Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Правило для сложения моментов количества движения в общем случае может быть получено в результате очевидных обобщений рассуждений з 55. Более строгое доказательство этих правил может быть получено в результате применения формул для сферических гармоник н дается в соответствующих математических руководствах. Пусть имеются два орбитальных момента М!, и М!„величина которых определяется квантовыми числами 1! и 1м т.
е. (М,, (= й У1 (1, + Ц, ~ М„! = й |/12(1+1). (56())) Сумма этих механических моментов с учетом пространственного квантования определяется как механический момент МЬ=М!24 М!2! (56. 2) величина которого дается формулой: (М,~=5 У'ЦЬ+ Ц, (56.3) причем квантовое число Е может принимать одно из следующих значении: (12+12) (1!+12 1) ' ! ~1! 12~ (56.4) Вычислим число способов, которыми могут складываться два момента. Это число способов равно числу возможных значений 1„ даваемых формулой (56.4). Пусть для определенности 1, ) 12. Тогда формула (56.4) может быть записана в виде т- = (1! + 12) (1! + 12 1) ° ° ° 1! — 12. (56.
5) В этой последовательности чисел до нуля не хватает 1„2,... ... (1, — 12 — 1) т. е. (1, — 1, — 1) чисел. Поэтому число чисел в этой последовательности равно (1, + 1,) — (1, — 1,— 1).= 21, +1. (56.6) АНаЛОГИЧНЫМ ОбраЗОМ раССМатрИВаЕтея СЛуЧай 12 ) 1ь дЛя КОТО- рого число различных способов взаимной ориентации получается равным 21,+ 1. Поэтому можно сказать, что число способов, которыми механические моменты с орбитальными квантовыми числами 1, и 1, могут складываться с учетом пространственного квантования, равно У!,!, = 2 пп и (1!12) + 1, (56.7) где т(п (12, 1Д означает меньшее из чисел 1, и 12.
Проекции полного момента Мз иа избранное направление, 182 например на ось г, даются обычной формулой вида (55.4), т. е. в данном случае такой формулой: Мт,,— Ьть та= — Ь, — Е.+1, ..., 1.— 1, Е. (56.8) Отсюда видно, что полное число различных ориентаций полного момента Ма относительно избранного направления равняется 21.+ 1. Правила сложения нескольких моментов получаются в результате последовательного применения правила для сложения двух моментов, которое только что изложено. Правила сложения спиновых магнитных моментов. Эти правила совершенно аналогичны только что изложенным. Пусть имеется У электронов, векторы спинов которых равны М„(! = 1, 2, ..., Л!). Полный спиновый момент всех электронов определяется как вектор Ма, равный сумме векторов спинов отдельных электронов: м =Хм!, (56.
9) !=1 причем абсолютная величина этого вектора дается формулой: ~М,~=Царя(5+1), (56.10) в которой квантовое число полного спина Я может принимать следуюшие значения: Л! Л! — — — 1, ..., 0 при Л! четном, 2 ' 2 Ф Л' ! 2 ' 2 1' ' 2 при Л! нечетном. (56.11) Нетрудно видеть, что это правило действительно является применением правила сложения моментов (56.4), поскольку Л' 1 1 1 2 2 2 2 (56.12) Возможные проекции полного спина электронов на ось г даются формулой Мах = Игла. юв = — 5, — 5 + 1, ..., 5' — 1, Я, (56.13) т. е.
число возможных ориентаций полного спина равно 23 + 1. Возможные типы связи. Свойства атома зависят от того, каким образом происходит образование полного момента атома. Л!ажно себе представить два пути. 1. Орбитальный момент каждого электрона атома складывается со спиновым моментом этого электрона, образуя полный момент электрона М,. После этого полные моменты М, различных электронов атома складываются между собой, образуя полный момент атома Мз.
Такая связь электронов в атоме называется (1,!)-связью. 183 2. Орбитальные моменты различных электронов атома складываются друг с другом, образуя полный орбитальный момент атома Мы Спины отдельных электронов складываются друг с другом, образуя полный спиновой момент атома Мз. После этого полный орбитальный момент атома складывается с полным спиновым моментом атома, образуя полный момент атома Мэ. Такая связь электронов в атоме называется (Т., 5)-связью, или рассел-саундерсовской связью.
Можно, конечно, представить себе и некоторую промежуточную связь, когда часть электронов связывается по схеме (1, 1)-связи, а часть электронов связываетси по схеме (),5)-связи, и полный момент атома образуется как сумма полных моментов этих групп электронов. Однако такой комбинированный случай на практике не играет существенной роли. Какая из возможных связей осуществляется фактически, зависит от характера взаимодействия между электронами. Если сила взаимодействия спина электрона с его магнитным моментом, о которой говорилось в э 53„больше, чем энергия взаимодействия орбитального и спинового моментов электрона с другими электронами, то осуществляется (1, / )-связь.
