Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Поэтому можно написать ф~ 1 — С вЂ” — 1 — С, 51.7 2о!ооо 1 С оооо' !(21-1-1)епеоае !(2!+1)епеоье ' и окончательно представить выражение для Г в следующем виде: 1'=! С,, оо' (!+--) ° 4леоае (51.8) 1бб Из формулы (51.1) видно, что С, имеет размерность длины. Чтобы второй член был малым в сравнении с первым, надо, чтобы (С,!го) « « 1, где го — расстояние от ядра до ближайшего электрона. Учитывая, что в формуле (51.8) (епоее/4пеойе) = 1/ао, где ао — радиус первой боровской орбиты, мы убеждаемся, что поправочный член в (5!.8) действительно мал.
Все вычисления 2 47 проходят без изменения, лишь вместо ! во все формулы войдет величина 1'. Главное квантовое число (47.24а) замещается числом и'=1'+А+ ! =1-(-й+ ! — С ' =и+о(1), (5!.9) (1+ 2 ) ояеоао где о(1) = — Со (5!.9а) (!+ —,) -4.~И а формула (47.24) для уровней энергии заменяется следующей формулой: ео еХ гр еа саяе о 1 яооео 1 32яЪ ао (1 +" +1)е 32лее ае (и+а(0 ! о где в ((у введено два индекса, поскольку теперь энергия зависит не только от главного квантового числа п, но и от орбитального квантового числа 1. За- сд висимость энергии от а я. асс..
орбитального квантового числа составляет принципиальное отличие уровней энергии атомов ще- "1 лочных металлов от уровней энергии атома водорода. Схему уровней энергии атомов ще- -2 лочных металлов нельзя представить в функции лишь одного главного квантового числа: уровни энергии, соответствующие одному и тому дмяяя дир Луеааа же главному квантовому сеРия свао я числу, но с различными орбитальными числами, не совпадают друг с другом. В качестве примера -Х на рис. 36 приведена схема уровней атома гласная сааия лития. Наинизшим уровнем энергии является Рис. Зб 2з-состояние (п=2, 1= =0), поскольку состояние с п = ! уже занято двумя электронами, образующими остов водородоподобного атома. Ближайшим по энергии состоянием является состояние с и = 2 и1 = ), т.
е. 2р-состояние. Показанное на 1бб рис. 36 взаимное расположение уровней качественно легко может быть получено нз формул (51.9) и (51.16). ,, '~~;:,6 '. '.",;:,'!! *', уэ)мф(ЙФ!' бган(~Ф! ~,:.~; . '-;" "; ;91$~:!';.::::;::":.;;";:,~'":,:.",:"; .*:.7!.""Ам н Ф::"'-'т~:.4м."ч1~,.',.%~' л Рис.
87 Схема уровней других щелочных металлов имеет аналогичную структуру. В качестве примера на рис. 37 дан вид спектра испускания атома натрия. 9 52. Спектры щелочных металлов Правила отбора. Излучение происходит в результате перехода оптического электрона с одного энергетического уровня на другой. Однако не все переходы возможны. Возможными являются лишь переходы, разрешенные правилами отбора, которые для одного электрона даются формулами (45.26) и (47.40)„т.
е. имеют следующий вид: Лп = любое, И = ~ 1, (52.1) т. е. главное квантовое число может изменяться на любую величину, а орбитальное квантовое число — лишь на единицу. Это означает, что возможны переходы лишь между соседними по 1 уровнями, т. е. между з- н р-состояниями, между р- и д-состояниями, между д- и 1-состояниями и т. д., как это и изображено на рис. 36. Резонансная линия. Наибольшее число атомов в соответствии с распределением Больцмана находится в наинизшем энергетическом состоянии. Лля атома лития в наннизшем энергетическом состоянии оптический электрон находится в состоянии 2з (см.
рис. 36). Ближайшее возбужденное состояние есть 2р-состояние. В соответствии с распределением Больцмана в этом состоянии находится больше всего возбужденных атомов. Поэтому следует ожидать, что линия излучения за счет переходов из 2р-состояния в 2з-состояние является наиболее интенсивной. Имеется еще один фактор, влияющий на интенсивность линии,— вероятность соответствующего перехода. Эта вероятность зависит от разности энергий между уровнями: она уменьшается при уменьшении этой !6? разности. Обычно дело обстоит таким образом, что линия излучения за счет переходов между основным состоянием атома и первым возбужденным является самой интенсивной. Поэтому она называется резонансной линией.
Частота этой линии в случае лития условно может быть обозначена следующим образом: врез = 28 — 2р~ (52. 2) т. е. частота в,, излучается в результате перехода электрона из состояния 2р в состояние 2з. Главная серия. Поскольку при переходах главное квантовое число и может изменяться на любую величину, возможны переходы в состояние 2з из всевозможных р-состояний. Получающаяся в результате этих переходов серия линий называется главной серией.
Ее частоты могут быть условно обозначены следующим образом: (52. 3) в=28 — гпр(т=2,3,4,...), т. е. частота в излучается в результате переходов электрона из состояний тр (т = 2, 3, 4, ...) в состояние 2а В спектре атома лития имеются, кроме главной, и другие серии. Важнейшие из них следующие. Первая побочная (или диффузная) серия. Частоты этой серии даются следующей формулой: в=2р — пЫ, гп=3,4,5, .. (52.4) Эта серия называется диффузной потому, что ее линии несколько размыты, не очень резки. Причина такой диффузности линий будет объяснена несколько позднее.
