Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Схематически круговые стационарные орбиты в атоме водорода изображены на рис. 24. Энергия !ог„ электрона, находящегося на и-ой стационарной орбите, дается формулой (2!.2), в которой под величиной г следует понимать радиус г„ и-ой орбиты. Следовательно, сиохосо 1 32поо1оао ио (21.5) Эта формула дает уровни энергии стационарных состояний электрона в водородоподобном атоме, которые изображены графически на рис. 25. Прп и- оо уровни энергии сгушаются к своему прео9 -0 17,.9 Серия Лаинаиа Рис.
25 дельному значению % = О. Сод- стояние атома с наименьшей энергией (и = 1) называется основным состоянием. -7 серия пашела Обобщение правил квантования -Я на эллиптические орбиты. Круго- 7 вые орбиты являются частным слу.е далииера Серия чаем орбиты электрона, движуще- -Х гося в кулоновском поле ядра. -д В общем случае движение электрона происходит по эллиптическим орбитам. Обобщение правил -й квантования на эллиптические орбиты было выполнено Вильсоном и Зоммерфельдом.
-10 Механическая система с у степенями свободы описывается с помощью обобщенных координат д; (1 =- 1, 2,..., 1) и обобщенных 1 импульсов рь которые определяются с помощью формулы дг дгй в которой через Т обозначена кинетическая энергия системы, а д„ являются производными по времени от обобщенных координат.
Если система имеет 1 степеней свободы, то на ее движение с помощью 1' квантовых чисел п1 (1 =- 1, 2, ..., 1) накладываются 7' квантовых условий, имею1цих следующий вид: ~р;йр;=2пй.п; (1.=1, 2, 3, ..., 1). (21.6) В этом выражении в качестве обобщенных координат д, выбираются такие координаты, которые разделяются, т.
е. в которых каждый импульс 76 является функцией только от соответствующей обобщенной координаты дь В качестве области интегрирования выбирается вся область изменения соответствующей переменной. Условия (21.6) позволяют из всего мыслимого по классической теории множества движений выделить некоторое счетное множество фактически допустимых движений, т. е. проквантовать движение системы.
Рассмотрим в качестве примера случай квантования эллиптических орбит водородоподобного атома. В качестве обобщенных координат удобно взять полярный угол ~2 и расстояние г электрона от начала координат совпадающего с точкой нахождения ядра, имеющего заряд+ Ле. Кинетическая энергия имеет вид Т=-7(г'+~в и, следовательно, обобщенные импульсы записываются следующим образом: ат ат р .=- — —. = тог'ц =- сопз(, р„= —. = тог, а~ аг где постоянство рт является следствием центрального характера действующих сил. Запишем еще закон сохранения энергии: Поскольку в рассматриваемом случае плоского движения система обладает двумя степенями свободы, то всего имеется два квантовых условия (21.6), которые записываются, очевидно, в виде: ~ р й~==2пЛ п, (21.8) $ р,дг=-2пй.п,.
(21.9) Целое число л называется азимутальным квантовым числом, а цечое число и, назйвается радиальным квантовым числом. Из условия р„=- М =- сопз1 следует: р„=-М=-и й, где учтено, что ч изменяется от О до 2п. Чтобы выполнить радиальное квантование (21.9), надо выразить обобщенный импульс р, в виде функции от г. Из закона сохранения энергии (21.7) следует: р„=- 1/ А ~ 2 — + —, В С где введены следующие обозначения: Поэтому условие радиального квантования (21.9) имеет вид ~ $/А+2--+ — г(г= — 2пй п„ причем область интегрирования включает в себя все возможные значения г, т.
е. от минимального значения до максимального и обратно до минимального. Минимальные и максимальные значения г являются теми значениями, при которых подынтегральное выражение обращается в нуль. Физически это соответствует тому, что в этих точках максимального приближения электрона к ядру и максимального удаления электрона от ядра радиальная скорость электрона обращается в нуль, а следовательно, обращается в нуль н радиальный импульс р„=- тг — — О.
