Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 23
Текст из файла (страница 23)
1. Спектр собственных значений оператора координаты х непрерывен. В самом деле, так как действие этого оператора на волновую функцию сводится к умножению ее на координату х, то уравнение задачи на собственные значения оператора х, имеющее внд хЧ' = хЧ', (3.60) .
дЧ' = РхЧ дх х (3.61) из которого следует определить возможные значения р„. Решение уравнения (3.61) 'Р =Сехр 1 —" (3.62) при всех действительных значениях рх определяет функцию Ч', удовлетворяющую всем стандартным условиям регулярности. Поэтому собственные значения оператора р„образуют непрерывный спектр от — до + .
Такой же вывод относится к собственным значениям операторов р, и р,. 3. Примером дискретного спектра является спектр собственных значений оператора проекции момента импульса Тт. Для определения этого спектра направим полярную ось сферической системы координат вдоль оси х. Тогда с учетом (3.36) уравнение для определения собственных функций и собственных значений оператора 1. представим как дифференциальное уравнение первого порядка .
дЧ' 1й — =1. Ч'. ду (3.63) Общее решение этого уравнения может быть записано в виде 145 соответствует операторному равенству х = х, которое, по определению, выполняется для любого значения хп(-,+ ). Аналогичные выводы получаем для операторов у и 2. 2. Спектр оператора проекции импульса рх также является непрерывным спектром. Действительно, задача на собственные значения такого оператора сводится к решению дифференциального уравнения первого порядка Ч' = С ехр 1-г — .
(3.64) Собственные функции оператора Ц должны быть однозначными функциями, а так как угловая координата ~р является циклической переменной задачи, то условие однозначности собственной функции сводится к условию ее периодичности: Ч'(<р+2н)=Ч'(~р). Выполняя это условие для функции (3.64), получаем равенство ехр 1 т =ехр 1 — ~- ехр 1-~ — =1.
Из последнего соотношения следует, что Е 2н — ~ — =2ли и=О, ~1, х2 ... Таким образом, найден дискретный спектр собственных значений оператора 1,: Ц =тй, т= О, й1, й2, ... (3.65) соответствующий набору собственных функций этого оператора Ч',„((р) = — ехр(ии~). 1 ~/2к 13.66) 1 Значение константы С = — выбрано в 13.66) из условия норми~2ж ровки 1 1мч т'"Ф=1.
о 4. Собственные функции и собственные значения оператора квадрата момента импульса Ь следует искать из уравнения 'з которое с учетом формулы (3.36) запишем в сферической системе координат: — и — — ~ яп8 — ~+ — г =1, Ч'. (3.67) ~з)пОЗО~, дй,~ зщ~0 оФ~ ~ Е =а~111+1), 1=0,1, 2, ... (3.68) Каждому собственному значению из (3.68) соответствует 21+1 различных собственных функций, которые выделяются заданием целочисленного параметра а =О, +1, +2, ..., х1. Другими словами, каждое собственное значение оператора Е~ имеет кратность вырождения, равную 21+1.
Собственные функции оператора 1~, найденные из решения уравнения (3.67), имеют вид Ч', =У1 (Е,Ф) (3.69) 147 Решить это уравнение можно с привлечением специальных функций. Это решение приводится в курсах теоретической и математической физики. Ниже мы ограничимся лишь кратким перечнем свойств этого решения. Прежде всего отметим, что спектр собственных значений оператора Ь оказывается дискретным, т. е.
уравнение (3.67) имеет решения нз класса регулярных функций только для значений Функции у~,п относятся к кпассу специальных функций и называются сферическими, или шаровыми, функциями. Если их нормировать условием 2я я ~ ~У1*,п У1,пяпОдЫ(р=1, оо то можно выписать несколько первых нормированных сфериче- ских функций в явном виде: 13 ~3. 1о о = —, у1 о - -~ — сов 8, 1; м — — ~ — яп Оехр(+ ир); ~/4п ' ~4л ' 1(8л у2 о —— ~ — ~3соз Π— 1), У2 я1 — — ~ — созОз1пОехр(х йр), (3.70) 1~16п ' ~8п У2,я2 — — 1~ — яп Оехр(ы2чэ);Узо —— .ч1 — соз8~5соз Π— 3). 2 7 ( 1~ 32л ~16п 5. Задачи о нахождении спектра собственных значений оператора полной энергии Н связаны с заданием конкретного вида потенциального снлового поля, в котором движется частица.
Некоторые из них будут решены в гл. 4 при описании стационарных квантовых состояний. В этих задачах решение уравнения Шредингера будет сведено к нахождению собственных функций и собственных значений гамильтониана Н. З.б. Измерения физических величин в квантовых системах Пусть известна волновая функция, описывающая состояние частицы в квантовой системе. Каков будет результат измерения физической величины у в этой системе? Как рассчитать и предсказать результаты эксперимента по определению значений этой физической величины? Ответ на эти вопросы о результатах измерений физических величин дает третий постулат квантовой 148 механики, угверждающий, что в результате измерения физической величины 1 в любой квантовой системе могут быть получены только такие значения, которые являются собственными значевиями оператора Ф, соответствующего этой величине. Этот важный постулат квантовой механики устанавливает связь между теорией и возможностью ее экспериментальной проверки.
