Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Например, условие постоян- 119 ства фазы первого члена имеет вид Кà — р х ==- сопзС Дифференцируя это равенство по г, убеждаемся, что фазовая скорость направлена вдоль положительного направления оси х-ов. Аналогично анализируется второй член функции (4П5). Рассматривая для определенности движение в положительном направлении, необходимо положить В = О. Тогда на основании (42.3) волновая функция свободной частицы имеет вид плоской волны: Ч'(х, () =Ае (42.6) 1 Ч*Р(х=А2 1 Дх=ш, (42.8) и следует пользоваться условием нормировки на 6-функцию. Однако вместо этого часто пользуются способом нормировки на длину периодичности, которая заключается в следующем.
Предположим, что нас интересует движение частицы на участке длиной Е. В этом случае можно рассматривать не все бесконечное пространство, а лишь участок длины В. Вне этого участка волновую функцию можно считать периодически повторяющейся, т. е. можно наложить на волновую функцию следующее условие периодичности: Ч,(х+ В) = Ч'а(х). (42.9) Ясно, что после этого частица уже не может считаться полностью свободной, ее движение ограничено условием (4П9).
Благодаря этому спектр энергии частицы перестает быть непрерывным. Однако, если длина Е, выбрана достаточно большой, отличие движения частицы от свободного может быть сделано сколь угодно малым. 120 Уравнение (42.4) имеет однозначное, конечное и непрерывное решение при любых значениях энергии 1г'. Это означает, что спектр энергий свободной частицы непрерывен, т. е. энергия свободной частицы может принимать любое значение. Непосредственно видно, что скобки Пуассона (Й, р„) в случае свободной частицы равны нулю, т. е. (Й, р„) =9.
(42. 7) Это означает, что импульс свободной частицы является интегралом движения, т. е. импульс свободной частицы равен постоянной величине. С другой стороны, уравнение (42.7) показывает, что для свободной частицы оператор полной энергии н оператор импульса коммутируют. Это означает, что энергия свободной частицы и ее импульс являются одновременно измеримыми величинами. Нормировка на длину периодичности.
Поскольку спектр собственных значений свободной частицы непрерывен, нормировка собственных функций на единицу невозможна, так как ОР Спектр энергии может быть найден из условия (42.9), которое с учетом (42.6) принимает следующиц вид: Ае' ! (*-~- ) х А л «~х е (42. 10) или ЕЛ х (42.11) Отсюда видно, что рх не может принимать произвольных значений, а может принимать лишь дискретный ряд значений рх„, определяемых на основании (42.11) равенством (42.12) где лх — целое число.
Таким образом, в результате введения условия периодичности (41.9) мы от непрерывного спектра пришли к дискретному спектру: Рх. 2ххао лх. 2тд Юхо В дискретном же спектре можно воспользоваться условием ортоиормированности (32.4), которое в данном случае имеет вид 1 1 +-ь -ь 2х1 Мох'Ро г(х -Ах ~ е с дх= '1 1 --ь 2 1 51пп(л — л ) ( А Е пйи п=п (42.14) л(л ") ~ 0 при ПФП'. (42.13) Отсюда следует, что А= —,=, 1 ) 1. АЧ.=!, (42.! 5) 121 и система ортонормированных функций записывается следуюшим образом: Фх 1. 1 Б 2ла 2л рх„= Л,, х =- — Лх. (42.
16) Воспользовавшись формулой (42.13) для собственных значений энергии, нетрудно убедиться, что если Б имеет макроскопические размеры, то дискретные уровни Ю'„находятся очень близко друг к другу, почти сливаясь в непрерывный спектр. Благодаря этому при использовании вместо волновых функций непрерывного спектра волновых функций с нормировкой на длину периодичности мы допускаем не очень большую погрешность, но зато часто очень сильно Сравнение (42.18) с (42.19) показывает, что 1 У"2л и, следовательно, система функций непрерывного спектра, нормированных на б-функцию, имеет следующий вид: Ч"„(х)= ..
е **, й,= — *. (42.20) Плотность заряда и плотность тока. Из (42.6) следует, что дЧ' Г дЧ'* 1 — = — р Ч~ — * = — — р Ч~* дх а х ' дх а х н поэтому выражения (29.5) и (29.6) для тока и заряда принимают следующий вид: 9 = еЧ'"Ч' = е ~ А )', (42.21а) т. е. 1-= — Е= 9. Рх лт~ (42. 22) Формула (42.22) находится в согласии с выражением для плотности тока, известным из классической электродинамики. Для упрощения написания формул все вычисления в этом параграфе проводились применительно к одной координате.
Однако совершенно аналогичные вычисления можно провести применительно к двум другим координатам, а волновую функцию свободной 122 упрощаем вычисления и интерпретацию полученных результатов. Однако иногда полезно также пользоваться и волновыми функциями непрерывного спектра. Непрерывный спектр. В случае непрерывного спектра волновое число й принимает непрерывный ряд значений, а волновая функция имеет следующий вид: %, (х)=А,е'~ *. (42.17) Условие нормировки на б-функцию записывается следую1цим образом: ОЭ ОО ~ Ч"„' (х)Ч'а (х)1(х=А, *~ е'~ * *~*дх=б(л„— л').
(42.18) В теории интегралов Фурье доказывается, что О 1 2я — е*' 1" — "'1 О Дх = б (й — й') . (42. 19) Ч" (г, 1) = Ч' (х, 1) Ч" (у, 1) Ч" (г, 1), (42. 23) причем каждая из функций в правой части равенства определяется формулой вида (42.6). Поэтому волновая функция свободной частицы в трех измерениях имеет вид Ч'(г, 1) = — Ае (42.
