Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В общем случае можно доказать, что если операторы А и В двух физических величин не коммутируют, причем (А, 31 =с, то для соответствующих физических величин а и Ь справедливо соотношение неопределенности АаАЬ 1 —, исключающее возмож(с( 2 ность одновременного стремления к нулю неопределенностей Аа и АЬ. Легко убедиться, что операторы кинетической и потенциальной энергий не коммугируют.
Поэтому, хотя оператор полной энергии есть сумма таких операторов, нельзя утверждать, что в квантовой системе полная энергия системы есть сумма кинетической и потенциальной энергий. Это означает, что принципиально нельзя одновременно точно измерить кинетическую и потенциальную энергии движущейся частицы. В связи с этим нельзя измерить полную энергию частицы, измеряя одновременно ее кинетическую и потенциальную энергии.
Еще раз подчеркнем, что в квантовой механике математическим объектам и операциям над ними всегда соответствуют физические объекты и управляющие их движением законы. Известный физик-теоретик А.В. Фок в своей книге "Начала квантовой механики" отмечал, что можно составить целый словарь для перевода квантовой механики с математического языка на физический язык. В качестве примера приведем одну из страничек такого словаря. 160 Физика Математика Состояние квантовой частицы Волновая функция Ч' Плотность вероятности обнару- жения частицы Квадрат модуля 1Ч'~ = Ч" Ч' Достоверность наличия частицы Условие нормировки ~ Ч' ЧЧУ =1 Линейный эрмитов оператор Ф Физическая величина 1 оператора Ф ~ Ч'*ФЧЯУ вом состоянии АВ = ВА Можно порекомендовать каждому, изучающему квантовую механику, самостоятельно продолжить заполнение страниц такого словаря.
Задача 3.7. Определите оператор ускорения для частицы массой гпс, движущейся в потенциальном силовом поле г = -цгада. Региеииа Так как векторный оператор скорости 0 можно выразить через оператор импульса 161 Собственная функция Ч'„операто- ра Ф, соответствующая собствен- ному значению 1„ Квадрат модуля коэффициента в разложении волновой функции Ч' в ряд по собственным функциям Ч'„ Коммугативность операторов А и В: Состояние квантовой частицы, в котором значение физической величины 1 равно 1„ Вероятность при измерении г" получить значение Г„ Среднее значение(математиче- ское ожидание) физической величины Г" в заданном кванто- Принципиальная возможность одновременно наблюдать и точ- но измерять физические величи- ны а и Ь р 1й 8= — = — Ч, о гло то, дифференцируя этот оператор по времени в соответствии с правилом, найденным при решении задачи 3.5, определим векторный оператор ускорения как сИ 1Ир 1 -- -- 1 а = — = — = ~Н р- рН1= — гНЧ-ЧЙ~.
а аг й юо Поскольку гамильтониан йг Й = — ~+0, 2 а операторы Л ж Чг и Ч являются коммутирующими операторами, то а = — '[ОЧ-ЧО~. ио Для выяснения смысла получившегося коммутатора подействуем им на произвольную функцию Ч'. Тогда получим Й(ЧЧ )-Ч(ОЧ ) =и(ЧЧ )-Ч(НЧ ) =-(Чи)Ч. Г Но в потенциальном поле векторный оператор силы Р =(Г„рг, Г,~ есть оператор умножения на — ЧУ, т. е. рЧ =-(Чи)Ч.
Поэтому окончательно находим е р а=— Это операторное уравнение имеет вид уравнения Ньютона классической механики. Оно подтверждает вывод о том, что соотношения 162 Ч между операторами в квантовой механике имеют ту же структуру, что и соотношения межлу соответствуююими физическими величинами в ° классической механике. Задача 3.8. Установите коммутационные соотношения между операторами проекций момента импульса Е,„, Ь и Е, .
Реигение. Рассмотрим коммутатор операторов 1,„и Ь~: С учетом явного вида (3.34) операторов Е,, и Х определим в декартовой системе координат результат действия коммутатора этих операторов на волновую функцию: ~~ д. ЭуД д. Э,,) — г — — х — у — — г— д'Р дз'У Эз'Р Эз'р Эз'р дз'р л ~у — + уг — ух — г — + гх — — гу — + дх Эгдх дг' дудх дуда дхдг дгч~ дз,у ЭЧ, Эгч~~ 1' дч~ ЭЧ~') +г — + ху — — х — — хг — = — й у — — х — = ЙХ,Ч'. Эхду Э ду даду~ дх ду Таким образом, доказано, что 1.„У.
— Е, 1.„= гЫ,, и О. Точно так же можно получить коммутационные соотношения для лругих пар операторов проекций момента импульса: 163 Эти соотношения свидетельствуют о том, что все три проекции момента импульса не могут одновременно иметь определенные значения„эа исключением случая, когда все три проекции одновременно равны нулю. Можно показать (доказательство рекомендуется провести самостоятельно), что оператор квадрата момента импульса Ь коммутируст с операторами Ц, Е и Е, Следовательно, квадрат момента импульса (или модуль момента импульса) может быть одновременно точно измерен лишь с одной нз его проекций. Полученный результат означает, что в квантовой механике изображение момента импульса в виде вектора носит достаточно условный характер.