Интеграл (21.10) вычисляется обычными методами и равен Итак, — (и +а)й 4яео у 2рдд1й Отсюда для энергии получаем следующее выражение: (пч Г где введено целое положительное число и: и= — и„+и„ называемое главным квантовым числом. Сравнивая выражение (21.11) для энергии стационарных состояний в случае эллиптических орбит с выражением для энергии (21.5) в случае круговых орбит, мы видим, что для эллиптических орбит получаются те же значения энергии, что и для круговых орбит с той лишь разницей, что входящее в выражение энергии для круговых орбит квантовое число п оказывается суммой азимутального и радиального квантовых чисел. Условиями квантования (2!.8) и (21.9) из непрерывного множества всевозможных эллипсов отбираются лишь определенные эллипсы, размеры и форма которых определяются квантовыми числами и, и п„„причем все эллипсы, для которых и + г, =- сопз(, энергетически эквивалентны определенной круговой орбите.
9 22. Спектр водородоподобного атома Спектральные серии атома водорода. В соответствии с условием частот Бора излучение атома происходит при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую. Пользуясь выражением (21.11), для частоты излучаемого света имеем следующее выражение: (22. 1) где Е~еча0 (22.1а) ~~а аа Формула (22.1) по виду совпадает с формулами (15.1) — (15.5), найденными эмпирически для частот, излучаемых атомом водорода. Величина Я, вычисленная по формуле (21.1а), при Л =- 1 с очень большой точностью совпадает с величиной )с в формулах (15.1) — (15.5), которая была найдена экспериментально. Таким образом, формула (22.1), полученная на основе элементарной квантовой теории Бора, правильно описывает спектр атома водорода. 62 Различные серии в спектре излучения атома водорода получаются в результате перехода электрона с внешних орбит на определенную внутреннюю орбиту.
Серия Бальмера (15.1) получается в результате переходов электрона с третьей, четвертой и т. д. орбит на вторую орбиту. Эти переходы изображены стрелками парис. 24. Серия Лаймена (15.2) получается в результате переходов электрона со второй, третьей и т. д. орбит на первую орбиту, как это изображено на рис. 24 с помощью пунктирных стрелок. Остальныесерии получаются переходами на третью, четвертую орбиты и т.
д. Переходы, приводящие к излучению различных линий в спектре атома водорода, могут быть также изображены на схеме уровней энергии атома. На рис. 25 стрелками изображены переходы, приводящие к излучению линий серии Бальмера и серии Лаймена. Другие серии получаются в результате переходов на третий уровень, четвертый уровень и т. д. Энергия ионизации атома водорода. Если атом поглощает энергию извне, то энергия электрона увеличивается и он переходит на более внешнюю орбиту. Если сообщенная электрону энергия достаточно велика, то он может перейти на орбиту с п =- оо, т.
е. покинуть пределы атома. В результате этого атом ионизуется. Энергия, необходимая для этого, называется энергией ионизации. Энергия ионизации для атома водорода в основном состоянии (и =- 1) на основании формулы (21.5) равна тое~ ~ион= 32лр ч,з — -13,6 эд. со и == 4гг (- —; — — ~-) (22.3) где 32л~ ' а (22.3а) есть постоянная Ридберга для атома водорода. В крайней ультрафиолетовой части спектра иона гелия лежит серия ьх,1=-4Й ( — — — -) . (22.4) Серия вз Это теоретическое значение для энергии ионизации находится в хорошем согласии со значением, полученным в результате экспериментальных измерений.
Спектр иона гелия. Простейшим после атома водорода водородоподобным атомом является ион гелия Не+. Вокруг ядра с зарядом Х =- 2 в этом атоме вращается один электрон. Формула (22.!) в рассматриваемом случае может быть записана следующим образом: „о=го( —,— —,)=я( —,— -- — ) О25) 2 имеет частоты, которые при п =- 4, 6,... совпадают с соответствующими частотами серии Лаймена, определяемыми формулой (15.2). При и = 3, 5, 7, ...
формула (22.5) приводит к частотам, лежащим между частотами серии Лаймена (15.2). Аналогичное положение у серии линии которой через одну совпадают с бальмеровскими линиями водорода. Эти линии первоначально наблюдались в спектрах некоторых звезд и ошибочно приписывались водороду. Впоследствии онибыли получены в лабораторных условиях при свечении чистого гелия. Однако более тщательные измерения положения линий показали, что полного совпадения между линиями спектра водорода и соответствующими линиями спектра иона гелия не наблюдается. Учет движения ядра. Это различие обусловлено конечностью массы ядра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
