Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 50
Текст из файла (страница 50)
В частности, для электрона проекции спина на выделенное направление при- 1 1 нимают значения х-, следо- Рис. 6.1. Простраиспю квантовых 2 чисел вательно, для него 1, =2. Объем М~ в пространстве квантовых чисел, приходящийся на один узел, равен единице, т. е. Л$' =1. Найдем число О состояний частицы, энергия которых не превышает некоторого фиксированного значения Е. Введем обо- значение положительного октанта сферы радиуса г.
То обстоятельство, что мы рассматриваем не всю сферу, а только ее октант с положитель. ными значениями квантовых чисел лп л2 и лз, обусловлено тем, что в нашей задаче л1, лт, лз >О. Чтобы найти число состояний б, нужно объем октанта (т. е. 1/8 часть объема сферы) разделить на объем Л$', приходящийся на один узел, и умножить получившееся выражение на множитель 1,, определяющий число возможных проекций спина частицы: 1431131 б= — яг — 1, = — кг — Уг 83 ЬУ 6 ЛУ Подставляя в это соотношение выражение (6.21) и учитывая, что Ь$' =1, получаем ( / 2в~Е) я~1~2 3' (6.22) Поскольку произведение а~а2аз представляет собой объем потенциальной ямы У, а,жгло Е есть нерелятивистский импульс частицы р, тосоотношение (6.22) можнопредставить ввиде ~= — Р 3~. 4 3 1 3 (гяй)3 ' (6.23) 334 Для того чтобы наиболее отчетливо выявить смысл полученного выражения, рассмотрим фазовое иространство — шестимерное пространство с взаимно перпендикулярными осями х, у, т, р„, р„, р,.
Полный объем в этом пространстве Уф равен произведению объема в пространстве координат 1'и объема в про- 4 странстве импульсов — яр (здесь р — импульс частицы, соот- 3 ветствующий максимальной энергии Е). Таким образом, 4 з рф — — у — лр, 3 (6.24) выражение (6.23) принимает вид а= (2пл) (6.25) ЬхЬуЬ гйр„ЬР„Ьр (21Й) й, (6.26) где Ьх, ЬУ, Ье, ЬРх, ЬРу, ЬРе — РазмеРы Ячейки В фазовом пространстве, приходящейся на одно состояние. Поскольку все пространственные координаты х, у и я равноправны, то для одной координаты, например х, получаем ЬхЬР = 2пй. (6.27) 1аким образом, в фазовом пространстве на одно состояние для "аждой координаты приходится объем, равный 2лй. 335 Множитель 1, в (6.25), как уже отмечалось, определяет число Уф возможных проекций спина частицы, а множитель — чис(2пл) ло состояний, связанных с движением частицы в потенциальной яме.
Подчеркнем, что число состояний 6 пропорционально фазовому объему Уф„. Напомним, что проведенное выше рассмотрение относилось к случаю движения частицы в трехмерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками (потенциальном ящике). Можно показать, что обобщение полученных результатов на случай ямы произвольной формы не меняет общего выражения для числа квантовых состояний частицы (6.25).
Из выражения (6.25) следует еще один важный результат: объем фазового пространства, приходящийся на одно квантовое состояние, равен (2лл) . Запишем зто утверждение следующим 3 образом: Этот результат, как легко видеть, согласуется с принципом неопределенности. Действительно, размеры ячейки фазового пространства, приходящейся на одно состояние, должны определяться теми ограничениями на значения координаты и импульса, которые накладывают соотношения неопределенностей (2.16). Найдем теперь плотность квантовых состояний 8(Е), т.
е. число состояний, приходящихся на единичный интервал энергий. Согласно определению, 0(Е+аЕ)-О(Е) аБ(Е) аЕ аЕ Перепишем это выражение в виде 81Е) = —. й6 йр с1р дЕ С учетом (6.24) и (6.25) получаем или в окончательном виде г 4яр У ар (2кй) аЕ (6.28) Я 3/2 (6.29) 336 Выражение (6.28) является общим, т. е. справедливым для любых частиц. Найдем с его помощью плотность квантовых состояний для электронов и фотонов. Для нерелятивистских электронов р =,~2т~Е, а множитель У, = 2. Подставляя эти значения в (6.28), получаем Е д фотонов р = —, где с — скорость света в вакууме, а мно- с ель 7, также Равен двУм, посколькУ вследствие попеРечности еговой волны фотон может находиться в двух состояниях с разной поляризацией.
