Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Чтобы выявить физический смысл энергии Ферми, проанализируем зависимость распределения Ферми — Дирака от энергии Е. Иачнем анализ со случая Т = О. Конечно, утверждение о том, что абсолютный нуль температур не достижим, остается в силе. Говоря о Т =О, будем считать, что температура Т может быть сколь угодно близка к абсолютному нулю, т. е.
Т -+ О. Обозначим через Е~ (0) значение энергии Ферми при Т = О. Из вида распределения (6.49) следует, что в случае Т = 0 (л) =1 при Е<ЕР(0) (л) =0 при Е>ЕР(0). (л) 1,0 359 Это означает, что все квантовые состояния с энергиями Е < <ЕР(0) оказываются занятыми фермионами, а все состояния с энергиями Е > ЕР (0) — свободными. Таким образом, при Т = 0 энергия Ферми ЕР (0) является максимальной энергией, которой могут обладать ферми-частицы. График зависимости (л) д от Е при Т =0 приведен на Т 0 рис. 6.8.
Распределение Ферми— Дирака в этом случае представ- 0,5 лает собой ступенчатую функцию единичной высоты обрывающуюся при Е = ЕР (0) . 0 Е~(О) Е Вид зависимости ~л) от ' 'Ф-Д Рнс. 6.8. Распределение энергии частиц Е при температу- Ферми — дирака прн Т= 0 (п),р ьТ рах, отличных от нуля, приведен 1,0 Т~0 ) на рис. 6.9. ! В этом случае резкий скачок (и) от единицы до нуля )Ф-Д становится более размытым н 0 Е (0) Е происходит в области энергий, ширина которой порядка кТ.
Рис. 6.9. Распределение ФеРми — Чем выше температура, тем шиЛирака при Т -„й О Ре область, в которой (и) меняется от единицы до нуля, и тем более плавно происходит переход от заполненных состояний к незаполненным. Отметим, что, как следует из (6.49), при любой температуре значение (и) 1 при Е=Ер равно —. 2 Наряду с энергией Ферми Ер при анализе поведения ферми- частиц вводятся также импульс Ферми ру и скорость Ферми 0,5 ор, определяемые соотношениями рр — —.,)2щЕ~ н пр = л то (6.50) При Т = О это максимальные импульс и скорость, которыми мо- жет обладать ферми-частица.
6.5. Электронный газ в металлах 360 Применим статистику Ферми — Дирака к описанию поведения электронов проводимости в металлах. Будем пользоваться моделью свободных электронов, согласно которой часть атомных электронов может свободно перемещаться внутри проводника. Модель свободных электронов в металлах предполагает, что при образовании кристаллической решетки от атомов отщепляются некоторые слабее всего связанные с ними (валентные) электроны. Опцепленные электроны становятся общими для всех атомов и могут свободно перемещаться в кристалле. Именно эти электроны, в отличие от электронов, заполняющих внутренние электронные оболочки атомов, обеспечивают злектропроводность металлов. Поэтому их называют электронами проводимости.
Следует отметить, что электроны проводимости в металлах, вообще говоря, не являются абсолютно свободными и испытывают аимодействие с ионами, находящимися в узлах кристаллической решетки. Однако в первом приближении этим взаимодействием можно пренебречь. Справедливость такого подхода подтверждается, в частности, высокой проводимостью металлов, что может иметь место только в случае достаточно свободного движения электронов внутри проводника.
Таким образом, мы будем рассматривать идеальный газ свободных электронов, для которых металлический образец является потенциальной ямой (см. 4.4). Проанализируем поведение электронного газа при Т=0. В этом случае электроны располагакпся на самых нижних доступных для них энергетических уровнях.
Согласно принципу Паули, в каждом состоянии может находиться не более одного электрона, Г 1'1 но так как электроны могут различаться проекцией спина ~+ — ~, 1, г1' то на каждом энергетическом уровне будет находиться по два электрона с различной ориентацией спинов. Схематическое распределение электронов по энергетическим уровням показано на рис. 6.10. Отметим, что число этих уровней очень велико. Е,<О1 Ел,„=ЛЯ о — спин вверх ~ ° — спин вниз ~ гис.
6.10. Заполнение энергетических уровней электронами при Т=О Зб1 3/2 д(Е)= о У ГЕ. „т„з (6.51) Число состояний, приходящихся на интервал энергий от Е до Е + йЕ, получаем, умножая число квантовых состояний я ( Е) на ширину энергетического интервала т(Е. Умножая затем зто произведение на (п),в д, т. е. на вероятность заполнения данного энергетического состояния, находим число электронов д)У, энергия которых лежит в интервале от Е до Е+ г1Е: Н)т' = я '(Е))(п), йЕ. (6.52) Интегрируя зто выражение по энергии, получаем полное число свободных электронов в металле: 362 Два электрона заполняют самый нижний энергетический уро вень.
Третий и четвертый электроны находятся на первом возбуж денном энергетическом уровне, следующая пара электронов — на втором возбужденном уровне и т. д. Если число электронов в ме )У галле равно Ф, то при Т = 0 будут заполнены первые — уров- 2 ней с энергией Е ь Е .
Все остальные уровни с энергией Е > Е будут свободны. Сравнивая полученный результат с распределением Ферми — Днрака при Т = О, приходим к выводу, что максимальная энергия электронов Е совпадает с энергией Ферми Е~(0). Следует отметить, что, хотя энергия электронов в металле квантуется и энергетический спектр электронов является дискретным (см. выражение (6.19)), энергетические уровни расположены настолько плотно, что энергетический спектр электронов можно считать практически непрерывным (квазинепрерывным). Численные оценки, подтверждающие справедливость такого подхода, выполнены в задаче 6.5. Найдем функцию распределения электронов проводимости по энергиям.
