Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Необходимо пояснить смысл множителя л(„„. Очень важную роль в анализе явлений микромира имеет принцип Паули, о котором более подробно будет сказано в 5 73. В применении к электронам он гласит, что в одном и том же квантовом состоянии не может находиться более одного электрона. Иначе говоря, не может быть двух электронов, имеющих одинаковые наборы квантовых чисел.
Излучение, описываемое формулой (44.19), происходит за счет перехода из квантового состояния п в квантовое состояние л'. Если в состоянии и' уже имеется электрон, то такой переход невозможен и множитель )У„„равен нулю. Этот множитель равен также нулю и в том случае, когда состояние и свободно, т. е. отсутствует электрон, который мог бы совершить рассматриваемый переход. Если же состояние и занято„а состояние и' свободно, то множитель 1т'„„равен единице.
Рассмотрим переходы между двумя стационарными состояниями Ч'„и Ч'„с энергиями 1Р'„и )Р'„. Волновая функция системы является суперпозицией этих состояний: 1 4 Чтобы воспользоваться принципом соответствия, необходимо в формуле (44.18) произвести усреднение как по координатам, так и по времени, и полученный результат приравнять выражению (44.19). Производя усреднение радиуса-вектора г по координатам, получаем (г) = ~ Ч'"гЧ' Ж =1С„1'+ ) С„!'г „„+ (44. 20) 133 где г„„= ~ Ч*„гЧ"„г(т, ы= а Из (44.20) следует, что — (г) = — оР [С*„С„г „е'"'+ С„" С„г „е — ™), (44.21) так как первые два члена не зависят от времени и при дифференцировании исчезают. Возведем (44.21) в квадрат и полученный результат усредним по времени, в результате чего члены, содержащие экспоненциальные временные множители, обратятся в нуль и получится следующее равенство: ( ага (г)) =2ы~/С„~~/С„!~/г„„)~, (44.22) где с помощью черты обозначено усреднение по времени.
Последнюю величину подставим в уравнение (44.18). Полученный результат на основании принципа соответствия следует приравнять выражению (44.!9). В результате получается следующее равенство: У„„.А „.Ьв =- — ~ ! С„(а) С„~'( г„„('. (44.23) Зяеа В случае стационарных состояний величина ~ С„~ ' есть вероятность нахождения электрона на уровне п„При излучении же происходит скачкообразный переход электрона из состояния и в состояние и', благодаря чему коэффициенты С„и С„.
изменяются скачком. Вычислить, чему при этом равняется произведение ) С'„'3 С„~ ', обычная квантовая механика не дает возможности. Чтобы получить формулу, согласующуюся с экспериментом, необходимо положить ж„„= ! С„)~1С„~~. Следует еще раз подчеркнуть„что обосновать справедливость этого равенства квантовая механика не в состоянии. Для коэффициента А„„получается выражение (44.24) 3 аа Отсюда по формулам (26.1) и (26.5) имеем хФс~ ! л~е~ В„„.=Впп= —,„„А ° = — —.,-~г„„~'.
(44.25) Таким образом, вероятности переходов квантовой системы„в результате которых происходит излучение, характеризуются матричными элементами радиуса вектора. Если матричный элемент радиуса вектора равен нулю, то говорят, что данный переход запрещен. 134 Переходы, при которых матричный элемент радиуса вектора отличен от нуля, называются разрешенными переходами. Правила, указывающие разрешенные и запрещенные переходы, называются правилами отбора. Правила отбора для осциллятора. Для нахождения правил отбора для осциллятора необходимо вычислить матричные элементы: х„„= ~ Ч'*„(х) хЧ'„(х) йх, (44.26) СО где функции Ч"„(х) даются формулой (44.16). Подставляя в (44.26) Ч"„ и Ч""„ и переходя к переменной интегрирования 5, определенной равенством (44.3), получаем х „= — С„.С„~ е-т-эН„Н„Ж. ОЩ63 Учитывая рекурентное соотношение' зН„($) = пН„, + — Н„+„ находим х„„= — фф(п ~ е ь'И„Н„~с15+ — ~ е — РН„П„+,гК)(= ~оо фф(п.2" '(и — 1)1)~пб„, „~+ + д 2""(п+1)1 )~пбл,тъ+1~ Подставляя в последнее выражение значения С„, имеем хпп = ~/ — (~Г 2 би-пы+ ф' б„1ь» ) .
(44.2?) Из последнего выражения следует, что матричный элемент отличен от нуля лишь для переходов, при которых квантовое число п изменяется на единицу. Это означает, что правило отбора для осциллятора имеет вид (44.28) Ьп=+ 1. Интенсивность излучения. Вероятность перехода характеризуется коэффициентом Эйнштейна: (44.29) Поэтому ичтенсивность спектральной линии, излучаемой при рассматриваемом переходе, дается формулой 1л „г = ЬвА„„~ = — а ! х„, „~ ~~.
(44.30) 1 ечо4 135 Воспользовавшись выражением для матричного элемента х„, „, (44.27), формулу (44.30) представим в следующем виде: 1 еесое )е, 1 = — 6СО.П. бпео скосе Выразив квантовое число и через энергию по формуле (44.!2) окончательно получим (44. 31) С другой стороны, по классической теории интенсивность излучения осциллятора 1 се "е 1 еъ'Ае бяео се (( ) ) 12кео се где А — амплитуда колебаний осциллятора, которая связана с энергией К осциллятора соотношением )р «еоо~ Ае 2 Исключая амплитуду А, получаем выражение для !„е: (44.32) Сравнение (44.32) с (44.31) показывает, что в области больших квантовых чисел, когда нулевой энергией )Р'о можно пренебречь по сравнению с энергией 1Р'„, квантовая формула (44.31) излучения осциллятора совпадаег с классической формулой (44.32).