Поэтому и сложение моментов импульса (например, орбитального и спннового) нельзя проводить как сложение векторов. 3.8. Матричная формулировка квантовой механики Представление физических величин эрмитовыми операторами, действующими на волновую функцию, не является единственно возможным математическим аппаратом квантовой механики. В 1925 г., еще до открытия Э. Шредингером основного уравнения для волновой функции, В. Гейзенберг предложил в квантовой механике каждой физической величине ставить в соответствие некоторую матрицу с бесконечным числом строк и столбцов. Такая "матричная механика™ была развита в работах В.
Гейзенберга, М. Бориа, П. Иордана и других физиков на первом этапе независимо от волновой теории, а позже — параллельно ей. В дальнейшем Э. Шредингер показал, что представления физических величин операторами и матрицами эквивалентны, хотя математический аппарат этих двух методов решения задач квантовой механики оказывается различным. Связь между операторами и матрицами физических величин установим, считая для упрощения выкладок, что спектры рассматриваемых квантово-механических операторов являются дискретными, хотя все обсуждаемые ниже соотношения были обобщены Дираком и на случай операторов с непрерывными спектрами.
р=~'С„Ч „, а (3.85) причем коэффициенты этого разложения определяются по форму- лам (3.86) Если теперь в качестве функции ф взять функцию ФЧ'„„являюп1уюся результатом действия на функцию Ч'„, оператора Ф физической величины ~, то из (3.85) и (3.86) получим равенство ФЧ е ~~~~ФииЧ а а (3.87) где Ф = ~ Ч'.(ФЧ*.) 1Р. (3.88) Величины Ф „можно рассматривать как элементы некоторой бесконечной матрицы Фы Фи Ф1з - Фь Фз1 Ф22 Ф23 - з~ Ф = Фа1 Фл2 Фаз - ам 165 Пусть Ч'„, л = 1, 2, ..., — известный набор собственных функций некоторого квантово-механического оператора А .
Из свойств собственных функций эрмнтовых операторов следует, что любую регулярную функцию я1 можно разложить в ряд по собственным функциям оператора: < п~Ф~т > или < лфт >. (3.89) Такой символ можно рассматривать как символ, сконструированный из обозначения наблюдаемой физической величины (или соответствующего ей оператора Ф) и символов 1и> и < л! . Формально каждую собственную функцию Ч'„, (начальное состояние) представляет некоторый базисный вектор ! Ч'„, > или сокращенно! т > бесконечномерного пространства, который называют кет-вектором.
Собственную функцию Ч'„(конечное состояние) представляет вектор < Ч'„~ или < л ~, который называют бра-вектором. Такие названия происходят от английских Ьгас- и /сег-, образующих слово Ьгасlсег (скобка). Заметим, что обозначение <л!и> следует рассматривать как !ч сокращенную запись выражения <л~)~т >, где 1 — единичный (тождественный) оператор, для которого РР,„= Ч'„,. Поэтому 11, если л=т, = Ч„~Ч = ~Ч*„Ч Ир=б (О, если л ~ т. %~ Эту матрицу называют матрнцей оператора Ф (или физической величины ~ ) в системе собственных функций оператора А, или, как говорят, в А-представлении. В квантовой механике при этом используются координатное, импульсное, энергетическое и другие представления.
Каждую величину Ф„ называют матричным элементом, соответствующим переходу из состояния и в состояние л. Матричный элемент имеет два индекса: первый и — номер строки матрицы и второй и — номер ее столбца. Для матричных элементов Ф„ применяется также обозначение, предложенное Дираком, итак, оператор Ф физической величины г" в А-представлении определяется матрицей Ф, элементы Ф „которой определяются соотношением (3.88). При этом эрмитову оператору всегда соответствует эрмитова матрица, для матричных элементов которой справедливо соотношение Ф„= Ф' „.
Определим некоторые алгебраические операции над матрицами Гейзенберга. 1. Сложение матриц. Если С=А+В, то для матричных элементов матрицы С=А+В выполняется равенство С„=А„+В 2. Умножение матриц. Если С= А В, то элементы матрицы С = А В определяются по правилу перемножения матриц При этом произведение матриц, как и произведение операторов,не коммутативно,т.е. вобщем случае А В~В А. Так как правила сложения и умножения матриц определены, то можно определить и простейшие функции матриц. Так, например, под функцией ехр(Ф) будем понимать следующий ряд из матриц: ехр(Ф) =1+Ф+ — Ф +...+ — Ф" +... 2 1 и 2 и! Отметим одно важное свойство матриц Гейзенберга физических величин в квантовой механике.
Если определить матричные элементы Ф оператора Ф в собственном Ф-представлении, когда ФЧ' = ~' Ч', то из (3.88) получим Ф„„, =(л~Ф~т)= ~ Ч'„ФЧ'„,с1У = 7;„~ Ч'„Ч'„,Л'=~,„Ь ~у зги 167 Это означает, что матрица оператора Ф в собственном представлении является диагональной, т. е. матрицей, у которой отличны от нуля лишь элементы с л = т, причем эти диагональные элементы являются собственными значениями оператора Ф. Таким образом, важная задача квантовой механики — определение собственных значений квантово-механического оператора Ф вЂ” в матричной формулировке сводится к нахождению такого преобразования матрицы, которое приводит ее к диагональному виду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