Следовательно, Юф® гз зЕ' ксй (6.30) 6.3. Распределение Бозе — Эйнштейна В классической физике распределение частиц по энергиям описывается хорошо известными из курса молекулярной физики распределением Максвелла Е й~м = Аме "с~аР,др, (6.31а) и распределением Больнмана и ИЖв = Аве ктаЫуйг. (6.316) 337 Здесь Ам и Ав — нормировочные константы; Е, и У вЂ” кинетическая и потенциальная энергии частицы соответственно; й — постоянная Больцмана; Т вЂ” температура.
Напомним, что при выводе статистических распределений отыскивается наиболее вероятное распределение частиц, т. е. распределение, которое может быть реализовано наибольшим числом способов. Согласно основному постулату статистической физики, именно это распределение является равновесным. Будем считать, '1то частицы не взаимодействуют друг с другом (модель идеального газа), а также полагать, что все распределения, которые приводят к одной и той же суммарной энергии частиц, реализуются с одинаковой вероятностью.
В классической физике при выводе распределений считается, что одинаковые частицы принципиально различимы. Это, в частности, приводит к тому, что распределение, в котором одна из двух одинаковых часпщ (частица 1) находится в состоянии А, а другая (час тица 2) в состоянии В, и распределение, в котором частица 1 нахо. дится в состоянии В, а частица 2 — в состоянии А, являются двумя разными распределениями. В квантовой механике эти два распределения в силу тождественности одинаковых часпщ следует считать одним распределением. Кроме того, ввиду различия в свой ствах ферми- и бозе-частиц, статистические распределения этих чзс тнц должны существенно отличаться друг от друга. Проиллюстрируем различие в распределении классических и квантовых частиц (фермионов и бозонов) на следующем примере. Пусть нам нужно распределить две частицы по трем состояниям (ячейкам).
Классические частицы вследствие их различимости, будем отмечать номерами 1 и 2. Квантовые частицы одного вида принципиально неразличимы, будем изображать их черными кружочками. При этом ферми-частицы в соответствии с принципом Паули могут находиться в каждой ячейке только поодиночке, что же касается бозе-частиц, то никаких ограничений на распределение их по ячейкам не накладывается. Результаты распределения приведены ниже. Фермионы Классические частицы Бозоны ~1~2 Д Д21Д Я еД 1 2 2 1 ° ° 1 2 2 1 ° ° Я Д Я Д ПП ПБП Д ~12 ДЯ Для классических частиц число возможных распределений (мнкросостояний) равно девяти, а вероятность каждого распределения — 1/9. Для бозе-частиц получается шесть распределений, соответственно вероятность каждого из них равна 1/6.
Для ферми-частиц реализуются только три распределения с вероятностью выпадения каждого из них, равной 1/3. Вывод распределения Бозе — Эйнштейна. Приступим теперь к выводу закона распределения бозе-частиц по энергиям. 338 Предварительно решим следующую вспомогательную задачу. Пусть имеется длинный пенал, который может быль разделен на 2 ячеек с помощью 2 — 1 перегородок (рис. 6.2). Найдем число способов, с помощью котоРых М неРазличимых частиц могут быть распределены по ячейкам этого пенала. Поскольку мы имеем „ло с бозе-частицами, то будем считать, что в каждой ячейке может находиться произвольное число частиц. г 3 Рис. 6.2.
Возможное распределение бозе-частиц по ячейкам Следовательно,этасисгемасостоитиз Ф частици У вЂ” 1 перегородок, т. е. из У+с. -1 элементов. Рассмотрим все возможные перестановки элементов этой системы. Следует отмстить, что речь идет о перестановке не только частиц с частицами, но и перегородок с переюродками, что меняет нумерацию ячеек и, вообще говоря, число частиц в них.
Кроме того, могут переставляться перегородки вместе с частицами, что приводит к изменению нумерации ячеек. Общее число таких перестановок, согласно комбинаторике, равно (Ф+ У вЂ” 1)!. Однако не все они приводят к новым распределениям. Так, перестановки частиц ввиду их неразличимости не дают новых распределений. Число таких перестановок равно Ф!. Перестановки только перегородок тоже не приводят к новым Распределениям, их число равно (У-1)!. Таким образом, число способов й, с помощью которых Ф тождественных часпщ могут быть распределены по у ячейкам, равно (6.32) Проиллюстрируем полученный результат на следующем примере.
