Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Уравнение Шредингера, которым мы пользовались до сих пор, является уравнением нерелятивистской квантовой механики и не учитывает спин частицы. Поэтому для решения данной задачи необходимо воспользоваться более об~цим уравнением— уравнением Паули, — в котором спин частицы принимается во внимание. Рассмотрение этого уравнения выходит за рамки нашего курса. Отметим только, что решением уравнения Паули является волновая функция, имеющая вид, аналогичный (6.12), т. е.
представляющая собой произведение двух волновых функций Фа(ч1) и Фа(д2), описывающих состояние каждой частицы. Поэтому в дальнейшем мы будем пользоваться волновой функцией (6 12), считая, что переменные д; включают в себя как пространственные, так и спиновые координаты. Воспользуемся теперь принципом тождественности частиц. Если в волновой функции (6.12) поменять местами координаты частиц, то получившаяся волновая функция Ч (Чг '?1 ) — Ра ( Яг ) Щ (?1 ) (6.13) 15 'Ра(?1)9(3йг)+Фа(Ч2)1РР(91) (6.14) и антисимметричную Ч'л ='Ра(?1) Рб(?г)-Ра(?г)Р8(?1) (6 15) волновые функции. В силу линейности уравнений квантовой механики эти функции являются решением данной задачи и могут описывать состояния двух одинаковых бозонов (Ч'з) или двух одинаковых фермионов (Ч',1).
Обобщим полученные результаты на случай системы, состоящей из Ф невзаимодействующих тождественных частиц. Используя метод разделения переменных, запишем волновую функцию системы частиц: "(% Жг — % - Фч)=1Ра(%)1РР(92)- Чт(%)- 1Ра(Чч). Перестановка местами каждых двух частиц системы дает новые состояния, например: 1~-12Ч'(?г ?1 '?з - Чч)=Фа(Ч2)1РР(й)9т(Ф)- Файч) (6.16) 1++Зч'Йз,дг % - %ч)=крайз)Я~3(чг)1Рт(91)-'1Ра(чж) и т. д. 328 в силу неразличимости частиц также должна быть решением дан ной задачи. Однако решения (6.12) и (6.13) не удовлетворшот рассмотренному выше принципу симметрии или антисимметрни волновых функций. Следовательно, состояния, описываемые такими волновыми функциями, не могут реализоваться в природе. Но из них можно составить симметричную В случае системы бозе-частиц состояния, реализуемые в природе описывакпся симметричной комбинацией волновых функций (6.16): «у Ч'З =,)' р«уф««(«71) - фт(«71) - фа(«77) - ф«о(«7м) (617) 1, «=1 «ау фа(««1) фа(««2) - фа(««Ф) фр(«71) ф0(«72) -' фр(ч«У) 1 А(««1' "' «?М) (6.18) фв(71) ф.(72) - фв(7«) Волновые функции (6.17) и (6.18) записаны в ненормированном виде, их нормировка может быть проведена стандартным способом.
Принцип Паули. При отсутствии взаимодействия между частицами системы можно рассматривать не только состояние системы в целом, но и состояние отдельной частицы. Так, например, можно считать, что состояние одной часпщы описывается волновой фУнкцией фо, дРУгой — волновой фУнкцией фР и т.
д. Такой подход выявляет кардинальное различие между волновыми фУнкциями системы ферми- и бозе-частиц. Предположим, что в системе ферми-частиц две частицы находятся в одном и том же состоянии, т. е. что ф,„в«фв. Тогда вол"евая функция системы Ч',1 («11, ..., «2,«) обращается в нуль. Действительно, определитель в выражении (6.18) в этом случае имеет две одинаковые строки, а такой определитель, как известно, равен "Улю Равенство волновой функции нулю означает, что данное состояние системы физически не реализуемо, т. е. два фермиона— л'а электрона, два протона, два нейтрона — не могут находиться в одном и том же состоянии. 329 Суммирование в (6.17) проводится по всем возможным перестановкам частиц.
Для системы, состоящей из ферми-частиц, антисиммегричная волновая функция может быть представлена в виде определителя Это положение сформулировано В. Паули в 1925 г. и называет ся принципом, или запретом„Паули. Принцип Паули гласит; в системе тождественных фермионов не может быть двух частиц, находящихся в одном и том же квантовом состоянии. Этот принцип имеет очень важное значение для понимания особенностей поведения систем фермионов. Он сыграл болыцузо роль в обосновании периодической системы злементов Д.И.
Менделеева„ а также позволил объяснить ряд закономерностей атомных и молекулярных спектров. Что же касается системы, состоящей из бозе-частиц, то принцип симметрии волновых функций не накладывает каких-либо ограничений на состояния системы. В одном и том же состоянии может находиться любое число тождественных бозе-частиц. Задача 6.1. Докажите, что состояния системы тождественных частиц не могут описываться волновыми функциями, которые были бы симметричны при перестановке одной части частиц системы и аитисимметричны при перестановке другой части частиц.
