Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Для снижения влияния хо- 393 лодной эмиссии в таких ситуациях необходимо уменьшить поле Е у поверхности проводника или повысить работу выхода А„ подбирая соответствующиематериалы или покрытия. 6.7. Многоэлектронные атомы Выше в качестве системы ферми-частиц была рассмотрена система свободных электронов в металле. Еще одним примером системы фермионов являются электроны многозлектронного атома.
Пусть заряд атомного ядра равен Уе, тогда в таком атоме вблизи ядра находится 1т' = У электронов. Чтобы описать состояния этих электронов, нужно решить уравнение Шредингера для волновой функции системы 1т' электронов с гамильтонианом Н 16.1), учитывающим кулоновское взаимодействие электронов как с заряженным ядром, так и друг с другом. Решение такого уравнения для. многоэлектрониых атомов связано со значительными математическими трудностями, преодолеть которые в ряде случаев не удается даже с применением ЭВМ.
Метод Хартри — Фока. В квантовой механике были разработаны специальные методы нахождения приближенного решения уравнения Шредингера для многозлектронных атомов. Один из них, предложенный английским физиком Д. Хартри и развитый в дальнейшем советским физиком В.А. Фоком, получил название метода Хартри — Фока, или метода самосогласованного поля. В этом методе состояние каждого электрона в атоме описывается волновой функцией Ч' (Р), где л1 — набор четырех квантовых чисел л, 1, т и т„а волновая функция всей системы атомных электронов представляется в виде произведения Ч'(гп г2, ..., Ъ)=Фа (г1)Чя (г2)...Ч'„ь,(Ь). (6.74) В нулевом приближении волновые функции Ч' Я) берутся из набора волновых функций водородоподобного атома, т.
е. считается, что на движение отдельного электрона другие электроны не оказывают никакого влияния. Затем по этим волновым функци- 394 определяют энергию электрического взаимодействия каждого электрона со всеми остальными электронами атома. Эта энергия описывается выражением (6.75) Полученные значения энергии взаимодействия (6.75) вводят в виде поправок в гамильтониан (6.1), и с учетом этих поправок решают уравнение Шредингера для каждого электрона.
В результате получают новые волновые функции, которые уже не совпадают с волновыми функциями водородоподобных атомов. С помощью этих новых волновых функций снова вычисляют поправки к гамнльтониану и т. д. Такие итерационные операции повторяют до тех пор, пока последующие результаты не будут с достаточной точностью совпадать с предыдущими, т. е. пока эти результаты не стануг самосогласованными. Обычно число таких итераций не превышает десяти. В.А.
Фок учел в таких расчетах принцип Паули для системы электронов. Требования этого принципа в данном случае состоят в том, что в комбинациях квантовых чисел л; в выражении (6.74) не должны встречаться четыре одинаковых квантовых числа. Методом Хартри — Фока были рассчитаны характеристики целого ряда многоэлектронных атомов, причем результаты расчетов оказались в хорошем согласии с данными экспериментальных исследований. Этот метод применяется также в теории рассеяния, физике твердого тела и ядерной физике. Метод Томаса — Ферми. Для тяжелых атомов с большим числом электронов успешно применяется другой приближенный метод учета влияния электронов друг на друга, предложенный американским физиком Л.
Томасом для электронного газа высокой плотности и развитый Э. Ферми применительно к многоэлектронным атомам. Этот метод основан на предположении, что на расстоянии порядка дебройлевской длины волны электрона потенциальная энергия электрона у(г) изменяется достаточно медленно. Поэтому внутри объема, в котором изменения У(г) невелики, может находиться достаточно большое число электронов. В этом 395 случае анализ поведения электронов в атоме можно проводить, используя рассмотренное выше (см.
6.4) статистическое распределение Ферми — Днрака. Поэтому метод Томаса — Ферми является статистическим методом. Согласно этому методу, электрон в многоэлектронном атоме находится в суммарном поле атомного ядра и всех остальных электронов. Считается, что это поле обладает центральной симметрией, а также предполагается, что электрический заряд электронного облака в атоме распределен в пространстве непрерывным образом с объемной плотностью р(г), зависящей только от расстояния г от электрона до ядра. Для расчета плотности р(г) электроны в атоме рассматриваются как вырожденный идеальный газ ферми-частиц.
Пусть на расстоянии г от ядра потенциал суммарного электрического поля равен у(г), тогда полная энергия электрона Е = — — е(р(г), Р г, (6.76) где р — импульс электрона, а то — масса электрона. Для того чтобы электрон в атоме находился в связанном состоянии, его полная энергия Е не должна быть положительной, т. е. Е<0. Следовательно, электрон может находиться в связанном состоянии на расстоянии г от ядра только в том случае, если его импульс не превышает максимального (фермиевского) значения р~, равного р~=,/г„, и, (6.77) 4 3 Зкрг рзз ( 2вое(р(г)) (2лй) Зл А~ Зн л~ 396 Из условия квантования пространства импульсов (см.
