Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Запишем уравнение Шредингера для одномерного движения частицы вдоль оси х — + — ~Е-Яхту=О. (4.11) Ы2Ч 2 ,(хг,г Поскольку вне ямы потенциальная энергия обращается в бесконечность, то для того, чтобы выполнялось уравнение (4.11), необходимо, чтобы вне ямы волновая функция цех) обращалась в нуль, т. е. ц~(х)жО. Это означает, что в случае ямы с бесконечно высокими стенками частица не может выйти за пределы ямы, поскольку такие стенки являются непроницаемымн для частицы. В силу непре- а х Рис. 4.1.
Одномерная по- тенциальная яма с непро- ницаемыми стенками 176 стенками. Такие ямы называют еще потенциальными ящиками, наиболее часто это название применяется по отношению к трехмерной потенциальной яме. В этом случае частица движется в ограниченной области пространства, т. е. мы имеем дело с так называемым финнтным движением. Рассматриваемые в этом параграфе особенности движения частицы, такие, например, как квантование энергии, вырождение энергетических уровней и т. д. в дальнейшем будут проанализированы для случая потенциальных ям другого вида.
Одномерная потенциальная яма. Рассмотрим частицу, находящуюся в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. В этом случае потенциальная энергия частицы У(х) имеет вид рывности волновая функция Ч~(х) должна обращаться в нуль и на границах ямы: при х=О и при х=а. 3'аким образом, задача о движении частицы в потенциальной яме сводится к решению уравнения — + — ЕЧг=О, 0<х<а, 2л~о 1х2 й2 (4.12) с граничными условиями Чг(0) = О, у(а) = О.
Введем обозначение й= ~Е. (4.13) Ч~ +к Ч=О решение которого есть у(х) =Аз)пйх+Всозкх. (4.14) Используя граничное условие Чг(0)=0, получаем В=О, т. е. Чг(х)=Аз)пйх. Второе граничное условие Чг(а)=0 приводит к соотношению А з)п йг = О, которое для А ~ 0 выполняется при (4.15) йг =+кл, л = 1, 2, 3, ()тметим, что значение л =О, формально также входящее в решение (4.14), не удовлетворяет условию задачи, так как при этом Ч'жО, а это означает, что частица в яме отсутствует. Поэтому значение л = 0 следует отбросить.
Подставляя (4.13) в (4.15), приходим к выражению для полной энергии частицы, движущейся в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, 177 При этом уравнение (4.12) примет вид хорошо известного из тео- рии колебаний уравнения „г г Е„= и, и=1,2,3,... 2тоа (4.16) У Важной особенностью полученного энергетического спектра (4.16) является его дискретность.
Частица, находящаяся в потенциальной яме, может иметь только дискретные, квантованные значения энергии (рис. 4.2), определяемые из выражения (4.16). Отметим„что квантование возникает вследствие граничных условий, накладываемых на волновую о в к функцию, т. е. вследствие равенства ну- лю волновой функции на границе потенРяе. 4.2. Энергетические ьной я уровни частипы в потев- Число п в (4.16), определяющее энергию частицы в потенциальной яме, называется квантовым числом, а соответствующее ему значение ń— уровнем энергии. Состояние частицы, в котором она обладает наименьшей энергией (в этом случае и = 1), называется основным состоянием.
Все остальные состояния являются возбужденными: значение и = 2 отвечает первому возбужденному состоянию, значение и =3 — второму возбужденному состоянию и т. д. Следует отметить, что минимальное значение энергии частицы, находящейся в основном состоянии, отлично от нуля. Этот результат согласуется с соотношением неопределенностей и является общим для всех задач квантовой механики. В классической механике минимальную энергию, равную нулю, имеет покоящаяся в яме частица.
Такого состояния покоя у квантовой частицы не существует. Обсудим подробнее вопрос о дискретности энергетического спектра. Разность значений энергий ЬЕв и -го и (и+ 1) -го энергетических уровней равна „г,г ЬЕв = Е„.н! — Ев — — (2и+1). 2тоа !78 Оценим величину ЛЕ„для конкретных случаев.
Случай 1. Рассмотрим молекулу газа массой то =10 кг в сосуде размером а = 0,1м. При этом для и ) 1 ЛЕ„=6,8 10 ~ л эВ. Энергетическое расстояние между соседними уровнями оказывается столь малым по сравнению с энергией теплового хаотического движения молекулы )гТ (при комнатной температуре 7гТ = =2,6.10 ~эВ), что практически можно говорить о сплошном энергетическом спектре движущейся молекулы. Случай 2. Рассмотрим свободный электрон (то =0,9 10 ~ кг) в металле ( а = 0,01 м) . В этом случае ЬЕ„=7,5.10 п эВ, т.
е. энергетическое расстояние между уровнями намного меньше характерного значения энергии электронов в металле, составляющего по порядку величины 1 эВ. Однако, как будет показано в гл. 6, наличие дискретных уровней даже в случае потенциальной ямы макроскопических размеров для электронов имеет принципиально важное значение. Случай 3. Рассмотрим свободный электрон в атоме (а = 10 го м). При этом разность значений энергий соседних уровней составляет ЛЕл =0,75л зВ. Это заметная величина по сравнению, например, с энергией связи электрона в атоме ( Е„- 10 зВ).