Реимнла Пусть система„состоящая из Ф тождественных частиц, находится в состоянии, описываемом волновой функцией Ч'(Ч!, ..., д„, Г). Предположим, что волновая функция системы симметрична (не меняет знак) прн перестановке г-й и !тй частиц„а также )-й и )!-й частиц, но антисимметрична (меняет знак) при перестановке !'-й и Ьй частиц. Тогда, осуществляя последовательные перестановки !++к, г++ ), /++А и 1<->!, получаем Ч(!1,..., %,..., Ч,, !)А,..., !1, !)= =-Ч'()!,..., о„,..., !),..., оо..., о„, г)= =-Ч(%,..., о„,..., %,..., !)/,..., Чл, г)= Ч'(ч! -' чу -' ч! - % - Чл Г)= =-Ч'(!й -.
!й.-' %.- ч ° - Чю. г). Отсюда следует, что 2Ч'(д!,..., о!, ..., л, ..., дь, ..., дл, !)=О т. е. Ч'(д!, ..., д„, г) = О. Следовательно, такое состояние невозможно. Это означает, что состояния системы тождественных частиц могут описываться либо только симметричными волновыми функциями, либо только антисимметричными волновыми функциями.
330 Задача 6.2. Докажите, что если в какой-либо момент времени квантовая система, состоящая из одинаковых частиц, находится в состоянии, описываемом симметричной волновой функцией Ч'з, то оиа всегда будет описываться симметричной волновой функцией. решение. Запишем уравнение Шредингера ЭЧ' Рй — = Й% дг в виде 1 Ь Ч' = — НЧ'й, рй где Ь,Ч' — приращение волновой функции за время й.
Пусть в момент времени г = ге волновая функция Ч', описывающая состояние системы, является симметричной функцией координат частиц, т. е. Ч' = Ч'з. Покажем, что приращение этой функции за время й также будет симметричной функцией координат частиц. Поскольку гамильтониан Й симметричен относительно координат частиц системы, то функция НЧз также является симметричной функцией координат частиц. Следовательно, и приращение Ь,Ч' будет симметричной функцией координат. Таким образом, если волновая функция Ч', описывающая состояние системы тождественных частигЬ в некоторый момент времени является симметричной, то она остается симметричной и в любой другой момент времени.
Поскольку знак г1г может быль как положительным, так и отрицательным, то это означает, что симметрия волновой функции как в прошлом, так и в будущем является одной и той же. Аналогичным способом решается задача и для антисимметричной волновой функции, т. е. доказывается, что если волновая функция системы тождественных частиц в какой-либо момент времени является антисимметричной функцией координат частиц, то она будет антисиммегричной и в любой другой момент времени. Решение данной задачи показывает, что деление волновых функпнй на симметричные Ч' и антисимметричные Ч'х имеет "абсолютный" характер.
Это означает, что если в какой-либо момент времени установлена симметрия волновой функции системы тождественных частиц, то эта симметрия в дальнейшем остается неизменной. Перекопы из состояний, описываемых симметричными волновыми функциями, в состояния, описываемые антисимметричными волновымн функциями, и наоборот, невозможны. 331 6.2. Плотность квантовых состояний Рассмотренные в 6.1 особенности поведения частиц, связанные с неразличимостью тождественных частиц в квантовой механике, проявляются н в статистических свойствах систем, состоящих из одинаковых частиц.
Это приводит к тому, что статистические распределения частиц в квантовой механике отличаются от статистических распределений, известных из классической физики. Кроме того, статистические свойства бозонов и фермионов в силу кардинального отличия в поведении этих частиц также оказываются различными. Найдем число квантовых состояний, по которым могут распределяться частицы, при условии, что энергия этих состояний не превышает некоторого значения Е.
Определим это число для случая частицы, находящейся в трехмерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками. Согласно (4.27), энергия частицы в такой яме описывается выражением (6.19) — + — + где ан а2 и аз — стороныпрямоугольногопараллелепипеда,а л1, л2, лз — — 1,2,3, ... — квантовые числа. Из (6.19) следует, что энергия частицы меняется не непрерывным образом, а дискретно, поскольку квантовые числа лм лз и пз могут принимать только целочисленные значения. Однако нас будут интересовать значения энергии Е, существенно превышающие энергию основного состояния, для которого л~ = лз —— пз — — 1. В этом случае изменение энергии АЕ от уровня к уровню будет значительно меньше самого значения энергии Е, так что можно считать, что энергия частицы меняется практически непрерывно (квазинепрерывно).
Рассмотрим пространство квантовых чисел, т. е. трехмерное пространство, вдоль трех взаимно перпендикулярных осей которого отложены квантовые числа лп лз, лз (Рис. 6.1). ТочкУ этого пространства, которая отвечает определенному набору целых чисел (лп лз, лз), будем называть узлом. Каждому узлу в 332 2 2 2 г богаз) +( гааз) +( завмаг) (азагаз) 4/3 н перепишем соотношение (6.19) в виде гй2 Е= Г . 2шс 1а1агаЗ) (6.20) Выражаяотсюда г, получаем (а~агаз) ~ЫЕ 1/3 (6.21) Рассмотрим сферу радиусом г (рис. 6.1). Искомое число квантовых состояний определяется числом узлов, находящихся внутРи 333 остранстве квантовых чисел ЬГ=1 соо оответствует определенное .г 1 квантовое состояние частицы, ьР~4 точнее, не одно, а несколько ° ° ° состояний, которые могут различаться, например, проекциями спина частицы. Обо- Г значим число этих состояний, о не связанных с движением частицы, 1,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
