Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 54
Текст из файла (страница 54)
В этом случае 12 Е~ (О) Е~ =Ер(0) (6.63) Из приведенных выше оценок для Е~ (О) следует, что условие МТ«Ек(0) выполняется для всего диапазона температур, при котором металлы существуют в твердом виде. Это означает, что соотношение (6.63) справедливо для всех реализуемых на практике случаев. Более того, во многих ситуациях поправка к Е~ (О), определяемая выражением (6.63), оказывается ничтожно малой, так что ею можно пренебречь и считать, что Е~ Ед(0).
Действительно, если взять Ед(0) =5 эВ, то при комнатной температуре, т. е. при 1сТ=0,025 эВ, относительная поправка к Ек(0) в выражении (6.63) составляет Е -Е (О) ' ' =2.10 =0,002%. Е~ (О) ~2Е что р=,~2т~Е, а о= —. Они имеют следующий вид: -о 368 Однако для понимания ряда физических явлений, таких, например, как изменение теплоемкости металлов при низких температурах илн объяснение термоЭДС, зависимость Е~ от Т имеет принципиальное значение. Выше мы рассмотрели распределение свободных электронов в металле по энергиям.
Наряду с распределением по энергиям при анализе поведения электронов в металлах используются также распределения электроное по импульсам р и по скоростям о. Эти распределения получаются нз (6.54) и (6.56) с учетом того, длр- 2 з 2 — Е<Р)4, (664) к Й р /(2во) — Ен 1 ехр — +1 КТ сй — — — Г(и)Ып. (6.65) и Л (топ /2-Е~1 ехр +1 *хТ В частности, они позволяют найти средний импульс (р) и среднюю скорость (и) свободных электронов в металле. Вырожденный электронный газ. Проведенное рассмотрение относится главным образом к случаю вырожденного электронного газа, т. е.
газа, свойства которого существенно отличаются от свойств классического идеального газа вследствие неразличимости одинаковых частиц в квантовой механике. Отметим, что газ, состоящий из квантовых частиц, оказывается вырожденным тогда, когда среднее расстояние между частицами (а) становится меньше или сравнимым с дебройлевской длиной волны частицы Хв, т. е. (а) < Хь.
Именно с этим связано то обстоятельство, что квантовые распределения Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака в случае разреженных газов, когда это условие нарушается, переходят в классическое распределение Максвелла — Больцмана. Поведение газа в существенной степени зависит от его температуры. Температурой вырождения называется температура, ниже которой проявляются квантовые свойства газа, обусловленные тождественностью его частиц. Для газа, состоящего из бозе-частиц, температура вырождения определяется как температура, ниже которой происходит бозе-конденсация, т.
е. переход заметной доли частиц в состояние с энергией Е = О. Именно с бозе-конденсацией связаны такие интересные физические явления, как сверхтекучесть жидкого гелия, т. е. его способность протекать через тонкие щели " капилляры без какой-либо вязкости, и сверхпроводимость некоторых металлов и сплавов. 369 Для газа, состоящего из ферми-частиц, температурой вырождения является температура Ферми Ту, определяемая из соотношения (6.61). Как следует из (6.60) и (6.61), температура вырождения тем больше, чем меньше масса частиц и чем больше их концентрация, поэтому Т особенно велика у электронного газа в металлах. Действительно, масса электрона очень мала (п~- = 0,91 10 кг), а концентрация электронов в металлах достаточно велика (10 ...10 м ), что, согласно (6.60), приводит к значению температуры Ферми порядка 10 К (см. табл. 6.1).
При 4 температуре Т < Т~, т. е. при 1Т < Е~ (0), электронный газ в металлах является вырожденным, а при температуре Т > Тн, т. е. при кТ > Еу (0), — невырожденным. Поскольку температура Ферми для металлов имеет значение порядка 10 К, то электрон- 4 ный газ в металлах оказывается вырожденным при всех температурах, при которых металл остается в твердом состоянии.
В полупроводниках характер поведения электронного газа зависит от концентрации носителей заряда (электронов и дырок), которая обычно значительно меньше, чем концентрация электронов в металле. Для многих чистых беспримесных полупроводников электронный газ может оказаться невырожденным уже при температуре Т>300 К. Такой электронный газ следует рассматривать как классический газ, подчиняющийся статистике Максвелла — Больцмана. В примесных полупроводниках при высокой концентрации донорной примеси электронный газ может оказаться вырожденным вплоть до температуры Т -10 К.
