Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Корнем этого уравнения является хр = 1,6. Таким обра- ИТ зом, наиболее вероятная энергия фотонов при Т = 300 К Е, =поз, =1,ба=0,042эВ. б. Найдем теперь среднюю энергию фотонов (Е1. Пользуясь распределением фотонов по частотам л„, получаем выражение для средней частоты фотонов (ю) в равновесном излучении при температуре Т. По определению, 1 1 1г Вычислим интегралы 1 и 1 " хз,1х к4 о е ~7 то получаем 351 лю где х= —, 1гТ Поскольку ~в „гю (1=' )п,ею о сезс1ю 1 (1гт'1 ( хЭЬ ~ИТ) Интеграл 1з имеет следующий внд: 1 1 оэ~йо 1 ('кТ1 1 х~Ых ~1,йт) В силу того что - „г„„ — = 2,405, о е' -1 получаем 1,= — ~ — ) 2,405. 1 ТкТ'1 яз,з(.
а) Таким образом, средняя частота фотонов составляет 1, 1 йТ яо ЯТ (го) = — '= — — = 2,69 —. Тг 2405 Ь 15 Я Отсюда находим среднее значение энергии фотонов (Е) = (лю) = А(ю) = 2,69кТ. С учетом численных значений величин, входящих в это выражение, получаем (Е) =0,069 эВ. 6.4. Распределение Ферми — Дирака Перейдем к анализу статистических свойств ферми-частиц, т. е. частиц, обладающих полуцелым олином.
Напомним, что ферми-частицы подчиняются принципу Паули, согласно которому в одном и том же состоянии одновременно не может находиться бо. лее одной частицы. Таким образом, фермионы являются частицами-индивидуалистами. Рассмотрим идеальный ферми-газ, т. е. систему, состоящую из невзаимодействующих фермионов. 352 )~ак н в 6.3„Решим сначала вспомогательнУю задачУ: найдем число в возможных распределений й! шаров по У ячейкам пенала условии, что в каждой ячейке не может находиться более однз шара (рис. 6.5) .
Темными кружками будем отмечать шары, „одяшиеся в ячейках, светлыми — отсутствие шара в ячейке. Число ячеек У и число шаров й! должны удовлетворять условию Рис. 6.5. Возможное распределение ферми-частиц по ячейкам Число всевозможных перестановок черных и белых кружков по ячейкам пенала равно У!. При этом перестановки только черных кружков в силу тождественности одинаковых частиц не приводят к новым распределениям. Число таких перестановок равно Ф!.
Перестановки светлых кружков (пустых ячеек) тоже не дают новых распределений, их число равно (У вЂ” Ж)!. Таким образом, число различных распределений М шаров по 2 ячейкам в данном случае равно (6А4) Для иллюстрации полученного результата рассмотрим распределение двух шаров по четырем ячейкам (рис.б.б). Число таких распределений равно шести. Точно такой же ответ следует из (6.44) 4! ьа= — '=6.
2!2! Рнс 6 6. Распределение двух ферми-частиц по четырем ячейкам 353 Поскольку фермионы, согласно принципу Паули, являются частицами-индивидуалистами, то выражение (6.44) определяет число возможных распределений Ф фермионов поУ ячейкам, т. е. статистический вес макросостояния системы фермионов. Вывод статистического распределения, которому подчиняются ферми-частицы, проводится подобно тому, как это было сделано выше для бозе-частиц.
Рассмотрим шестимерное фазовое про. странство с координатами х, у, я, р„р,„р,. Разобьем его с помощью изоэнергетических поверхностей ~(х, у, ~, р„р, р,)=Е; =сонм и » (х~ у1 а р» ру, р»)=Еьм=соп$1 на тонкие энергетические слои, так, что ~Еьм — Е; ~ «Е;. Пусть в пределы (-го слоя попадает У; ячеек (каждая объемом (2пл) ) н 3 Ф; частиц.
Тогда, согласно (6.44), статистический вес подсистемы из М; частиц Статистический вес всей системы равен произведению статисти- ческих весов ее отдельных подсистем: (6.45) Для того чтобы найти наиболее вероятное распределение частиц по ячейкам, нужно определитьмаксимум статистического веса (6.45) при условии, что полное число частиц системы М и полная энергия системы Е остаются постоянными, т.
е. ,) Ф; = Ф = сопзг и ЯИ;Е; =Е= сонэк 354 1~як и в случае бозе-частиц, вместо максимума статистического а 11 будем искать максимум энтропии Е = Ип й. С учетом 16 451 для энтропии системы ферми-частиц получаем следующее выражение: Е =/с~ ~1пУ; ! — 1п У$ ! — 1п(2$ — й!;)!]. поспользуемся формулой Стирлинга 1п и! = л1пп — и, справедливойпрн п»1.
