Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Введем оператор перестановки частиц в рассматриваемой системе Р; . Действие этого оператора заключается в том, что он переставляет местами 1'-ю и )'-ю частицы системы. Так, например, если имеется функция Ч'(ц1, ..., пх, г), зависящая от координат частиц системы, то действие оператора перестановки Р; на эту функцию можно представить следующим образом: „рестановкой координат 1-й и ~-й частиц, также являетсяреше„„ем уравнения Шредингера. действительно, пусть волновая функция Ч' является решением Уравнения Шредингера, тогда дЧ' 1л — = НЖ.
дг Подействуем на левую и правую части этого уравнения оператором Р,". Так как опеРатоР пеРестановки не зависит от вРемени, то его можно внести под знак производной по времени Ж ~ Р Р) = Р; (Й'Р). С учетом соотношения (6.5) получаем И д (фЧ') = Й(Р„-Ч'). Таким образом, волновая функция Р Р также является решением уравнения Шредингера. Проводя перестановки любых других пар частиц, мы будем получать новые состояния системы, которые в силу тождественности частиц не будут отличаться от исходного состояния.
Обобщение этого результата можно сформулировать следующим образом: в системе одинаковых частиц реализуются лишь такие состояния, которые не меняются при перестановке частиц местами. Данное утверждение получило название принципа тождественности спиваковых частиц. Это очень важное положение в квантовой механике. Оно не вытекает из основных постулатов квантовой механики, но и не противоречит нм. Справедливость этого принципа подтверждается согласием полученных на его основе результатов с опытом.
Симметричные и антисимметричные состояния. Пусть ~~~новая функция Ч'(д1,..., д1,„1) описывает состояние системы, содержащей Ф одинаковых частиц. Действуя на нее оператором перестановки Р;, получаем 321 РйЖ = ХЧ'. (6.7) Уравнение (6.7) представляет собой уравнение на собственные функции и собственные значения оператора перестановки Рй.
Для того чтобы найти Х, подействуем на левую и правую части уравнения (6.7) оператором перестановки Р;.%=ХР Р. Поскольку дважды применяемый оператор перестановки не меня- ет волновую функцию Ч', то с учетом (6.7) получаем т.е. Х =1 и Х =+1. Такимобразом,собственными кциями г оп ато а Р- являются и кото ые и пе е ановке коо- динат1-й и '-й частицлибоост яне симметричными и антисимметричными относительно перестановки частиц. Полученный результат означает, что состояния системы из М одинаковых частиц описываются волновыми функциями, которые либо не меняются (симметричны), либо меняют знак (антисимметричны) при перестановке местами любой пары частиц.
В ре- 322 Согласно принципу тождественности одинаковых частиц, получившаяся волновая функция Ч'(дп..., д,..., д;,..., д,ч, г) должна описывать то же самое состояние, что и исходная волновая функция Ч'(д~, ..., д;, ..., д, ..., д~, г). Следовательно, эти две функции могут различаться только постоянным множителем. Обозначим его Х. Тогда уравнение (6.6) можно переписать в виде шешщ задачи 6.1 показано, что волновые функции, описывающие остояние системы, не могут быть симметричными при перестановке одной части частиц системы и антисимметричными при пеестановке другой части ее частиц. Симметрия или антисиммегрия волновых функций сохраняется по отношению к перестановкам всех частиц системы.
Таким образом, принцип тождественности одинаковых частиц в квантовой механике приводит к тому, что все возможные состояния системы, образованной одинаковыми частицами, делятся на два типа: симметричные, для которых антисимметричные, для которых Здесь индексы Я и А обозначают симметричную и анти- симметричную волновые функции соответственно, а перестановки проводятся по всем парам частиц системы. Можно показать (см. решение задачи 6.2), что такое деление имеет абсолютный характер, т.
е. вид симметрии волновых функций не меняется с течением времени. Если волновая функция, описывающая состояние системы, в какой-либо момент времени является симметричной (антиснмметричной), то этот тип симметрии сохраняется и в любой другой момент времени. Вазоны и фермиоиы. Частицы, состояния которых описываются симметричными волновыми функциями, называются бозечастииами или бозонами. Такое название они получили потому, что системы, состоящие из таких частиц, подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, разработанной индийским физиком Ш. Бозе ""я фотонов и развитой А. Эйнштейном для идеального газа.
К бозонам относятся фотоны, к- и К-мезоны, фононы в твердом теле, экситоны в полупроводниках и диэлектриках и т. д. Важно 323 отметить, что все бозе-частицы обладают нулевым или целочисленным спнном. Частицы, состояния которых описываются антисимметричны ми волновыми функциями, называются ферми-частицпми илн фермионами. Это название принято потому, что системы, состоя щие из таких частиц, подчиняются статистике Ферми — Днрака, развитой итальянским физиком Э. Ферми и английским физиком П. Дираком. К фермнонам относятся электроны, протоны, нейтроны, нейтрино и все элементарные частицы и античастицы с полу- целым олином.
Эта связь между сливом часпщ, образующих квантовую систему, и типом статистики была установлена немецким физиком В. Паули. Она остается справедливой и в случае сложных частиц, состоящих из элементарных, таких, например, как атомные ядра, атомы, молекулы и т. д. Ответ на вопрос, является ли сложная частица бозоном или фермионом, зависит от того, каков результирующий спин этой частицы. Если суммарный спин сложной частицы равен целому числу или нулю, то эта частица является бозоном, если же он равен полуцелому числу, то частица является фермионом. Рассмотрим в качестве примера ядро атома гелия зНе, т. е. а-частицу. Оно состоит из двух протонов н двух нейтронов — че- 1 тырех фермионов, спин каждой из которых равен —. Спин ядра 2 зНе равен нулю, т.