24) где Рг = Рох + Рор + 1оог В' = — — = — — (Р + Ро + Р ). Ро 1 2мо 2о~о (42.24а) Величина А есть нормировочная постоянная. В случае нормировки на обьем периодичности аналогично условию (42.15) находим следующее значение нормировочной постоянной: А= 1 (42.25) )~Е„Е Е где У.о, Ь„, й, являются длинами периодичности в направлении оси х, у, г, соответственно. Волновая функция в этом случае записывается так: 1' х о о й = — п, 2и Х 2л 2и йп = — „пою Ио = — п„(42.26а) и Ео Е где и„, и„, и, являются целыми независимыми числами.
В случае непрерывного спектра вместо формулы (42.20) находим следующее выражение для волновой функции: Ч'х(г) = —;- е"", й = в . (2и) Го (42.27) Вместо формул (42.21) и (42.22) для заряда и тока получаются следующие формулы: '=е в А' (42.28) й=е~А~о, (42. 29) 123 частицы в трех измерениях Ч" (г, 1) представить как произведения волновых функций: 5 43. Частица в одномерной потенциальной яме (43.2) Общее решение этого уравнения хорошо известно: Ч' (х) = А з( п их+ В сы кх. (43.3) В силу граничного условия Ч" (О) =О заключаем, что В=О, (43.4) а в силу граничного условия Ч' (а) = О необходимо на величину х наложить следующее условие: л ха =- пл, к„= — и, и п=1, 2, (43.5) Это условие квантуег движение частицы.
На основании (43.5) и определения энергии через величину х в (43.2) получаем для уровней энергии следующее выражение: Ю'л= 2 — к'„= 2 —,— п', л=1, 2, 3, ... (43.6) л 2~к л 2щ~и2 э Эта формула показывает, что существует некоторая минимальная, не равная нулю величина энергии /Рлэ )р4= 2~ з аа (43. 7) 424 Бесконечно глубокая яма. Ход потенциальной энергии частицы в зависимости от координаты х изображен на рис. 26. На интервале (О, а) величину потенциальной энергии можно принять равной нулю, а вне этого интервала она обрзи щается в бесконечность. Вследствие этого Ф' частица при своем движении не может выйти за пределы (О, а) или, как говорят, она находится в потенциальной яме.
Поскольку вероятность нахождения частицы вне потенциальной бесконечно глубокой ямы равна нулю, волновая функция Ч' вне интервала (О, а) должна быть равна нулю. В силу непрерывности она должна г быть равна нулю в точках (х = О, х = а). Таким образом, для Ч" (х) получаются слеРкг. 26 дующие граничные условия: Ч'(О) = Ч" (а) =О.
(43.!) Уравнение Шредингера внутри ямы, где потенциальная энергия равна нулю, имеет следующий вид:1 соответствующая основному состоянию движения частицы. Волновая функция этого состояния имеет вид Ч',(х) =Аз(п — х а и ни в какой точке внутри ямы в нуль не обращаешься. Это свойство волновой функции основного состояния имеет общий характер: волновая функция основного состояния не имеет узлов, т. е. не обращается в нуль внутри рас- и сматриваемой области, а может обращаться в нуль лишь на границах.
11 Из (43.7) видно, что величина минимальной энергии с уменьше- 1 пнем линейных размеров ямы увеличивается. Физическая при- г чина этого заключается в том, что при уменьшении линейных Рис. 27 размеров ямы уменьшается длина волны де-Бройля частицы, соответствующая основному состоянию, а уменьшение длины волны де-Бройля означает увеличение энергии частицы. Таким образом, уточнение локализации частицы неизбежно сопровождается увеличением энергии частицы.
Это является одним из проявлений принципа неопределенности. Поскольку в рассматриваемом случае спектр дискреген, то условие нормировки а а Ч'*Ч'дх=А' ( з(п'кхг(х=А' — =1 1 2 для нормировочного множителя А дает значение Поэтому система собственных функций рассматриваемой задачи имеет следующий вид: Ч'„(х) = ~~ — - а)и — — х. /2 . яа (43.9) Одномерная яма конечной глубины. Рассмотрим случай потенциальной ямы, изображенной па рис. 27.
Предполагается, что при х ( О потенциальная энергия обращается в бесконечность. Это означает, что частица не может проникнуть в область х ~ О, и, следовательно, в этой области волновая функция равна нулю. Поэтому достаточно рассмотреть волновую функцию в областях (1) и (11) при х О, заметив, что в точке х = О в силу непрерывности волновая функция обращается в нуль.
125 Уравнение Шредингера в областях 1(0 < х < а) и П (а<х< < со) имеет вид (1) Ч",'+х,'Ч",=О, х,*= —,Ю, 1 (43. 10) (П) Ч, + ~~~ ()Р— Ь' ) Ч' = О. Случай й~ ) (7о. Уравнение Шредингера в области П: (П) Ч', "+х',Ч'з = О, х',.= —,— (Ю вЂ” (7о):> 0 (43 11) (43. 14) В области 1 уравнение остается без изменения. Решения прини- мают вид (1) Ч',=А,я(пн,х, (П) Ч,=С, -""+В~'". (43.16) В силу того, что волновая функция везде должна быть конечной, а е" при х -о-оо неограниченно возрастает, Оя в формуле (43.16П) необходимо положить равным нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