Плотность квантовых состояний электронов в металле, т. е. число состояний, приходящихся на единичный энергетический интервал, согласно (6.29), имеет вид Ф= ) я(Е)(н) //Е. о (6.53) Выражения (6.52) и (6.53) удобно записывать не для полного числа электронов в металле Ф, а для концентрации электронов и = —. С учетом (6.51) получаем Ф /2 3/2 (6.54) - Дщз/2 и = ) Л,.
//Е. (6.55) о я ~ ехр~ ~)+1 ~Š— Е йТ Я 3/2 „2~3 (Е Е,') ехр~ ~+1 /Т ,/'2 3/2 о ГЕ, Е<Ер(0), яай О, Е>Е~(0) (6.57) и Распределение электронов по энергиям описывается выражением 363 входя3цая в выражения (6.54) и (6.55), называется функ//ией раснределения свободных электронов по энергиям. При Т = 0 функция Г(Е) имеет вид Д 3/2 з '~Ег)Е' Е ( Е~(0) ил 0, Е > ЕР(0). (6.58) 0 ~~(Е)ят(Е)йЕ (г) = = — ~ ~(Е)Е(Е)йЕ. ~ Г(Е) 1Е о (6.59) Получим выражение для энергии Ферми ЕР(0) при Т=О. Для этого воспользуемся соотношением (6.55). Поскольку при абсолютном нуле температуры (л) „=1 при Е(ЕР(0) и (л) =0 при Е>Е~(0), то верхний предел интеграла в (6.55) нужно заменить на ЕР (О).
Интегрируя, получаем 364 Е Зависимость функции рапределения (6.57) от энергии при Т=0 приведена на рис. 6.11. Из физического смысла функции распределения следует, что площадь под кривой Г(Е)численно равна концентрации п свободных электронов Е (О) Е в металле. Отметим, что функции распре- деления играют в статистической Рис. 6.11. Ввд фУнкции Рас- физике очень важную роль.
Так, лределеивя Г(Е) при Т=О например, если известна функция распределения частиц по энергиям Г(Е), то в рассматриваемой системе можно найти среднее значение любой физической величины Т", зависящей от Е. Оно определяется следующим образом: М~) /2 3/2 2 /2 3/2 о Отсюда находим Ег (О): вг 2/3 Е~ (О) = — (Зн л) 2л/о (6.60) Это очень важное соотношение, которое позволяет, зная концентрацию электронов л, найти энергию Ферми Е~ (О), или, наоборот, по известной энергии Ферми найти концентрацию свободных электронов в металле. Оценим значение энергии Ферми для свободных электронов в 22 -3 28 -3 металле при Т=О. Пусть л=5 10 см = 5.10 м, тогда г (1,05 10 341 2 Ег (О) = ' (3 3,14 .
5 10 ) 3 = 8 10 ~ч дж = 5 эВ 2 09110 3о Таким образом, в общем случае энергия Ферми электронного газа в металлах составляет несколько электрон-вольт. Наряду с энергией Ферми вводится понятие температуры Ферми Т, которая определяется следующим образом: МТ~ -— Е~(0) или Т~ = Е,(0) й (6.61) 365 При значении Е~ (О) = 5 эВ температура Ферми составляет Т~ —— = 60 000 К, что более чем в 200 раз превышает комнатную температуру. Значения энергии Ферми, рассчитанные с помощью соотношения (6.60) для различных металлов, приведены в табл. 6.1.
Здесь же ланы значения температуры Ферми Т~ и скорости Ферми ~~ектРонов г/у, найденные из соотношений (6.61) и (6.50) . Таблица 6.1 Рассмотрим теперь случай ненулевых температур (см. рис. 6.9). Как уже отмечалось, ступенька в распределении, характерная для Т = О, в этом случае размывается и переход от заполненных электронами уровней к незаполненным происходит более плавным образом.
Схематическое распределение электронов по энергетическим уровням при Т > О показано на рис. 6.12. -'кТ Ея(0) о — спин вверх ~ ° -СПИН ВНИЗ ~ Рнс. 6.12. Заполнение энергетических уровней электронами при Т~О 366 Все состояния, энергия которых меньше энергии Ферми на величину порядка хТ, заняты электронами. Все состояния, энергия которых превосходит энергию Ферми на величину порядка 7гТ, оказываются свободными. И только в области энергий шириной пор дка ЕТ вблизи энергии Ф рми име я уров ж ча ично полненные электронами.
Отметим, что, хотя ширина этой области, ,ак правило, невелика по сравнению с энергией Ферми, эта область играет очень важную роль. Только электроны, заполняющие уровни в этой области, могут принимать участие в различных физических процессах, происходящих в металлах. Только их энергия может изменяться в ходе этих процессов. Зависимость функции распределения Г(Е) от энергии электронов при Т > 0 представлена на рис. 6.13. Поскольку, как и в Р случае Т=О, площадь под кривой Г(Е) численно равна концентрации и свободных электронов в металле, то площади участков Я~ и Яз оказываются равными.
Площадь каждого из этих участков определяет число электронов в единице объема металла, пеРешедших пРи нагРе- Рнс. 6Д3. Ввд функции распреве обРазца с заполненных УРов- деленна Е(Е) прн 7 ~0 ней на незаполненные. Получим выражение лля энергии Ферми Ег при отличной от нуля температуре металла, используя соотношение (6.55): (6.62) О ехр +1 Это выражение позволяет в принципе найти энергию Ферми Е~ к'к Функцию температуры Т и концентрации электронов и. Од- 367 пако в общем случае интеграл в (6.62) точно не берегся. Прибли женное значение интеграла удается получить при кТ«Ер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