Поскольку У;»1 и М;»1, то Е =/с~~Г~У; 1пУ; -2; -Ф; 1пЖ;+ Ж; -(2; — Ф;)х х 1п(У; — Ф;)+(У; — У;)], Е= — 1с,1„(М;1пД!г ь(У; — Ф;)1п(2; — Ж;)]+С', 1646) где С'=/с~ 2;1пУ;. Слагаемое С' в (6.46) можно в дальнейшем не учитывать, поскольку при решении задачи на экстремум энтропии Е варьироваться будут только числа частиц в слое Ж;, а С от них не зависит. Для отыскания максимума энтропии 16.46) воспользуемся, как и в 6.3, методом множителей Лагранжа. Рассмотрим функцию Е=Е+1~Р+~гЕ= =-~'1„~ЛЧ д!г ь(К,.-М,.)1в(г;-М;)]+Х,~ М;+12ХМЕ;, где 1з и Хз — множители Лагранжа.
Приравнивая нулю частные производные этой функции по Ф;, получаем У;-Ж; + Х2Е; =к1п — '' +Х~+Х~Е<— - О. 355 Отсюда следует, что и Тт У ~'гЕ;+)Ч )т' й или (л ) = ехр — г' '+1 (6.47) Множители Лагранжа Х~ и Хг находятсяточнотакже,каки в случае бозе-частиц. Используя тот же самый метод, что и в 6.3, определяем 1 Аг = —. Т Записывая Х~ в виде Х~ —— —, где р — химический потенциал, Р Т' и подставляя Х, и Хг в (6.47), получаем Е,.-ц ехр ' +1 Освобождаясь от индекса 1, приходим к окончательному выраже- нию 356 Ж; Отношение — ' представляет собой среднее число ферми- 2; частиц (л;), приходящихся на одну ячейку, т. е.
на одно квантовое состояние. Наиболее вероятным значением (лД, как следует из решения задачи на экстремум, является (6.48) Соотношение (6.48) называется распределением Ферми — Дирака. Оно определяет среднее число ферми-частиц, находящихся в квантовом состоянии с энергией Е при температуре Т. Обсудим следствия, вытекающие из распределения Ферми— днрака. Прежде всего отметим, что (п) не может быть больше единицы, поскольку числитель выражения (6.48) равен единице, а в знаменателе к единице прибавляется положительная величина— экспонента. Это означает, что в одном квантовом состоянии не может находиться более одной ферми-частицы, что согласуется с принципом Паули. Поскольку (п) < 1, то говорят, что распределение (6.48) определяет вероятность заполнения энергетического уровня с энергией Е при температуре Т.
Химический потенциал и для ферми-частиц может быть только положительным, т. е. р. > О. Иначе при Т вЂ” э О экспонента в знаменателе в (6.48) обратилась бы в бесконечность, а числа заполнения стали бы равными нулю, чего, естественно, быть не может. Напомним, что для бозе-частиц химический потенциал р не- положителен.
Рассмотрим случай малых чисел заполнения, т. е. будем считать, что ~Š— 1г') Š— )г Это условие выполняется при ехр~ — ~>>1 или — >>1. (,КТ1 )сТ Пренебрегая единицей в знаменателе выражения (6.48), получаем 357 где А=ехр~ — !. Таким образом, мы приходим к заключению, (р') '(,йт,)' На рис. 6.7 приведены ~рафики распределений Ферми — Днрака и Максвелла — Больцмана При Š— )ь — >>1 эти распределения, как )сТ уже отмечалось, совпадают. Кардинальное различие между ними на- Š— р, блюдается при — < 1. Класси)сТ 2 ~т -З -2 -1 О ческие частицы могут накапливип Рис.
6.7. Статистические расся в одном и том же состоянии в 1 — Максвелла — Больцмана; бап шом количестве. Для них (п) ц — Ферми — дар вка тем больше, чем меньше нх энергия Е. Что же касается ферми- частиц. то максимальное их число в одном квантовом состоянии не может превышать единицу, что согласуется с принципом Паули. Химический потенциал )ь, который, как уже отмечалось, имеет размерность энергии, в случае ферми-частиц называют энергией Ферми или уровнем Ферми и обозначают Ер.
При этом распределение Ферми — Дирака (6.48) принимает вид (6.49) 358 что распределение Ферми — Дирака при малых числах заполнения, или, как говорят, в случае разрелсенного ферми-газа, переходит в классическое распределение Максвелла — Больцмана. В 63 было показано, что в это же распределение в случае малых чисел заполнения переходит и распределение Бозе — Эйнштейна.
Следовательно, можно сделать вывод, что разреженные квантовые газы (и в случае бозонов, и в случае фермионов) не являются вырожденными и подчиняются классической статистике. Подчеркнем, что, хотя квантовая статистика в данном случае приводит к тем же результатам, что и классическая, квантовая природа частиц газа остается неизменной. Именно зто выражение мы и будем использовать в дальнейшем изложении. Отметим,чтопосколькудляфермионов 11>0, то Ел также больше нуля. Далее будет показано, что энергия Ферми ЕР является медленно меняющейся функцией температуры Т. Вид этой функции для электронного газа в металле рассмотрен в 6.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
