Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 30
Текст из файла (страница 30)
е. при рае-ю стоянии от порога, сравнимом с размерами атома, 2 ехр — — 2то(Уо — Е) х =0,29. й Мы видим, что вероятность найти электрон на таком расстоянии в области 11 высокого потенциального порога достаточно велика. При х =10 м ехр~ — „2тофо-Е)х~=4,54. 10 ~ г -8 Это означает, что вероятность пребывания электрона на таком расстоянии от порога ничтожно мала. Полученные оценки показывают, что в данном случае электрон с заметной вероятностью мо- 198 (4.38а) ~" Ч2 2 г (х2 +к21е2 =О, (4.38б) где й1 и к2 определяются из соотношений lс1 = — Е и 1з = — (Š— Уо). (4.39) 2то 2щ )( 82 ,г Решая уравнения (4.38а), (4.38б), получаем ж1(х)=А1е' ' +В1е ' '", х<0, Ч2(х)=А2е ~" +В2е ' з, х>0. (4.40а) (4.40б) Будем считать, что частица приближается к порогу со стороны отрицательных значений х, т. е.
движется слева направо. При этом 199 жет проникать в область П лишь на расстояния, сравнимые с размером атома. Таким образом, хотя коэффициент отражения частицы от высокого барьера В = 1, т. е. отражение является полным, оно не обязательно происходит на самом пороге, т. е. на границе раздела областей 1 и П. С определенной вероятностью частица может проникнуть в область П и затем выйти из нее. Интересно отметить, что рассмотренное явление имеет аналог в классической физике — явление полного внутреннего отражения в волновой оптике.
В этом случае также происходит полное отражение при падении света на границу раздела оптически более плотной и менее плотной сред. При этом свет может проникать в оптически менее плотную среду, однако его амплитуда убывает с глубиной по зкспоненциальному закону. Перейдем теперь к анализу случая, когда энергия налетающей на порог частицы Е превышает высоту потенциального порога Уо, т. е. Е>Уо. Такой порог носит название низкого потенииального порога. В этом случае уравнение Шредингера для областей 1 и П имеет вид первое слагаемое в (4.40а) описывает падающую на порог волну де Бройля, а второе слагаемое — волну, отраженную от порога.
Аналогично первое слагаемое в (4.40б) соответствует прошедшей через порог волне де Бройля. Поскольку отраженная волна в области П отсутствует, то коэффициент В2 следует считать равным нулю, т. е. В2 — — О. Условие непрерывности волновых функций и их производных на границе (при х = 0) приводит к следующей системе уравнений для коэффициентов А1, В1 и А2. А1 + В1 — — А2, )11А1 — /с1В1 — — /С2А2. (4.41) Полагая, как и в предыдущем случае, А1 — — 1, для В1 и А2 получаем Й1 — й2 2й1 )11+ "г 111+ кг Таким образом, волновые функции частицы в случае ее движения в области низкого порога имеют вид Н1Х 1 2 -Й1Х )11 + )12 2/с1 Ч2(х)= е ' 111 + 112 (4.42) где 111 и й2 заданы соотношениями (4.39). Для того чтобы найти коэффициенты отражения Я и прохождения 1) частицы через порог, определим векторы плотности потока вероятности для падающей, отраженной и прошедшей (преломленной) волн де Бройля.
Подставляя найденные волновые функции (4.42) в (4.36), получаем г (4.43) С учетом (4.35) и (4.43) коэффициент отражения частицы от низ- кого потенциального порога 2 2 (4.44) з~ ц-ж, ~1-,Т-ю,~е) Отсюда следует, что при Е > Ус существует отличная от нуля вероятность отражения частицы от низкого потенциального порога, т. е. возможно так называемое иадбарьерное отражение. Этот эффект является чисто квантовым и объясняется наличием у частицы волновых свойств. Макроскопическая частица, подчиняющаяся законам классической механики, при прохождении через низкий потенциальный порог не испытывает отражения, в области порога лишь уменьшается ее кинетическая энергия.
Интересно отметить, что если потенциальный порог "обратить", т. е. считать, что У(х) = Уо в области 1 и У(х) = 0 в области П, то коэффициент отражения частицы с заданной полной энергией Е >Ус не изменится. Этот вывод следует из того, что в задаче с "обращенным" порогом во всех формулах я1 и я2 поменяются местами, но при этом, согласно (4.44), коэффициент отражения Я не изменится. Этот результат можно сформулировать и другими словами: вероятность отражения частицы от низкого потенциального порога не зависит от направления движения частицы. Коэффициент прохождения О частицы через порог, согласно (4.43), принимает вид 4а,а, И, ~2~' (1.~ф-Оц7Е)* Таким образом, и в случае низкого порога В+1) =1, что естественно было ожидать с точки зрения сложения вероятностей: па- 201 дающая на порог частица либо отразится от него, либо пройдет в область П.
Следует отметить, что волна де Бройля, описывающая движение частицы в области порога, на границе раздела областей 1 и П испытывает преломление, связанное с изменением скорости частицы с и ее длины волны ХБ. Относительный показатель преломления и (см. 2.1) определяется как Б г)2 (1) и — — —— (4.46) ~ (2) Б где ХБ и )(. — длины волн де Броиля, а г)1 и г)2 — скорости (1) (2) движения частицы соответственно в областях 1 и П. Выражая е1 и о2 через кинетическую энергию частицы, получаем Проведенный анализ еще раз указывает на глубокую аналогию, существующую между квантовой механикой и волновой оптикой. Прохождение частицы через потенциальный барьер.