Математический аппарат теории, в котором физические величины пр:дставлены операторами, позволяет предсказать результаты измерений физических величин в различных квантовых системах. Эти выводы теории могут быль проверены экспериментально. Так, например, используя найденные в 3.5 спектры собственных значений операторов Т. и Т, можно утверждать, что при измерении модуля орбитального момента импульса атомов всегда будут получаться значения 1. = ч Т. из набора Г2 а для проекции момента импульса на выделенное магнитным по- лем направление 2 в экспериментах будут получены значения Тт =ий, а=о, +1„+2,.
Точное решение задачи квантовой механики об атоме водорода, которое будет рассмотрено в гл. 5, приведет нас к такому же выводу, причем целочисленные параметры 1 и т в теории атома называются квантовыми числами, характеризующими состояние электрона в атоме. Теперь следует ответить на вопрос о том, какое конкретное собственное значение ~'„оператора Ф будет результатом измерения физической велнчшзы Г' в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией Ч'? Ответ на этот вопрос подтверждает, что вероятностная интерпретация лежит в основе всех положений квантовой механики.
Если состояние частицы в квантовой системе описывается волновой функцией Ч'„, которая является одной из собственных функций оператора Ф, то в этом квантовом состоянии физическая 149 величина у имеет определенное значение, равное га. Это означает, что если представить совокупность большого числа одинаковых независимых квантовых систем (рис.
3.4), в которых тождественные частицы все находятся в одинаковых квантовых состояниях (такую совокупность квантовых систем называют квантовым ансамблем), то, измеряя физическую величину у в различных системах этого ансамбля, мы всегда будем получать в результате измерения одно и то же значение, равное Га. Квантовый ансамбль систем Результаты измерений Рнс.
3.4. Измерение физической величины, имеющей определенное значение Однако возможна и другая ситуация, когда волновая функция не будет являться собственной функцией оператора Ф. В таком квантовом состоянии физическая величина у не имеет определенного значения. Это означает, что, согласно третьему постулату квантовой механики, и в этом случае результатом измерений физической величины г" в системах квантового ансамбля будут только значения из спектра собственных значений оператора Ф.
Однако измерения в различных системах квантового ансамбля (рис. 3.5) будут давать разные значения Яп ~з.... 1'„и т. д. При этом каждое значение ~, в квантовом ансамбле будет обнаруживаться с определенной вероятностью Ра . В процессе измерения квантовая система взаимодействует с измерительным прибором. В результате такого взаимодействия квантовая система, находящаяся в состоянии, описываемом волно- 150 вои функцией Ч', переходит с вероятностью Р„в состояние с волновой функцией Ч'„.
Такой переход называют редукцией, или коллапсом, волне~ой фу~яппи. Квантовый ансамбль систем Результаты измерений Рис. 3.5. Измерение физической величины, ие имеющей определенного значения В квантовых системах, в которых физическая величина 7" не имеет определенного значения, имеет смысл находить среднее значение, т. е. математическое ожидание результатов измерений в серии из большого числа измерений (3.71) Для того чтобы рассчитать вероятности Р„ в (3.71), следует раз- ложить волновую функцию Ч' в ряд по полной системе собствен- ных функций Ч'„оператора Ф: ч =,'Гс„ч'„. я (3.72) Напомним, что такое разложение всегда возможно и коэффициенты зтого разложения вычисляются по формуле (3.73) 151 (3.74) С учетом (3.73) преобразуем (3.74) к удобному для расчетов виду.
Призтом (У) =„'>',фф'У„=,'ГС„У„~ Ч „Ч'Л =~„с„~ Ч"У„'Р„Л. я ~ля По свойству собственных функций и собственных значений опе- ратора Ф ~„Ч'„= ФЧ'„. Следовательно, (у)=~с„) ч'(еч„)юг= /ч' ~с„ьч„)а. а у~я уя я С учетом свойства линейности оператора Ф получаем ~~»~~СвФЧ л Ф(~~» СлЧ в) Поэтому для расчета среднего значения физической величины )' в квантовом состоянии системы, описываемом волновой функцией Ч', окончательно получаем формулу (г)= ~ ч*(Фч')лр. (3.75) 152 Разложение (3.72) показывает, что произвольное квантовое состояние можно представить в виде совокупности квантовых состояний с определенными значениями физической величины ~".
г Поэтому искомая вероятность Р„равна квадрату модуля ~'С„~ соответствующего коэффициента в разложении (3.72). Следовательно, среднее значение учитывая важность формулы (3.75), ее часто рассматривают как четвертый постулат квантовой механики. Отметим, что если Ч' = Ч'„, то из (3.75), естественно, следует (у)= ~Ч*„(фч„)Л = ~Ч*„У„Ч„Л =У„~Ч*„Ч„аР=~„. , и З1н З1н Таким образом, квантовая механика позволяет дать численную оценку потенциальных возможностей того или иного поведения квантового объекта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