Если же сила взаимодействия между спиновыми и орбитальными моментами всех электронов больше, чем сила взаимодействия между спиновым н орбитальным моментами каждого электрона, то осуществляется (Т., 5)-связь. Анализ экспериментального материала показывает, что в большинстве случаев осуществляется (1., 5)-связь. Поэтому в теории строения атомов рассел-саундерсовская связь играет главную роль. Рассел-саундерсовская связь. В соответствии со сказанным полный момент атома Мз в этом случае дается формулой М,= М,+М„ (56.14) где Мс — полный орбитальный момент атома, образованный из орбитальных моментов отдельных электронов в соответствии с формулами (56.2) — (56.4); Мв — полный спинозой момент атома, образованный из спинов отдельных электронов в соответствии с формулами (56.9) — (56.13).
По формулам сложения моментов из (56.!4) следует, что полный момент атома равен !М, =-й Р'.1(.)+Ц, (56.15) где 1 может принимать следующие значения: 2 =(Т.+5), (Т.-г5 — 1),..., ~ Т.— 5,. (56.15а) Число способов, которыми может быть образован полный момент атома при данном квантовом числе Е полного орбитального момента атома и при данном квантовом числе 5 полного спина атома, равно йьа=2пп'п(1., 5)+!. (56.16) Обычно 8 (Т.
и поэтому число способов дается формулой Флз = 25+ 1. (56.17) Проекция полного люмента на ось г, по общим правилам люжег принимать следующие значения: Мее = лай (56.18) где (56.18а) Таким образом, различное число способов ориентации полного момента атома относительно произвольного направления равно 2) + 1. Поскольку квантовое число 1 орбитального момента отдельного электрона равно целому числу или нулю, квантовое число 1. полного орбитального момента атома может быть равно также либо целол1у числу, либо нулю.
Это следует непосредственно из формулы (56.4). Из формулы (56.11) непосредственно видно, что квантовое число Б полного спина может быть либо целым числом, либо полу- целым. Отсюда на основании формулы (56.15а) следует, что квантовое число.1 полного момента атома может быть либо целым, либо полуцелым в зависимости ат величины квантового числа полного спина.
Если полный спин атома полуцелый, то и квантовое число полного момента атома палуцелое. При целом спине полный момент атома также целый. Полный магнитный момент атома. Полный магнитный мол1ент атома )л,н„равен векторной сумме полного орбитального магнитного люмента )лл и полного спинового и магнитного момента )лн. 1лнонн = Мь+)лз.
(56 19) причем 1 е )ль = ~ — М~, (56.!9а) 2 ме р,= — ' М.. (56.196) Величина магнитных моментов и правила пространственного квантования для >у них получаются из соответствующих формул для механических мол1ентов с учетол1 формул (56.!9), (56.19а), (56.
19б) . На рис. 43 изображено векторное сложение орбитального и спинового механического и магнитного мол1еитов атома. гиромагнитное отношение для спина в два раза 1 1те 3 Рис. ел Ввиду того, что больше, чем гиро- 1ай магнитное отношение для магнитного момента, полный магнитный момент атома не лежит на одной линии с полным механическим моментом. В изолированном атоме как изолированной механической системе полный механический момент сохраняется. Следовательно, вектор Мх сохраняет свое направление в пространстве, а векторы полного орбитального момента Мс и полного спина Ма прецессируют вокруг направления полного момента. Благодаря этому векторы полного орбитального и магнитного момента также прецессируют вокруг направления полного механического момента и вместе с ними прецессионное движение совершает и полный магнитный момент атома р„„,„. Полный магнитный момент атома может быть представлен как сумма двух векторов: Рполн = Рг+ Иг е сь) (56.
20) Переписав равенство (56.14) в двух формах: М =-М вЂ” М, Ма== Мх — Ма (56.22а) (56. 226) и возводя последние равенства в квадрат, получим аналогично (55.10) следующие формулы для косинусов углов между соответствующими векторами: „„(М М ) (+ ь з ((~+))+(.(~+)) — ~(~+1) (5625,) 2(Мр( ) Мь( 2~/~У ) ~/'й(( ( )) соз(Ма, Мэ)= — = — (-+ )+ ( --) --(=+ ), (56.256) 2~ )пХ( (ма ~ 2 )/'/(1+1) 1,'Я5+1) 186 где )г,, — составляющая полного магнитного момента на направление, параллельная полному механическому моменту, )хг — состав- (Л.) лающая полного магнитного момента, перпендикулярная направлению полного механического момента Прецессионное движение совершается быстро.
Поэтому в процессах, зависящих от полного магнитного момента атома, происходит обычно усреднение величины полного магнитного момента атома по многим периодам прецессии. Среднее значение перпендикулярной составляющей полного магнитного момента равняется нулю. Поэтому среднее значение полного магнитного момента сводится к р~, т. е. равно проекции полного магнитного момента на направление, параллельное полному механическому моменту. В связи с этим, когда говорят о полном магнитном моменте атома, имеют в виду именно эту величину и говорят коротко, что это есть полный магнитный момент атома.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