Область пространства, в которой потенциальная энергия частицы У больше, чем в окружающих областях, называется потенциальным барьераи. Анализ движения частицы в области потенциального барьера начнем с рассмотрения простейшего случая одномерного прямоугольного потенциального барьера (рис.
4.8), для которого потенциальная энергия частицы х<0, и(х)= ио, 0<х<а, О, х)а. Обозначим цифрой 1 область слева от барьера, цифрой П вЂ” область 0< х < а и цифрой Ш вЂ” область справа от барьера. Будем 202 считать, что частица приближается к барьеру со стороны отрицательных значений х, т. е. движется слева направо. Рассмотрим случай, когда энергия частицы Е меньше высоты потенциального барьера Уо, т.
е. Е<Уо(случай Е>Уо рассмотрен в задаче 4.7). Уравнение Шредингера для областей 1, П и П1 имеет вид 0 а х Рис. 4.8. Прямоугольный потенциальный барьер Ы Ч1( ) 23у,( ) — 0 ~ 1Р2(~) 12 И Ч 3(х) Фг ( ) 0 (4.47) 2 гпоЕ „2гио (Уо — Е) ~2 ' 2 82 Волновые функции, являющиеся решением уравнений (4.47), запишем следующим образом: щг (х) = Аге' '~ + В~е ' ', Муг(х) =А2е г +Вге "г 3рз(х) = Азе ' + Взе (4.48) Как обычно, будем считать амплитуду падающей на барьер волны де Бройля Аг -— 1. Коэффициент В3 положим равным нулю, при- нимая во внимание, что при движении частицы слева направо в об" асти П1 может распространяться только проходящая волна. 203 Условие непрерывности волновых функций и их производных на границах барьера, т.
е. при х = 0 и х = а, приводят к системе четырех уравнений с четырьмя неизвестными — коэффициентами Вс, А2, Вг, Аз.' 1+В1 =Аг+Вг, йс Й1Вс = йгА2 1сгВг А ь2а + В ага — А сссе 2е 2е Зе lсгАге 2' кгВге 2' = й|Азе' с". (4.49) Эта система имеет решение при любых значениях параметров асс и lсг, т. е. при любых значениях энергии частицы Е. Следовательно, энергетический спектр частицы является непрерывным.
Основное внимание в данном случае сосредоточим на анализе прохождения частицы через барьер. Решая систему уравнений (4.49), для амплитуды Аз прошедшей через барьер волны получаем 4й1фге ' '~ з— ()с1+йг) е 2~ (1с1-Йг) е г Коэффициент прохождения частицы через барьер 1+ 1 + г зй~/сга (4.50) Рассчитаем плотности потоков вероятности для падающей на барьер и прошедшей через него волн. С учетом (4.36) и (4.48) найдем, что ный барьер в виде последовательности большого числа узких прямоугольных потенциальных барьеров, расположенных один за другим (рис. 4.9, о).
Будем считать, что барьер имеет достаточно плавную форму, т. е. полагать, что его высота на расстоянии, сравнимом с длиной волны де Бройля, изменяется незначительно. Будем также пренебрегать надбарьерным отражением частицы. Волна де Бройля, прошедшая через 1-й прямоугольный барьер, представляет собой волну, падающую на (1 + 1)-й барьер и т. д. Вероятность прохождения частицы через цепочку последовательно расположенных потенциальных барьеров равна произведению вероятностей прохождения через каждый из барьеров. Таким образом, коэффициент прохождения 1) равен произведению коэффициентов прохождения для каждого барьера: о=по,-п *г1 — 'яз ь(еЯ:е)1= ( 2бл) й (4.52) =ехр -,'à — ' 2гпо'(У(х;) — Е~, 2лх! Ь где Ьх; — ширина 1-го барьера; У(х;) — высота 1-го барьера. Переходя в (4.52) в пределе Ат; — ь О от суммирования к интегрированию, получаем а= р — 1,/г„,~сЛФ-ре).
(4зз) 2 в Ь х| где х1 и х2 — значения координат, при которых У(х) = Е (рис.4.9, б). О х~ О х1 хз х хз х а б Рис. 4.9. Прохождение частицы через потенциальный барьер: а — приближение цепочкой прямоугольных барьеров; б — потенциальный барьер произвольной формы Туинельный эффект. Прохождение частицы через потенциальный барьер, высота которого превышает энергию частицы, получило название туннельного эффекта (частица, проходя под барьером, как бы движется в туннеле).
Отметим, что туинельный эффект представляет собой чисто квантовое явление. Классическая частица, подходя к барьеру, высота которого больше ее полной энергии, отражается от него. Пройти через такой барьер, т. е. через область, в которой ее кинетическая энергия стала бы отрицательной, она не может. Квантовая частица может пройти через этот потенциальный барьер, причем вероятность ее прохождения испытывает сильную (экспоиенциальную) зависимость от массы частицы, а также от вида потенциального барьера У(х). Подчеркнем, что при прохождении через барьер полная энергия частицы Е не изменяется.
Туннельиый эффект объясняет ряд важных физических явлений, таких, например, как холодная эмиссия электронов из металла, альфа-раслад радиоактивных ядер, контактная разность потенциалов. Кроме того, туннельный эффект находит очень широкое применение в технических приложениях. В частности, на его основе был создан сканирующий туннельный микроскоп, который произвел подлинную революцию в физике и технике поверхности и имеет широкие перспективы в связи с развитием нанотехнологий. Холодная эмиссия электронов иэ металла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
