Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Для этого, согласно методу множителей Лагранжа, нужно построить функцию У+" 1У!+ 1~2У2+- +~лул. ЗДЕСЬ А1, Х2, ..., Ал — ПОСтОяННЫЕ КОЭффмцИЕНтЫ, НаЗЫВаЕМЫЕ множителями Лагранжа. Затем следует взять частные производные функции Г по всем переменным х; и приравнять их нулю. В итоге получим систему л уравнений, решение которой даст нам значения переменных х;, при которых достигается условный экс- тремум. Напомним, что в нашей задаче переменной величиной является число частиц Ф1, а дополнительно накладываемые условия сводятся к требованию постоянства числа частиц системы У и энергии Е.
Поэтому функция Е в данном случае имеет вид Г = Б+Х~М+32Е= =й~ ((Ф1+У; — 1)И(Ф;+2;-1)-Ф;ИЖ; )+ "з,» Ж + л2,1' о'1Ео 1 аЕ Приравнивая производную — нулю, получаем ЭМ; ~ И(М,+К1-1)+(1У,.+г,.-1) -ИМ,-М,— ~+ 11 +Х1+Х2Е1 =О. Преобразуем это выражение к виду 343 „М,+г,-1 1,2Ег +Х, Отсюда следует, что Разделим числитель и знаменатель левой части полученного ра- венства на У.;: Ф; 1 1 — '+1- — (л;)+1-— 2' 2' У,; ( 1~гЕ; — Х~ ' -ехр~— Ж (л) ~ й Ф; Отношение — ' = (л ) представляет собой среднее число частиц, у 4 приходящихся на одну ячейку фазового пространства, т.
е. на одно состояние в 1-м энергетическом слое. 1 Поскольку 2;>>1, то слагаемым — в числителе можно У. пренебречь. Таким образом, получаем 1 .2Е,+л, Найдем теперь выражения для множителей Лагранжа Х~ и Х2. Множитель Х2 можно отыскать следующим образом. Поскольку все частные производные функции Г по 1т; равны нулю, то зто означает, что равен нулю и дифференциал этой функции НЕ, т.е.
Ы = дЯ+Хф1Ч+Х2ИЕ=О. к как число частиц системы М постоянно, то сИ=О и, следовательно, Л2г7Е. (6.36) Р еперь что Рассматриваемая си ~рать"-:ом процессе некоторо В результате згого = Ю/Т. Поскольку Р чеиии теплоты не совершается и Щ = йЕ, следовательно, (6.37) 1 Сравнивая (6.36) и (6.37), находим, что Х2 — — —. Т Множитель Л~ представим в виде (6.38) где )г — некоторая функция параметров состояния системы, в частности температуры. Эту функцию называют химическим потенциалом.
Понятие химического потенциала оказывается очень важным для анализа термодинамического равновесия систем: одним из условий равновесия является равенство химического потенциала для всех частей системы. Сучетомвыраженийдля Х~ и Х2 находим,что Освобождаясь от индекса 1, окончательно получаем (6.39) 345 Выражение (6.39) называется распределением Бозе — Эйнштей на. Оно описывает распределение бозонов по энергиям и определяет среднее число бозонов (и), находящихся в квантовом состоянии с энергией Е при температуре системы Т. Величину (и) называют также числом заполнения энергетического уровня с энергией Е.
Проанализируем следствия, вытекающие из вида распределения Бозе — Эйнштейна. Как следует из выражения (6.39), число бозонов, находящихся на одном энергетическом уровне ( в одном состоянии ), ничем не ограничено и при малых значениях параметра (Š— )ь)l(йт) может оказаться очень большим. Это важная отличительная особенность бозонов.
Отметим, что химический потенциал р для систем бозе- частиц с постоянным числом частиц Ж может принимать только отрицательные значения, т. е. р< 0. Действительно, если бы и мог быль положительным, то при Е < р экспонента в знаменателе выражения (6.39) была бы меньше единицы ехр — < 1 и соответствующие числа заполнения (п) стали бы отрицательными, что невозможно. Рассмотрим случай малых чисел заполнения, т.
е. будем считать, что (и) «1. Из выражения (6.39) следует, что в-э это условие выполняется при ехр((Š— р)/(Йт))»1 или при (Е-)ь)/Жт) » 1. Пренебрегая единицей по сравнению с экспонентой в знаменателе выражения (6.39), получаем / Е-р1 Г Е') (и) = ехр~ — ) = Аехр~ — ), (6.40) -э (, кт) (, ~т)' где А = ехр~ — ).
Отсюда следует, что при малых числах запол(з') ~,~,т)' или, как говорят, в случае разреженного газа базанов (бозе- газа, ), распределение Бозе — Эйнштейна переходит в классичеое распределениеМаксвелла — Больцмана. Раз, свойства которого в силу неразличимости тождественных частиц в квантовой механике отличаются от свойств классическо- идеального газа, называется вырожденным газом.
Поскольку Ра спределение Бозе — Эйнштейна существенным образом отличается от распределения Максвелла — Больцмана, то газ бозонов является вырожденным газом. И только в случае (и) «1, как Б — Э показывает проведенный анализ, вырождение снимается и разреженный бозе-газ ведет себя подобно классическому газу. На рис. 6.4 приведены графики <н> распределений Бозе — Эйнштейна и Максвелла — Больцмана. Как уже отмечалось, при (Е-р)(ЯТ)»1 эти распределения совпадают. Различие между распределениями обна- 1 руживается при (Š— рЯяТ) <1.
