Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Наведем концентрацию атомов калия л,. Относительная атомная масса калия А,= 39,1, молярная масса М= 0,001 А„= = 0,0391 кг!моль. Число молей в единице объема вещества ч = —, а р М количество частиц в одном моле равно постоянной Авогадро Ма. Следовательно, концентрация атомов калия л = — М„, а концен- Р а тРациа свободных электРонов л = и — Уя.
ПодставлЯЯ л в выРаже- Р М ние для энергии Ферми, получаем 373 2 З г, Р Д, Отсюда С учетом численных значений входящих в зто выражение величин находим, что на один атом калия приходится ц = 1,07 свободных электронов. Это означает, что концентрация свободных электронов в металле может быть сравнима с концентрацией атомов. Задача 6.8. Найдите среднюю скорость свободных электронов в металле при Т = О, если энергия Ферми для этого металла Ег (0) = = 5,51 эВ.
Региениа При решении этой задачи можно использовать распределение электронов как по энергиям (6.56), так и по скоростям (6.65). Продемонстрируем оба метода решения. Воспользуемся сначала распределением электронов по энергиям. Скорость свободных электронов в металле связана с их кинетической энергией соотношением и(Е) = 11 — = ~ —.ГЕ. ~2Е ~2 Полагая в выражении (6.59) у (Е) =и(Е), находим, что :ЛР(Р)ж () о )Г(Е)1Е о При Т = О, заменяя верхний предел интегрирования на Ег (0), получаем кг(о) ° 'Е ИЕ о 374 где ок — скорость Ферми (максимальная скорость электронов в металле прн Т =0).Подставляя численные значения, получаем (о)= =1,05 10 мlс. Используем теперь распределение электронов по скоростям.
В этом случае / о г" ( о) ею ()=' (Р(о)аю о где функция распределения г" (о) представлена выражением 16.65). При Т=О з ~%~ О, ю>ог Подставляя Р (о) в подынтегральные выражения и заменяя верхний предел интегрирования на юг, получаем аг 21 3 (ю) = =-ю . 'г 4 ~ г,1 о Задача 6.9. Найдите коэффициент сжимаемости (коэффициент упругости) а электронного газа в меди при температуре Т = 0 К. Ревяеиле. Коэффициент сжимаемости, или упругости газа характеризует относительное изменение объема газа при изменении давления: 1 Иг' И()п У) гг и 1р )р где р — объем газа; р — давление. Поскольку число частиц газа )т' остается постоянным, то прн сжатии газа его концентрация будет [г возрастать, причем 375 л= —, 1пг'=1пФ-1пл, Ф где 1пМ =сонэк В соответствии с этим И(1пу) Н(1пл) Из кинетической теории известно, что давление, которое оказывает газ на стенку, определяется средней энергией поступательного движения частиц этого газа (Е) 2 р = — л(Е). 3 Для вырожденного электронного газа при Т = 0 К 1см.
задачу 6.6) (Е) = — Ег (0), 5 или, с учетом 16.60), 3 й~ (Е) = — (Зк~л) 5 2л3с Поэтому зависимосп давления электронного газа р от его концен- трации л при Т=О К имеетвид 2 3 л з ззз 1й з ззз зм р=-л — — (Зк л) = — (Зк ) л 3 5 2во 5то Отсюда з Зз/5 (Зкз ) омз йз ( где А =сопли Таким образом, 1п л = 1п А+ — 1п р.
3 5 376 Подставляя это соотношение в выражение для коэффициента сжи- маемости, получаем 1(1пп) 3 1(1п р) 3 1 пР 5 Ир 5р Воспользовавшись найденнон выше э р выражению 5~5 ше Й' Коэффициент сжнмаемосгн электронного газа можно также выразить через энерппо Ферми Ег (0). С учетом ( б.бО ) получаем 3б злз за (Ег (0)) (8ше) Взяв значение энергии Ферми для меди Ег (0) = 7, 04 эВ = =1,13 10 '~Дж, получим численное значение коэффициента сжнмаемостн электронного газа в меди — 35 Зб(3,14) (1,05 10 ) О из ' ( 1, 1 4 1 0 " ) = 1, 33 1 0 " Па (8 9,1.10 и) =1,38 10 атм '. Отметим, что давление электронного газа является одним нз основ- ных факторов, определяющих сжнмаемость металлов.
6.6. Эмиссия электронов из металла Одним из наиболее важных практических приложений квантовой статистики Ферми — Дирака является изучение эмиссии электронов из металлов — физического явления, заключающегося в испускании электронов металлом. Эмиссия электронов может возникать при нагреве металлов (термоэлектронная эмиссия), при облучении металлов различными частицами, например фотонами (фо- 377 тоэлектронная эмиссия), при приложении к металлу сильных электрических полей (холодная, или автозлектронная, эмиссия) и т.
