' в формуле (26.2) элементарная квантовая теория излучения абсолютно черного тела не может. Однако можно воспользоваться следующими полу- классическими соображениями. Из классической теории излучения абсолютно черного тела известно, что при не очень больших частотах спектр излучения абсолютно черного тела удовлетворительно описывается формулой Рэлея — Джинса (1!.8): (26.3) Поэтому'формула (26.2) при й « ЙТ должна переходить в формулу (26.3). При Ьы « 'яТ формула (26.2) дает й® В .
Ии (26. 4) 70 Сравнение (26.3) с (26.4) показывает, что А„„, )цдз В„„.=Фсз ' (26.5) Следовательно, формула (26.2) может быть записана следукхцим образом: з (26.6) ьт Это есть формула Планка для излучения абсолютно черного тела. Таким образом, весьма элементарные соображения, основанные на представлении о стационарных состояниях атомов и об излучении атомов как результате перехода атома из одного квантового состояния в другое, позволяют получить закон излучения абсолютно черного тела. Однако элементарная теория излучения весьма несовершенна.
Ее основным недостатком является невозможность вычисления коэффициентов Эйнштейна. Величину отношения коэффициентов (26.5) приходится находить с помощью соображений, лежащих вне рамок теории. Лишь последовательная квантовая теория дала возможность теоретически вычислить величину коэффициентов Эйнштейна. ЧА СТБ ««' НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА В первой части книги были рассмотрены основные опытные факты, которые показали неприменимость законов классической физики для описания явлений микромира.
Были указаны основные новые идеи, возникшие в физике в результате осмысливания новых экспериментальных фактов. Первоначальный синтез этих новых идей был дан теорией Бора. Однако теория Бора явилась переходным этапом, поскольку она не была последовательно квантовой теорией. Дальнейшее развитие науки привело к созданию последовательной квантовой механики. Во второй части книги будет изложена нерелятивистская квантовая механика, т. е.
квантовая механика частиц, скорость которых много меньше скорости света. Релятивистская квантовая механика будет изложена в третьей части книги. Глава 8 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА й 27. Получение уравнения Шредингера, не зависящего от времени Уравнение, описывающее движение микрочастиц, должно учитывать не только их корпускулярные свойства, но также и волновые свойства. Таким уравнением является уравнение Шредингера. Оно не сводится к каким-либо другим известным уравнениям физики, потому что содержит в себе принципиально новую идею о синтезе корпускулярных и волновых свойств частиц.
В этом смысле «вывести» уравнение Шредингера из каких-либо других известных уравнений невозможно. Однако можно указать путь, который позволяет проследить связь уравнения Шредингера с другими известными уравнениями. Распространение волн в классической физике описывается волновым уравнением Даламбера." 7»«р — — „— = О, 1 дчг "о где о0 — скорость распространения волны, а ~р — некоторая величина, характеризующая волну, например давление, величина сдвига, напряженность электрического поля и т. д.
Если <р описывает монохроматическую волну, т. е. ф(г, /) = Ч'(г) е-'"~, то для Ч" получаем Р'Ч'+ —, Ч'= О, (27.1) где учтено, что (ы/и,) = 2п/Л; Л вЂ” длина волны. Попытаемся волновые свонства микрочастиц описать уравнением (27.1), понимая под Л длину волны де-Бройля (р = 2Ы/Л). В законе сохранения энергии — '+(/= (Р 20$ ав заменим импульс микрочастиц выражением р = — . В резуль- Х тате имеем 4пФ зло — = — ()г' — (/).
Л2 а Подставляя последнее выражение в (27.1), получим Ч Ч'+ ф ()Р— и) Ч'=0. (27.2) Это уравнение называется волновым уравнением Шредингера. Оно является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. Эксперимент показал, что уравнение Шредингера (27.2) правильно. описывает поведение микрочастиц. Следовательно, можно считать, что соображения, приведшие к уравнению Шредингера, физически обоснованы. й 28. Интерпретация и свойства волновой функции. Принцип причинности в квантовой механике Интерпретация волновой функции.
Функция Ч', входящая в уравнение Шредингера (27.2), называется волновой функцией. Для того чтобы выяснить ее физический смысл, необходимо принять во внимание как корпускулярные, так и волновые свойства частиц. Вопрос об интерпретации волновой функции не является простым н в свое время вызвал много споров. Однако в настоящее время этот вопрос представляется достаточно ясным и поэтому не имеет смысла возвращаться к существу многочисленных дискуссий, посвященных этому вопросу. Мы укажем лишь на рассуждения, которые приводят к интерпретации волновой функции, принятой в настоящее время. 73 Пусть мы имеем электромагнитную волну, описываемую уравнением (27.1). Поток энергии, или интенсивность световой волны, в каждой точке пространства пропорционален квадрату функции Чг.
Но с другой стороны, световой поток можно представить себе как совокупность фотонов. В этом случае интенсивность светового потока пропорциональна плотности числа фотонов. Следовательно, можно заключить, что квадрат функции Ч'г должен быть пропорционален плотности числа фотонов или в общем случае квадрат Ч~' должен быть пропорционален плотности числа частиц. Как показали опыты, изложенные в первой части книги, волновые свойства присущи каждой отдельной частице. Поэтому интерпретацию Ч' надо видоизменить таким образом, чтобы она была применима к одной частице. Ясно, что число частиц в данном элементе объема равно общему количеству частиц, умноженному на вероятность нахождения индивидуальной частицы в рассматриваемом объеме.
Поэтому можно сказать, что квадрат функции Ч' (г) должен быть пропорционален плотности вероятности для частицы находиться вблизи соответствуюсцей точки, характеризуемой радиусом вектором г. Принимая во внимание, что функция Ч может быть, вообще говоря, комплексной, а плотность вероятности должна быть вещественной величиной, мы можем сказать, что величина !Ч'/'от = Чг'(г) Ч" (г) дт пропорциональна вероятности нахождения частицы в объеме пт, вблизи точки с радиусом-вектором г, и, следовательно, величина ) Чт)'= Ч*(г) Ч'(г) пропорциональна плотности вероятности нахождения частицы в точке г.
Коэффициент пропорциональности может быть найден из условий нормировки. Такая интерпретация показывает, что волновая функция Ч" не имеет непосредственного физического смысла и не может рассматриваться как волна в пространстве. С помощью волновой функции возможно лишь вероятностное описание движения микро- частиц: мы можем лишь предсказать вероятность того, что в определенный момент времени частица будет находиться в определенной области пространства. В рамках существующей квантовой механики иное описание движения частиц, кроме вероятностного, невозможно. Можно сказать, что вероятностный характер описания явлений является принципиальной особенностью квантовой механики.
Эта ее особенность не связана с наличием большой совокупности частиц, с помощью которых вероятностные предсказания могут быть проверены. Квантовая механика применима для описания поведения отдельных частиц (например, поведение электрона в атоме водорода), но относительно поведения этих отдельных частиц она в состоянии сделать только вероятностные суждения. Наличие 74 совокупности одинаковых частиц или систем необходимо лишь для опытной проверки вероятностных предсказаний, которые квантовая механика позволяет сделать относительно поведения отдельной системы нлн частицы. Условие нормировки волновой функции. Волновая функция является решением линейного дифференциального уравнения (27.2). Следовательно, она определяется этим уравнением с точностью до постоянного множителя, который может быть выбран таким образом, чтобы удовлетворить условию нормировки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