Вторая побочная (илп резкая) серия. Частоты этой серии даются следующей формулой: в= 2р — тпз, гп=3,4,5. (52.5) Причина того, почему линии этой серии, в отличие от линий диффузной серии. являются резкими, будет очевидна из дальнейшего. Следующая серия, получающаяся за счет переходов электрона из )-состояний в Зб-состояние, лежит в инфракрасной части спектра. Нетрудно построить также и другие серии, однако, чтобы не загромождать изложение, мы ограничимся наиболее существенными сериями. Спектры других щелочных металлов. Мы рассмютрелп более подробно лишь спектр лития. Спектр остальных щелочных металлов имеет совершенно аналогичную структуру. Необходимо лишь принять во внимание, какое состояние является основным.
Например, у натрия основное состояние есть Зз-состояние. Поэтому резонансной линией у натрия является линия в = Зз — Зр, а формула частот главной серии записывается следующим образом: в=За — гпр, т=3,4„5, ... (52.5) 168 Совершенно аналогично формулам (52.4) и (52.5) могут быть записаны формулы для диффузной и резкой серии спектра излучения атома натрия. Д 53. Дублетная структура спектров щелочных металлов. Спим электрона При анализе спектров щелочных металлов с помощью спектроскопических приборов высокой разрешающей силы обнаруживается, что каждая из линий излучения в действительности расщеплена на две линии, т.
е. является дублетом. Величина расщепления имеет следующие ярко выраженные закономерности: а) у линий главной серии величина расщепления не является постоянной, а меняется от линии к линии; б) у линий диффузной серии расщепление одинаково у всех линий; в) у линий резкой линии расщепление одинаково. Наличие расщепления у линий показывает, что энергия уровней зависит не только от главного квантового числа и и орбитального числа 1, но н от некоторой дополнительной величины, которая несколько изменяет энергию уровней. Ясно, что величина этого изменения энергии уровней имеет порядок величины энергии расщепления линий, которая очень мала.
Поэтому этот дополнлтельный фактор дает небольшую поправку к энергии, определяемой формулой (51.10). Иожно сказать, что электрон имеет некоторую дополнительную степень свободы, которая сказывается при излучении. Если обозначить квантовое число, соответствующее этой дополнительной степени свободы, через т„то можно сказать, что энергия уровней электрона зависит от трех квантовых чисел, т. е. (55.1) а не от двух, как это предполагалось в формуле (5!.10). Таким образом, в физике впервые пришли к необходимости приписать электрону внутреннюю степень свободы. В дальнейшем был открыт ряд других явлений, для объяснения которых оказалось необходимым допустить у электрона существование этой внутренней степени свободы.
Пришлось допустить, что электрон обладает собственным механическим моментом количества движения, называемым спнном электрона. Кроме спина, электрон также обладает магнитным моментом. Для того чтобы получить количественное согласие теории с экспериментом, необходимо допустить, что механический момент электрона — спин — по абсолютной величине равен (55.2) !69 где 6 — постоянная Планка. Поскольку спин есть момент количества двюкения, формула (53.2) записана в полной аналогии с формулой (45.20а) для момента количества двюкения частицы. Проекции момента количества движения на некоторое направление даются формулой (45.206).
Очевидно, что в случае формулы (53.2) проекция спина на избранное направление может иметь лишь два значения: ! ! Мое еле~~ шо + о ° Гпе (53. 3) Существование механического момента не может быть объяснено вращением электронов, потому что в этом случае приходится допустить существование линейных скоростей, ббльших скорости света. В самом деле, максимальная величина момента вращения электрона получается, если всю его массу считать сосредоточенной на поверхности по экватору. В этом случае для определения скорости точек экватора получаем уравнение епосго = ) Д(о | в (53.4) где го — радиус электрона, т, — масса электрона.
Величина спина (М,~ дается формулой (53.2). Отсюда получаем 1м,( ив= ' —, „— 10" м/сек, еооео (53.5) Отсюда с учетом (53.3) следует, что относительно некоторого произвольного направления магнитный момент электрона может ориентироваться лишь двумя способами, когда его проекции на это направление равны: ел Мвг= з: (53.7) Наличие магнитного момента у электрона позволяет объяснить дублетный характер спектров щелочных металлов, так как он дает дополнительное взаимодействие, которое называется спин-орби- 170 где в качестве радиуса электрона мы взяли его классическое значение го = 2,8.
10 " см. Поскольку скорость света с = 3 10' м/сск, для объяснения спина с помощью вращения электрона приходится допустить существование вращения с линейными скоростями, большими скорости света, что противоречит теории относительности и должно быть отвергнуто. Поэтому объяснить происхождение спина электрона исходя из какой-либо наглядной механической модели не представляется возможным. Для объяснения экспериментальных фактов наряду со спином приходится допустить наличие у электрона магнитного момента, который связан со спином следующим соотношением: е Ме — „, й4м о'о тальным взаимодействием.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