д. Фотоэлектронная эмиссия (внешний фотоэффект) подробно рассмотрена в 1.4. Здесь же основное внимание уделено термоэлектронной и холодной эмиссии электронов из металлов. Работа выхода электронов из металла. Рассмотрим металл как систему заряженных частиц. Известно, что в металле имеются газ свободных электронов и положительно заряженные ионы, расположенные в узлах кристаллической решетки. Эти ионы создают внутри металла электрическое поле, потенциал которого д периодически меняется вдоль прямой, проходящей через узлы решетки (рис. 6.14, а). Усредняя этот потенциал, будем считать, что всюду внутри металла он одинаков и равен гро (внутренний потенциал металла). Таким образом, свободный электрон, находящийся в металле, обладает потенциальной энергией — егро. Рис. 6.14.
Свободные электроны в металле: а — внутренний потенциал Гр; б — энергетические уровни электронов в металле при Т = О При переходе электрона из металла в вакуум его потенциальная энергия (г' становится равной нулю. Это изменение потенциальной энергнис расстоянием г, хотя иноситдостаточно резкий 378 х Рактер, происходит не скачком, а на некотором расстоянии Ь, равннмом с постоянной решетки кристалла (рис. 6.14, б). Отметим, что мы здесь не принимаем во внимание вклад в потенциальную энергию, связанный с зеркальным изображением электрона, находящегося вблизи поверхности металла.
Учет этого вклада проведен далее при рассмотрении эффекта Шотгкн. Таким образом, как уже отмечалось ранее, металл является для электрона потенциальной ямой. Чтобы извлечь электрон из металла, необходимо совершить работу выхода. Определим эту работу. Если бы электроны в металле не обладали кинетической энергией, то для их освобождения потребовалось бы совершить работу, равную глубине потенциальной ямы ()о. Однако, как показано выше (см. 6.5), даже при абсолютном нуле температуры электроны обладают заметной кинетической энергией, заполняя все нижние энергетические уровни потенциальной ямы вплоть до уровня Ферми Е~.
Поэтому работа, которую необходимо совершить для выхода электронов из металла, будет меньше, чем Уо. В связи с этим работа выхода электронов из металла А, определяется следующим образом: .4, =(7о -Ек. (6.66) При Т = 0 это выражение характеризует наименьшую работу, которую нужно совершить, чтобы удалить из металла электроны, находящиеся на уровне Ферми. Отметим, что при температуре металла, отличной от нуля, работа выхода как минимальная работа по извлечению электронов из металла в некотором смысле теряет свою определенность, поскольку при Т ~ 0 тепловое возбуждение приводит к появлению в металле электронов с энергией Е >Е~.
Тем не менее и при Т~О Работу выхода определяют с помощью соотношения (6.66). Работа выхода является важной характеристикой поверхности металла и зависит от ее состояния, в частности чистоты. Интересно огмеппь, что грани кристалла, образованные разными кристалло"Рафическими плоскостями, могут иметь разное значение работы выхода.
Так, для монокристалла вольфрама значение работы выхода для Различных граней находится в пределах от 4,4 до 5,3 эВ. 379 Работу выхода можно существенно изменить, если на поверх ность металла нанести тонкий слой атомов или молекул другого вещества. В частности, нанесение на поверхность вольфрама тонкого слоя атомов цезия позволяет снизить работу выхода с 4,50 до 1,36 эВ.
Термозлектроннаи эмиссии. При повышении температуры металла кинетическая энергия теплового хаотического движения электронов увеличивается и может стать настолько большой, что некоторые из электронов смогуг преодолевать потенциальный барьер на границе металла и выходить наружу. Чтобы проиллюстрировать сказанное, рассмотрим график функции распределения электронов по энергиям Г(Е) (6.56) при двух значениях температуры металла (рис.
6.15, а) и энергетическую схему вольфрама (рис. 6.15, б), отсчитывая значения энергии электронов от дна потенциальной ямы. Г(Е) а О б Рис. 6.15. К объяснению термоздектронной эмиссии: а — функция распределения Е(Е) при Т1 = 0 (пунктирная линия) и при ТЗ И 0 (сплошная линия); б — значения УО, Ел(0) и Ав для вольфрама При Т) — — 0 свободные электроны не могут покинуть вольфрам, поскольку глубина потенциальной ямы 00 — — 13,45эВ превышает максимальное значение их кинетической энергии, равное Ер =8,95эВ. При нагреве металла до температуры Т2 -1000К 380 «вост" функции распределения г(Е) заходит за уровень Уо (см, рис.
6.15, а). Это означает, что у некоторой части электронов кинетическая энергия превышает глубину потенциальной ямы, а именно такие электроны могут покидать металл. Непускание электронов нагретыми телами в вакуум нли другую среду называется термоэлектронной эмиссией. Это явление было открыто Т. Эдисоном в 1883 г. Если металл помесппь в электрическое поле, напряженность которого Е направлена к поверхности металла, то это поле будет отводить вышедшие электроны от металла. Таким образом, в ва«ууме вблизи поверхности металла будет создаваться направленное движение электронов, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
