Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 28
Текст из файла (страница 28)
д. Это означает, что имеются в виду электроны, орбитальные квантовые числа которых равны О, 1, 2 и т. д. Говоря о р-состоянии, 1-состоянии и т. д.„имеют в виду состояния движения, в которых орбитальное квантовое число равна 1, 3 и т. д. й 46. Прохождение микрочастиц через потенциальный барьер Потенциальным барьером называется область пространства, где величина потенциальной энергии больше, чем в окружающих областях пространства.
Рассмотрим для примера наипростейший случай одномерного движения с потенциальным барьером прямоугольной формы, изображенным на рис. ЗО. В областях 1 1 — со <к<О) и Ш (а ( х < со) потенциальную энергию 0„ частицы, не ограничивая общности, можно считать равной нулю. Область 1 11 .Ш 11 10 (х ( а), где потенциальная энергия частицы равна 1/9, является по- 0 а х тенциальным барьером. Если частица имеющая энергию )г', Рис.
80 движется в области 1 в положительном направлении оси к, т. е. по направлению к потенциальному барьеру, то по классической теории при 19' ( 1/9 частица пе сможет преодолеть потенциального барьера, поскольку ее энергия недостаточна для этого. В результате частица отразится от потенциального барьера, изменив направление своего движения на обратное. В случае Уг' ) 1/9 частица наверняка преодолеет потенциальный барьер и попадет в область И1, где будет продолжать двигаться с прежней энергией в положительном направлении оси х. Однако квантовая механика приводит к заключению, что в случае уг' ( уэ существует определенная вероятность проникновения частицы через потенциальный барьер из области 1 в область Н1, а в случае В' = 09 существует определенная вероятность отражения частицы от потенциалыюго барьера.
Явление проникновения частицы через потенциальный барьер называют иногда туннельным эффектом. Он имеет большое значение в ряде физических процессов. Коэффициент прохождения и коэффициент отражения. Явление прохождения через потенциальный барьер и отражения от него характеризуется с помощью коэффициента прохождения Р потенциального барьера и коэффициента отражения )с. Эти коэффициенты определяются как отношение плотности потока отраженных и прошедших частиц к плотности потока падающих частиц.
Очевидно, что 14б.1) О+ 1т =- 1. 145 10 заназ № !094 Прямоугольный потенциальный барьер. Рассмотрим для определенности случай (р' ( Уз и найдем коэффициенты Р и 1с. Уравнение Шредингера в различных областях имеет следующий вид: (1) Ч'"+й,'Ч',=О, й;=. 2 (Р==-йг, ! (11) Ч'" ,— яаЧ"г=О, й;= ~, ((/а — К)~О, ~ (462) где штрихами обозначены производныс по х. В области 1 имеется как падающая, так и отраженная волна: Чаз Агецз + Вге-ааз (46.
3) а в области Ш имеется только прошедшая волна, движущаяся в положительном направлении оси зп Чае= 4зе'Мп М (46. 4) Ч'г = Аге-аа + Вге"а.. (46.5) Плотность потоков падающих, отраженных и прошедших частиц равны соответственно: 1 1проп~ 1 1 '4з 1г Р= —. !!пад! !Аз! (46.6) (46.7) Из условий непрерывности волновой функции и ее производной в точках х = О, х = а находим следующие соотношения между коэффициентами Аа, Вз Лг Вм Аз: 146 В области 11 общее решение имеет, очевидно, вид Е !пад= и Ь" )Лг! ~ 1.,п= — — й(В,!', и По определению, коэффициенты Р и )с равны: Аз+ Вз = Аг+ Вг Аге ззп+ Вге "аа = Аз~ (й (Аз — Вз) =- ьг (Вг Аг) йг (В,ез а — А ге-"з') =- ЙЛз. (46. 8) (46.8а) (46.86) (46.8в) Из (46.8в) (46.8а) следует, что )+зл д Вз =- — Азе 2 Здесь «,/ (г лз " оо — 1г Так как (1 — зп) = ~1 + зп'„ то из последних двух уравнений следУет, что (Аз~ >>1Вз!.
ПоэтомУ можно положить В,=О. Решая уравнения (46.8), находим 1 — Гл з+п А, =- — — — А,е 2 2л 1 — еп л — з' Вз=- — — — Азе з . 2 2л Отсюда для коэффициента прохождения получаем следующее выражение: О =- ~ Аз ~з = 1Впз -з" = 1ел' " з~з™о1оо зг1 (46 9) ~лз~ =(+ ) е =(1+ 1' Коэффициент прохождения не слишком мал тогда, когда 2 Р 2пзо(и,— (Р)а<1. Для электрона (ьчо=-9,1 10 "г) а ш-зз а< -= ехь 2 ~Г2пзо (Зо — щ В,4 4г~о о' И7 Если, например, С1о — ((г 1 эв = 1,6-10 " эрг, то коэффициент прохождения отличен от нуля при а = 10 ' см.