Именно в этом случае будут прояв- 2 1 0 1 2 3 Š— и ляться свойства бозе-газа, обусловленные квантовой природой его частиц. Рис. 6.4. Статистические Число бозонов, находящихся на Распрелеленнн: одном энергетическом уровне, может П вЂ” Бозе — Эйнштейна быть очень большим. Как известно, значительное скопление частиц на нижних энергетических уровнях имеет место и в классической статистике, однако для бозонов это скопление проявляется более ярко. Кроме того, при определенных условиях в системе бозе-часпщ может происходить бозе-конденпщия — скопление очень большого числа частиц в состоянии с энергией Е=О Именно с бозе-конденсацией связаны такие явления, как 'верхтекучесть и сверхпроводимость.
Распределение Бозе — Эйнштейна используется для описания свойств систем, состоящих из бозе-частиц как простых, например ф~тонов, фононов, так и более сложных, составных, например атомов Не, электронов, образующих куперовские пары, и т. д. С его помощью описываются свойства теплового излучения, теп- 347 лоемкость кристаллов и многие другие физические явления. Что же касается поведения обычных газов, атомы которых являются бозонами, то анализ показывает, что при нормальных температурах и давлениях эти газы не являются вырожденными и подчиняются классической статистике.
Вырождение наступает либо при очень низких температурах, либо при очень высоких давлениях, т. е. при тех условиях, при которых газы перестают быль идеальными. Таким образом, для этих газов статистика Бозе — Эйнштейна в той области, в которой справедлива кинетическая теория газов, практически не отличается от классической статистики Максвелла — Вол ьцмана.
Случай переменного числа частиц. При выводе распределения Бозе — Эйнштейна (6.39) мы полагали, что число частиц системы )т' остается постоянным. Найдем теперь распределение Бозе — Эйнштейна для системы с переменным числом частиц. Примером такой системы, в частности, является тепловое излучение внутри замкнутой полости. Стенки полости непрерывно поглощают и испускают излучение, поэтому число фотонов внутри полости постоянно меняется. Фотоны являются бозе-частицами и при не очень сильных (нелазерных) интенсивностях излучения не взаимодействуют друг с другом. Так что излучение в замкнутой полости представляет собой идеальный бозе-газ фотонов с переменным числом частиц. Рассмотрим систему бозе-частиц с переменным числом частиц )У.
Будем решать задачу тем же самым методом, который был использован выше. Поскольку в данном случае ~ У; =Ф~сопаг, то при нахождении условного экстремума энтропии Я методом множителей Лагранжа вместо функции Г = Ю+ Х1Ф+ ХзЕ следует взять функцию (б.41) Г= 5+) 2Е. Такой вид функции Г объясняется тем, что из условий, накладываемых на аргументы функции 5, исчезло условие постоянства числа частиц системы. 348 (),= ехр — -1 (6.42) Запишем это распределение для случая фотонного газа. Поскольку для фотонов Е = Ьа, то (6.43) (лф > ехр — -1 Задача 6.3.
Пользуясь распределением Бозе — Эйнппейиа, получите формулу Планка для равновесного теплового излучения. Решение. Рассмотрим излучение, находящееся внутри замкнутой полости, стенки которой нагреты до некоторой температуры Т. Как отмечалось выше, это излучение представляет собой идеальный газ фотонов. Распределение по энергиям частиц этого газа описывается выражением (6.43). Найдем энергию излучения в узком энергетическом интервале от Е до Е+ ИЕ. Эта энергия складывается из энергий отдельных фотонов.
Плотность квантовых состояний я(Е), т. е. число состояний, приходящихся на единичный энергетический интервал, для фотонов описывается выражением (6.30). умножая я(Е) на сЕ, находим число квантовых состояний, заключенных внутри интервала г1Е. Умножая затем это число на среднее число фотонов < ла > в данном состоянии и на энергию фотона Е, получаем суммарную энергию фотонов в интервале 4Е, которая равна < ла >я(Е) Ег(Е. Рассмотрим теперь частотный интервал, соответствующий данн ему энеРгетическому интервалу, т. е. интервал частот от ю = — до Е и 349 Нз выражения (6.41) следует, что множитель Лагранжа Х1 —— О Н силу того что химический потенциал )ь и множитель Х~ язаны соотношением )г = Х~Т, получаем )ь = О.
Таким образом, ~ический потенциал системы бозонов с переменным числом ч стиц равен нулю и распределение Бозе — Эйнпггейна для систем с переменным числом частиц принимает вид Е АЕ «3+доз= — + —. Получим выражение для той же самой энергии с л л помощью объемной спектральной плотности энергии излучения и,„т. Напомним, что и,„т представляет собой энергию излучения в единичном частотном интервале, отнесенную к единице объема. Энергия фотонов в частотном интервале Ив равна и„таею, где 'т' — обьем полости. Приравнивая эти два выражения, получаем ищт Ыв=< аа > я(Е)ЕЙЕ. С учетом соотношений (6.30) и (6.43) приходим к формуле Планка йо33 иг 23 Отметим, что именно с этой формулы началось становление кванто- вой механики. Задача 6.4.
Найдите с помощью формулы Планка при Т= 300 К: а) наиболее вероятную энергию фотонов Е,; б) среднюю энергию фотонов (Е). Решение. а. Найдем сначала функцию распределения фотонов по частотам л„. Эта функция определяет число фотонов в единичном интервале частот в единице объема. Число фотонов ~й в единице объема, энергия которых лежит в интервале от Е до Е+ г(Е, равно у(Е) г(Е 2(Л = <ае >. С учетом соотношений (6.30), (6.43), принимая также во внимание, что Е=аа, получаем 2 2 3 ехр — -1 Таким образом, функция распределения фотонов по частотам имеет вцл 350 г екр — — 1 Наиболее вероятная частота фотонов находится из условия = О. Дифференцируя п„по частоте, получаем уравнение СЬе пю 2 — х=2е ", йсо где х= —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