е. это ядро является бозоном. Атом гелия з ~Не, содержащий кроме ядра еще и два электрона (два фермиона), также является бозоном. А вот ядро легкого изотопа гелия з Не состоит из двух протонов н одного нейтрона, т. е. нечетного числа (трех) ферми-частиц. Спин этого ядра полуцелый, следовательно, ядро з Не является фермионом.
Также фермионом являет- 3 ся и атом ~з Не. Различие между этими двумя изотопами гелия проявляется не только на микроскопическом, но и на макроскопическом уровне. Оно заключается в том, что жидкий з Не при температуре Т 2 К 324 б „„ает сверхтекучимн свойствами, а жидкий гз Не таких свойств не проявляет. Явление сверхтекучести у г Не экспериментально от- 4 крыто советским физиком П.Л. Капицей в 1938 г и заключается в том, что жидкий гНе может протекать через узкие каналы и щели, 4 не испытывая вязкости Было показано и'о сверхтекучесзь может звякать только в системе бозонов и связана с образованием так называемого бозе-конденсата — наличием большого числа бозонов на самом нижнем энергетическом уровне.
Атомы легкого изотопа гелия гНе являются фермионами, поз этому первоначально казалось, что о сверхтекучести гНе не может 3 быль и речи. Однако впоследствии выяснилось, что при очень низких температурах (- 0,002 К) атомы г Не объединяются в так наз зываемые куперовские пары. Спин такой пары является целочисленным, т.
е. куперовская пара представляет собой бозон. Следовательно, и жидкий гНе в этих условиях может проявлять сверхтекучие з свойства. Сверхтекучесть г зНе была экспериментально обнаружена в 1972 г. группой американских физиков. Волновая функция системы иевзаимодействующих частиц. Найдем с помощью полученных выше результатов вид волновых функций для системы, состоящей из тождественных микрочастиц. В целях упрощения задачи будем считать, что взаимодействие между частицами системы отсутствует, т. е. энергии взаимодействия У; в (6.1) и У1г в (6.2) равны нулю. Сначала проведемрешение без учета спина частиц. Рассмотрим систему, состоящую из двух одинаковых невзаимодействующих частиц.
Согласно (6.2), гамильтониан такой системы Й =Й,+Йг, где Н1 — гамильтониан одной частицы, а Нг — гамильтониан другой частицы, определяемые соотношением ьг ( лг дг лг ) Н; = — — + — + — +У(х;, у;, г;), 1=1, 2. 2в~~дхг а~ г ~г.г! 325 Отметим, что вид операторов Н1 и Нг совершенно одинаков, поскольку одинаковы сами рассматриваемые частицы. Единственное их различие заключается в том, что операторы Н1 и Нг зависят от разных координат. Уравнение Шредингера для стационарных состояний системы частиц имеет вид ЙЧ'=(Й1+Йг)Ч'= Е, (6.8) где Š— полная энергия системы. Будем решать зто уравнение методом разделения переменных 1(ч1 чг) 1а(ч1) 1р(чг).
(6.9) Здесь волновая функция Ч' (91) описывает состояние одной частицы, а волновая функция Ч'р (дг) — состояние другой частипЫ. Подставляя волновую функцию (6.9) в уравнение (6.8), получаем НЧ а(ч1)Ч р(чг)= '1 Н1Ч а (ч1)1Ч р(чг) +~Н2Ч р(<Ь)) Ра (%) = = Е'Ра (ч1 ) Ч'р (92) Разделим левую и правую части этого уравнения на произведение ВОлнОВых функции Ч~а(ч1)Ч~р(чг): Й1Ч'а (91) Й2Ч'р (Чг) 1а(ч!) 1р(чг) (6.10) 326 Первое слагаемое в левой части уравнения (6.10) зависит только от координат д1, второе слагаемое — от координат дг, тогда как правая часть представляет собой постоянную величину— полную энергию системы Е. Это равенство может выполняться только в том случае, если каждое из слагаемых в левой части (6.10) равно постоянной величине: Н1 Ра(91) Н2Ч р(чг) = Е1, = Е2, Ч а(ч1) Ч р(чг) й1Ч' (71)=Е1Ч' (д~), Н2Ч (з(д2) = Е2Ч ~3(ч2)' (6.11) ~е постоянные величины Е1, и Е2 удовлетворяют условию Е1+Е2 =Е.
Из уравнений (6.11) следует, что волновая функция Ч'„(д1) описывает состояние одной частицы с энергией Е1, а волновая функция Ч'р (дз ) — состояние другой частицы с энергией Е2. Поскольку частицы не взаимодействуют друг с другом, то полная энергия системы Е равна сумме энергий отдельных часпщ Е1 и Е2. Обозначим решение первого уравнения в (6.11) через Ф„(д1), а второго уравнения — через Фр(д2). Тогда решение уравнения (6.8) для системы двух невзаимодействующих частиц принимает вид 1 (Ч1 Ч2)=Фа(Ч1)Ф~3(92). (6.12) 327 Укажем теперь, как учитывается наличие у частиц спина. Будем считать, что совокупность координат д; включает в себя не только пространственные компоненты х;, у;, ~;, но и спиновую составляющую з; — проекцию спина частицы на выделенное направление.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