Рассмотрим возможные распределения трех частиц по трем ячейкам 1рис. 6.3). Всего таких распределений 10. Точно такой же Р~~ультат дает выражение (6.32) при У = 3 и У = 3: 339 51 а= — '=10. з.г. Поскольку считалось, что в ячейке может находиться любое число частиц, то выражение (6.32) определяет число способов, с помощью которых У бозонов могут быть распределены по 2 состояниям. Каждый способ размещения частиц представляет собой определенное микросостояние системы. Следовательно, ьа определяет число микросостояний, с помощью которых реализуется конкретное макросостояние системы. Таким образом, ьа есть термодинамическая вероятность, или статистический вес, макросостояния системы.
Рне. 6З. Распределение трех бозе-частиц по трем ячейкам Рассмотрим шестимерное фазовое пространство с координатами х, у, з, р„, р, р,. В этом пространстве уравнение ~(х, у, е, р„„р, р,)=Е=сопм, где Š— полная энергия частицы, определяет изоэиергетическую поверхность, т. е. поверхность, все точки которой отвечают одному и тому же значению энергии частицы. Разобьем с помощью изоэнергетических поверхностей фазовое пространство на тонкие энергетические слои.
Пусть 1'-й слой ограничен поверхностями У(х, у, г, р„р,, р,)=Е; 340 .((х, у, т Рх Ру Рт)=Е;+и Будем считать слой тонким, если ~Еьм — Е;~ «Е;. В этом случае энергию всех частиц, попадающих в 1-й слой, можно считать одинаковой и равной Е;. Пусть объем 1-го слоя составляет У;12ил) . Это означает, что 3 с учетом выражения (6.26) число квантовых состояний (ячеек) для этого слоя равно У;.
Примем, что в пределах 1-го слоя находится л(; частиц. Тогда, согласно (6.32), статистический вес подсистемы, содержащей Ф; частиц, составит Статистический вес всей системы равен произведению статистических весов отдельных ее подсистем: (6.33) Как уже отмечалось, нас интересует распределение, которое может быть реализовано наибольшим числом способов, т. е.
распределение, для которого статистический вес й максимален. Таким образом, нужно найти максимум выражения (6.33). При этом следует иметь в виду, что полное число частиц системы и полная энергия системы Е = ~),Ф;Е; должны оставаться постоянными. Исследование на экстремум выражения (6.33) представляет собой достаточно сложную задачу, поэтому вместо максимума 341 статистического веса й будем искать максимум энтропии 5, ко торая связана со статистическим весом соотношением (6.34) Подставляявыражение(6.32) в (6.34), получаем Для дальнейших преобразований воспользуемся формулой Стирлинга )пп! = л1пл — и, справедливой при л »1. Считая, что Ф; »1 и У; » 1, получаем 5 = /с~~(Ф;+Х; — 1))п(Ж;+ х,; — 1)-(М;+У; — 1)- — Ж; 1пФ;+Ж; — (2; — 1)1п(У; — 1)+У; — 11.
Перепишем это выражение в виде 5 = к~) ((Ф;+У; — 1)1п(У;+2;-1)-Ж, 1пМ; )+С, (635) где С = й,') (У; — 1)1п(2; — 1). Слагаемое С в (6.35) не зависит ! от числа частиц М;, поэтому при отыскании максимума функции 5 его можно не учитывать, так как в задаче на экстремум будет варьироваться только число частиц в слое М;. Для отыскания максимума энтропии (см. выражение (6.35)) при условии постоянства полного числа частиц системы л! н полной энергии Е воспользуемся методом множителей Лагранжа. Этот метод заключается в следующем. Пусть нам нужно найти экстремум функции аргументы которой удовлетворяют условиям 342 у1(х1, х2, ..., х„) = С1, у2(х1, х2, ..., х„) = С2, у„(х1, х2, ..., х„) = С„, 1 де у1 у2 ..., у„— некоторые известные функции, а С1, С2, ..., С„ — константы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