6.2) следует, что в единице объема пространства число квантовых состояний электрона на расстоянии г от него до ядра не превышает значения Таким образом, плотность заряда в электронном облаке на расстоянии г отядраравна з~г р(г) =-еб =— е(2тое) з!г 'р( ) Зп2ьз Лу = —. Р во (6.78) Поскольку р и <р зависят только от расстояния г, т. е. задача имеет сферическую симметрию, уравнение (6.78) можно записать в виде 1 Н~(гф) е(2тое) ~ Ф ,1гг акга ьз (6.79) Это нелинейное дифференциальное уравнение для потенциала <р(г) следует решать с учетом граничных условий: <р(г)-~ — при г-~0 и <р(г)-+О при г-+ .
(6.80) Уе 4лаог Первое из этих условий означает, что по мере приближения к ядру вклад поля ядра в общее электростатическое поле приобрета- ет определяющее значение. Второе условие в (6.80) есть требова- ние равенства потенциала нулю в бесконечно удаленной точке пространства. Из электростатики известно, что для нейтральной в целом сис- темы точечных зарядов, например для нейтрального атома, скорость убывания потенциала системы на больших расстояниях оказывается заметно выше, чем в случае точечного заряда, для ко- 1 тоРого потенциал фт, - —. Таким обРазом, дла потенциала <Р Г суммарного электростатического поля, создаваемого ядром и атомными электронами, должно выполняться условие г<р-~0 прн г-+~~, 397 Потенциал усредненного электрического поля в атоме находят из Уравнения Пуассона Введем безразмерные величины 9 4пеог Г и х= —, Я (/3 11г9л ~ 1 4леой 1(9п ~ а а где Я =- — — =- — — = 0,885 —.
2~ 16 ~ У1/3 2 2~ 16 ! ~1/3 2(~3 ' Здесь а — радиус первой боровской орбиты (5.7). В этом случае уравнение (6.79) и граничные условия (6.80) принимают вид ~~2Ф 1Ф3 — =~ —, 0<х< Ф~1 при х — >О, Ф~О при х-> (6.81) Решение нелинейной краевой задачи (6.81) для функции Ф(х) находят с помощью численных методов. Результатом решения является монотонно убывающая функция, обра- 0,8 0,4 0 2 4 6 8 10 х 398 шаюшаяся в нуль лишь на бесРие. 6.23. РаспРеделепие УсРед- конечн (рис.
6.23). пенного потенциала электростатического поля в многозлехтропном атоме в модели Томаса — Томаса — Ферми не передает Ферми всех деталей распределения электронной плотности заряда внутри атома, он дает возможность достаточно точно установить внд усредненной зависимости р(г). Численный расчет электронной плотности заряда в зависимости от расстояния г до ядра позволяет, в частности, определить, что в сфере радиуса Я„= 1,33аУ ~~ заключена половина полного электронного заряда атома.
Поэтому именно величину К„обычно рассматривают как эффективный радиус атома. С помощью метода Томаса — Ферми можно найти полную энергию ионизации атома, т. е. энергию, которую нужно затратить для того, чтобы удалить из атома все электроны. Потенциал электростатического поля, полученный методом Томаса — Ферми, может быть использован в расчетах по методу методу Хартри— Фока, уменьшая тем самым число необходимых итераций. Использование метода Томаса — Ферми позволило объяснить порядок заполнения электронами электронных оболочек в атомах.
Этот метод также применяется в ядерной физике, в частности для описания заполнения нуклонами оболочек ядра. Свойства многоэлектронных атомов. Метод Хартри — Фока позволяет выделить в многоэлектронном атоме отдельные электроны, определяя для каждого из них четыре квантовых числа и, 1, т и и,. Самосогласованное поле не является кулоновскнм полем, поэтому энергия электрона в заданном квантовом состоянии зависит не только от главного квантового числа и, но и от значения орбитального числа 1.
Электронную конфигурацию многоэлектронного атома можно описывать по аналогии с атомом водорода, указывая для каждого электрона значения главного и орбитального квантовых чисел. Если же несколько электронов в атоме находятся в состояниях с одинаковыми значениями и и 1, то число таких электронов при записи электронной конфнтурации атома обычно указывают в виде показателя степени.
Так, например, электронная конфигурация нормального состояния атома кислорода (% =8) записывается в виде 1з 2з~2р4. Это означает, что из восьми электронов атома 2 2 кислорода два электрона находятся в состояниях с л =1 и 1 = О, еще два электрона — в состояниях с п = 2 и 1= О и, наконец, четыре электрона — в состояниях с л = 2 и 1 =1. Совокупность всех состояний с заданными значениями квантовых чисел и и 1 называется электронной оболочкой.
Оболочки, в свою очередь, объединяются в электронные слои. В каждом таком слое находятся электроны с одинаковыми значениями главного квантового числа п, причем число электронов, полностью заполняющих слой, равно 2п~. Это обусловлено тем, что, согласно принципу Паули, у электронов атома не может быть одинаковых значений всех четырех квантовых чисел. 399 Для обозначения электронных слоев атома используются символьц заимствованные из рентгеновской спектроскопии (табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