Следует отметить, что это утверждение имеет общий характер: в области больших квантовых чисел движение квантово-механической системы с хорошей точностью может описываться формулами классической механики. й 45. Движение в поле центральной силы. Ротатор Собственные значения и собственные функции. Стационарные состояния частицы, движущейся в центрально-симметричном поле, описываются уравнением Шредингера, записанном в виде уе1р+ 2жо ()р (1( )) 1р Потенциальная энергия У (г) в этом случае есть функция расстояния частицы до центра сил.
Если от декартовых координат перейти к сферическим, то уравнение (45.1) разделяется. Как известно, оператор Лапласа в сферических координатах имеет вид (45.2) 136 где 1 д Г. д~ 1 дъ Уа, =-.— — ~~з)пŠ— )+ —.— —. ъ!па да ~, дв ) Мпъа д~рь Подставляя (45.2) в уравнение Шредингера и полагая Ч (.,О, р)=г(г)У(Е, р), получаем + г (1г' (7(г)1 Я 'г' 1 д l ъ ~И'~ 2~о ъ 1 Яд(, д) у Ч (45.3) (45.4) У(О, р)=Р(Е)Ф«р) (45.7) и обозначая постоянную разделения через !ъъ, для функции Р и Ф находим следующие уравнения: д ъ +р'Ф=О, (45.8) Общее решение уравнения (45.8) имеет вид Ф Ор) = Аеъвч + Ве- ъ кч. Из требования однозначности решения вытекает, что !ъ должно быть любым положительным или отрицательным целым числом. Поэтому все собственные функции уравнения (45.8) могут быть представлены формулой Ф Ор)= — е' ъ (гл=О, Ч-1, 4-2, ...) (45.10) 2я (45.9) Так как левая и правая части последнего равенства зависят от различных независимых переменных, эти части по отдельности должны равняться одной и той же постоянной, которую мы обозначим через Х.
Таким образом, для радиальной функции )т и сферической функции К (О, !р) получаем следующие уравнения: — — ~ гъ — ) + ~ — [йу — (У (г)) — — ~ И = О; (45.5) 1дГъдИ~Г2ть х з гъ дг ~, ' дг ) ~ Ьъ — — ~з)п6 — )+ . — +)Х=О. (45.6) 1 д /. дУ~ 1 дъУ ъ!пв дн ~ да ) ъ!пъз даръ Уравнение (45.5) зависит от вида потенциальной энергии 0 (г). Поэтому вид радиальных функций и собственные значения энергии определяются конкретным видом поля, в котором происходит движение частицы. Уравнение (45.6) не зависит от вида сферически симметричного поля, в котором происходит движение. Решение этого уравнения для всех сферически симметричных полей одинаково. Уравнение (45.6) допускает дальнейшее разделение переменных.
Полагая (45.13) УT(О, ер)=С, е' еР, (созО). Воспользовавшись значением интегралов хл е'( '- )ее(ер=2яб е +! Р! (Х) Р3 ° (х)е(х= — — бп, т т 2 (!+т)! 2!+1 (! — т)! -1 находим для коэффициентов С, следующее выражение: Ст э /21+ 1 (! — т)! $~ 4я (1+ т) ! * Е. В.
Г о б с о и. Теория сферических и эллипсоидальиых фуикаий. ИЛ, !952, стр. 96. !аз Перейдя в уравнении (45.9) к независимой переменной $ = соз О, можно зто уравнение записать в следующем виде: — ~(1 — Д „~ ~+ ~Л вЂ” — ~ Р=О. (45.11) Функция Р (соз 0) должна быть непрерывной и конечной при всех значениях угла О. Чтобы удовлетворить этому условию ", параметр Л должен быть равен Л =- 1 (! + 1), где 1 — неотрицательное целое число.
Решение уравнения (45.11) при этом будет иметь вид ! — лыт Р~ ($)= 2,1,— (1 — Р) з —,~5, „, ($' — 1)'. (45.12) Функции Р7 (соз О) называются присоединенными функциями Лежандра. Следует отметить, что при заданном 1, число и может принимать лишь (21 + 1) различных значений: т= — 1, — 1+1,...,1 — 1,С Условие нормировки для функции Ч': ~ Ч~*Р (т=1 может быть представлено в виде двух уравнений: )с')сгеог = 1, (45.1 4) е и зк ~ з!пОНО ~ )'*У йр=!.
(45.15) е о Запишем собственные функции уравнения (45.6) следующим образом: М Мг — Й2Й,=О, м„м — и'Й„=о, М,Й2 — Мгм,=б. (45.18) Таким образом, любая из проекций импульса и квадрат момента импульса 2!огут иметь одновременно онределенное значение. В сферической системе координат операторы М, М„, М, и М' имеют вид а г . д Д И.= —.(з(н р — -+с(аО . р — ) 1 ДО Д~р Ф д х М = —. (созгр — — с1д Оз(п!р — ~, У 1 (, ДО д~р)' м ь д (45.19) йув~* (45.20) где оператор 73, е, определяется равенством (45.3).
!39 Итак, окончательно имеем «'~ (О, гр) = ~г — — — е! еР~ (соз О). (45.16) 32 Г 21+ ! 11 — м)! ° т 4я (1+ т«! Момент импульса. Выражение для онератора момента импульса частицы дается формулами (35.10). Найдем правила коммутации для компонент этого оператора. Рассмотрим коммутатор М„Йу— — м„м„: Дг Д2 Д2 Дг дг 2 дг + уг дг дх Дгг ду Дх ду дг дх дг дх Ду — ух — — г — + гк — -- — ху — + 2 + +хУ вЂ” 2 — х — — хг д ) 2 ( —.) (У д — х д ) =гймг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