Поэтому дискретность энергетического спектра в этом случае оказывается весьма существенной. Завершая рассмотрение энергетического спектра частицы в потенциальной яме (4.16), отметим еще одно его свойство. Запишем отношение Л~„к Е„: 179 ЬЕ'„2п+1 я 2 При увеличении квантового числа и это отношение уменьшается с АЕ„21 —" = —, таким образом, дискретность энергетического спектЕл ра с возрастанием п играет все меньшую роль.
Этот результат представляет собой проявление важного физического принципа— принципа соответствия, согласно которому при больших значениях квантового числа и, т. е. при п -+ °, квантовая механика переходит в классическую механику. Волновые функции частицы в одномерной потенциальной яме. Перейдем теперь к анализу волновых функций часпщы, находящейся в одномерной потенциальной яме. Из (4.14) с учетом (4.15) получаем 7РИ ц1„(х) = Аз)п —.
а Множитель А находим из условия нормировки волновой функции (4.10) й Вц1„(х)~ ЬАА2 131п2 — Ь = А2 — = 1. а 2 в о Е Таким образом, А= ~ —. Тогда волновые функции частицы в ода номерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками имеют вид цг„(х)= (-ип —, 0<х<а, п=1, 2,3, ... (4.17) Г2 . ппх а а Отметим, что зти функции, согласно общей теории (см. (3.54)), являются ортонормированными, т. е. 180 (4.18) где Ь вЂ” символ Кронекера, Рассмотрим графики волновых а функций ч„(х) (рис. 4.3) для первых а=4 четырех значений квантового числа п. Волновые функции, отвечающие раз- а=3 ным значениям п, существенно отличаются друг от друга.
Если поместить начало координат в середину ямы, то волновые функции частицы внутри ямы я=1 для нечетных значений п будут четными функциями координаты, и на- 0 а х оборот, волновые функции для четных п — нечетными фУнкциЯми кооРдина- Рис. 4З.
Волновые функты. При увеличении квантового числа цви частицы в потенции на единицу число точек пересечения апьной яме с вепрониволновой функции с осью х также паемыми стенками увеличивается на единицу. Отличительным свойством найденных волновых функций является излом, т. е. скачок производной на границах ямы. Этот скачок возникает вследствие того, что на границах ямы потенциальная энергия частицы У(х) обращается в бесконечность. В случае ямы конечной глубины скачок производной волновой функции на границе ямы отсутствует, т.
е. волновая функция является гладкой (см. 4.4). На рис. 4.4 представлены графики квадрата модуля волновой функции ~цг„(х)~, определяющего плотносп* вероятности нахож- 2 девиа частицы в потенциальной яме. Плотность вероятности оказывается существенно различной для разных состояний частицы, т. е. для разных значений квантового числа л. Так, например, в основном состоянии, т. е.
при л = 1, частица с наибольшей вероятностью находится в центре ямы, а в первом возбужденном состоянии, т. е. при п = 2, вероятность обнаружить частицу в центре ямы равна нулю, хотя пребывание частицы в левой и правой поло- 181 винах ямы равновероятно.
Такое поведение кардинально отличается от поведения в яме классической частицы, для которой плотность вероятности нахождения частицы одинакова в любой точке ямы. Вероятность того, что частица в яме находится в области х1 <х<х2, !ч„!' определяется согласно выражению а х хз !ч ()1 х1 и = ~у„*(х)у„(х)ах. Рис. 4.4. Плотность вероят- ности нахождения частицы для различных квантовых состояний (4.19) Отметим, что с математической точки зрения задача о движении частицы в одномерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками аналогична задаче о колебании струны с закрепленными концами. И в том, и в другом случае из граничных условий следует, что на ширине ямы (на длине струны) должно укладываться Х целое число полуволн, т.
е. а = и —. В нашем случае Х вЂ” это 2 дебройлевская длина волны частицы в яме Хв. Двумерная потенциальнан нма. Рассмотрим частицу, находящуюся в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. В этом случае потенциальную энергию частицы (1(х, у) можно представить следующим образом: О, (х,у)н Й, У(х,у)= (х,у)и Й, 182 где й =1(х, у): О < х < а1, 0 < у < а2 ~ — прямоугольная область на плоскости (х, у) (рис. 4.5).
Вне потенциальной ямы, как и в одномерном случае, волновая функция частицы за(х, у) ьт 0. У аг Поскольку движение частицы в яме вдоль осей х и у происходит независимо, волновую функцию Чг(х, у), запишем в виде произведения: Ч/(х, У) =Ч/1(х)Чс2(У), (4.20) О а х Рис. 4.5. Двумерная пря- моугольная потенциаль- ная яма где Ч(1(х) — функция, зависящая только от координаты х, а Чт2(у)— функция, зависящая только от координаты у. Подставляя выражение (4.20) (4.6), получаем в уравнение Шредингера Лцк(х, у)+ — ЕЧк(х, у) = О, 2ль1 ,г ау Разделив левую и правую части этого выражения на Ч~1(х)Ч~2(у), приходим к соотношению 1 а Ч1(х) 1 Д Ч2(у) 2 0 Ч,(х) (2 Ч~ (,) 1 2 й2 (2Ч,( ) 2 , Ч (х) Ы2 Ь2 1 183 Первое слагаемое в левой части (4.21) зависит только от х, а второе — только от у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