Такие полупроводники 3 называются вырожденными полупроводниками. Для обычных газов, состоящих из атомов или молекул, являющихся ферми-частицами, температура вырождения близка к абсолютному нулю. Поэтому такие газы во всей области температур вплоть до температуры сжижения являются невырожденными н для описания их статистических свойств используется классическая статистика Максвелла — Больцмана. 370 Подводя итог описанию поведения электронного газа в металлах, остановимся на явлении сверхпроводимости.
Сверхпроводимость была обнаружена в 1911 г. Х. Камерлинг-Оннесом в опытах по измерению сопротивления ртути при очень низких температурах. Она заключается в том, что при температуре Т„называемой критической (для ртути Т, =4,15 К), металл переходит в сверх- проводящее состояние, находясь в котором не оказывает никакого сопротивления движению потока электронов. Таким образом, сверхпроводимость представляет собой сверхтекучесть электронного газа. Но электроны являются ферми- частицами, а сверхтекучесть, как уже отмечалось в 6.1 и 6.3, может наблюдаться только в системе бозе-частиц. В 1957 г. Дж. Бардин, Д. Купер и Дж. Шриффер показали, что электроны, взаимодействуя через решетку кристалла, могут объединяться в так называемые куперовские пары.
Суммарный спин такой пары равен нулю, а это означает, что куперовская пара является бозоном. Направленное сверхтекучее движение куперовских пар электронов и создает сверхпроводящий ток в металлах. Задача 6.5. Вычислите интервал между соседними энергетическими уровнями свободных электронов в металле при Т = 0 вблизи уровня Ферми. Считайте, что концентрация свободных электронов а=2 10ж см Решеиие. Воспользуемся выражением (6.58), переписав его в виде Г2 тр ГЕ АЕ, язяз где Ьл — изменение числа электронов при переходе на соседний энергетический уровень, а ЬŠ— разность значений энергий ближайших энергетических уровней.
Поскольку, как уже отмечалось, на каждом уровне при Т =0 находится два электрона, то Ла = 2. Подставляя и приведенное соотношение выражение для энергии Ферми (6.60), получаем 2 ~в~ (Зх~л) Это значение настолько мало, что обнаружить его практически невозможно. Поэтому энергетический спектр свободных электронов в металле можно считать непрерывным (квазииепрерывным).
371 Задача 6.6. До какой температуры нужно нагреть классический электронный газ, чтобы средняя энергия его электронов была равна средней энергии свободных электронов в серебре при Т=О 1~7 Энергия Ферми для серебра Ег (0) = 5,51 эВ. Резиенае. Среднее значение энергии свободных электронов в металле определяется в соответствии с (6.59) как ) ЕР (Е) 7Е (Е) =' ) Р(Е)ж о При Т = 0 функция распределения свободных электронов по энергиям Г(Е) имеет вид (6.57), поэтому верхний предел интегрирования следует заменить на Ег (0).
Интегрируя, получаем егйб ) ЕзЪЕ ~ Ефз,1Е о Средняя энергия электронов в случае классического электронного газа (Е) = — ЕТ. 3 Поскольку по условию задачи (Е) = (Е), то температура Т, при которой выполняется это равенство, 2 Ег(0) 5 /с Подставляя в это выражение значение Ег (О) для серебра, получаем Т= 2,55 10 К. Отметим одно важное обстоятельство. При нагреве вырожденного электронного газа лишь очень незначительная часть электронов изменяет свою энергию. Это те электроны, энергия которых лежит в интервале (Ег (0)-ЕТ, Ег (0)). Действительно, поскольку вплоть до температуры плавления металла выполняется условие 372 ьт'« Е. (О), то доля электронов, изменяющих свою энергию при нагреве металла, оказывается ничтожно малой.
Поэтому средняя энергия электронов при изменении температуры меняется столь незначительно, что этим изменением можно пренебречь и считать, что 3 (Е) = — Ег (О) и не зависит от температуры. Таким образом, из 5 квантовой теории следует, что электронный газ в металле, в отличие 3 от классического газа, для которого (Е) = — ?гТ, не обладает теп- 2 лоемкостью. Этот результат согласуется с экспериментальными данными по теплоемкости твердых тел.
Задача 6.7. Сколько свободных электронов приходится на один атом калия, если энергия Ферми калия Ег = 2,14 эВ? Плотность калия р = 862 агам'. Решение. Энергия Ферми при не очень высоких температурах зависит от температуры слабо (см. соотношение 16.63)). Поскольку в широком диапазоне температур вплоть до температуры плавления калия выполняется условие кТ « Ег (О), то с достаточной точностью мож- но считать, что йз 2 Ег = Ег (О) = — (Зх~л) з . г, Пусть на один атом калия приходится з1 свободных электронов, тогда концентрация свободных электронов в и концентрация атомов калия л, связаны соотношением л = г1в,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