В макроскопических явлениях туннельный эффект не и играет существенной роли. Потенциальный барьер произвольной формы. Потенциальный барьер произвольной формы можно приближенно представить в виде последовательности потенциальных барьеров прямоугольной формы, как это показано на рис. 31. (зле. Л Число частиц, проникших через некоторый прямоугольный барьер, будет начальным числом частиц, падающих на следующий прямоугольный барьер, и т. д.
Поэтому коэффициент прохождения барьера определится приближенно как произведение коэффициентов прохождения через прямоугольные 10» 147 потенциальные барьеры. Численный множитель, стоящий в выражении (46.9) при экспоненте, в случае плавного изменения потенциальной энергии изменяется медленно. Таким образом, в случае потенциального барьера 1/ (х) произвольной формы коэффициент прохождения /) можно приближенно представить следующим обра- зом: 2 е В=О«ехр ( — — ~ '1/2т«1(/(х) — К1«(х)- . (46.10) л ) Холодная эмиссия электронов из металла. Явление прохождения микрочастиц через потенциальный барьер находит подтверждение в случае холодной эмиссии электронов из металла.
Электро- ны в металле удерживаются иш некоторыми силами притяи, жения, так что для удале- ния электрона из металла " и, -ес« необходимо затратить опре- деленную работу. Это озна- ---- ---1.. чает, что потенциальная 1 энергия электрона вне металла больше, чем внутри и него, причем на границе меРис. 82 талл-вакуум потенциальная энергия резко возрастает (рис. 32). Электроны внутри металла занимают наинизшие энергетические уровни. Если вблизи поверхности металла имеется электрическое поле порядка10'в/см, которое стремится вырвать электроны из металла, то электроны начинают покидать поверхность металла.
Это явление называется «холодной эмиссией». С точки зрения классической механики оно не понятно: электрическое поле в металл не проникает и изменяет потенциальную энергию лишь вне металла, как это показано пунктирной линией на рис. 32. Для того чтобы покинуть металл, электронам необходимо преодолеть потенциальный барьер. Однако их энергия меньше, чем высота потенциального барьера. Поэтому с точки зрения классической механики электроны не могут покинуть металл.
Можно было бы предположить, что внешнее поле понижает высоту потенциального барьера, благодаря чему высота барьера оказывается меньше, чем энергия электронов в металле. При этом предположении возникновение «холодной эмиссии» можно было бы объяснить также и с точки зрения классической механики, но тогда ток эмиссии должен быть весьма большим и подчиняться таким закономерностям, которые не наблюдаются экспериментально. Поэтому предположение о понижении высоты потенциального барьера должно быть отброшено.
Явление холодной эмисси электронов из металла объясняется 148 квантовым туннельным эффектом. Вычисление коэффициента про- хождения сводится к вычислен1по интеграла 1 = -2- 1 $'' 2 О (11 (х) — (РИх, о У(х) = [/о — еЕх, (У(х )= Я7, который равен ! = — — — (и — (Р)'г* = —, 4 )С2то з Ео Зебй Е Ф где Ео=- — - (Уо — 1Р) м = 10 вlсм. 4У 2то о о зев Поскольку ток эмиссии пропорционален коэффициенту прохождения барьера, то в соответствии с формулой (46.10) зависимость тока эмиссии от напряженности электрического поля должна иметь следующий вид: ео 1 =!ое Такая зависимость тока холодной эмиссии от напряженности внешнего поля Е хорошо подтверждается экспериментом.
Радиоактивный а-распад. Из опыта известно, что многие тяжелые элементы самопроизвольно испускают а-частицы, т. е. ядра гелия, имеющие заряд + 2е и массу, примерно в четыре раза большую, чем масса протона. Вылетев из ядра а-частицы ускоряются кулоновским полем ядра. Закон а-распада определяется тем, что с точки зрения внешних условий он происходит самопроизвольно. Число дЖ распавшихся атомов в течение промежутка времени 4(г пропорционально величине этого промежутка и числу атомов 1о', которые могут испытать распад: АУ = — Л)УЖ. (46.11) Коэффициент пропорциональности Л называется постоянной распада. Интегрирование уравнения (46.1!) приводит к формуле )у(г)=Мое м, (46.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
