Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 33
Текст из файла (страница 33)
В потенциальной яме, характеризующей взаимодействие протона с нейтроном, существуег лишь один энергетический уровень. Это означает, что дейтрон всегда находится в основном состоянии и не имеет возбужденных состояний. Вернемся к анализу волновых функций данной задачи. При х<0, как уже отмечалось, ж(х) м0. В области1, т. е. в потенциальной яме, волновая функция имеет вид щ~(х) = Аз)п/с~х, зто означает, что уравнение Шредингера, как и в случае ямы с двумя бесконечно высокими стенками, имеет осцнллнрующее решение. Наибольший интерес представляет вид волновой функции в области П Ч~2(х) = С~ Волновая функция жз(х) вне потенциальной ямы отлична от нуля и убывает с расстоянием х по экспоненциальному закону, а 221 это означает, что в связанном состоянии существует отличная от нуля вероятность пребывания частицы вне потенциальной ямы (см.
задачу 4.7). Соотношения между константами А и С могут быть найдены из условия нормировки волновой функции. Качественный вид волновых функций для данной задачи приведен на рис. 4.20. Рассмотрим теперь случай Е ) ()о. Уравнение Шредингера в областях 1 и П соответственно имеет вид Рис.
4.20. Волновые функ- ции частицы в яме с одной непроницаемой стенкой ,„г ' + х1 ц~1 — — 0 (4.65а) ~2 Д Ч2+ь29 О (4.65б) где к1 — — ~ — Е; й2 = — (Š— Уо). ~2ю~ 2 то ~( й2 ' й2 ц~1(х)=А'яп/с~х= — ~е 1" — е ' 1~). 21 ' (4.66) Решение уравнения (4.65б) представим в виде Ч2(х)=Ее ' — Се (4.67) Сшивая волновые функции и их производные в точке х= а, приходим к следующей системе уравнений: Запишем решение уравнения (4.65а) с учетом условия на границе ямы цг1(0) =0 ~ / '~'" — е и1") =Веь~' — Се из' 211 — 7< (е|ч" + е ~~г~ 1 = й (В еига + С е '"2') 2ю' В'= — е ' з' е' 1' — '+1 +е '~!" — ' — 1 С'= — е' за е' 1~ — 1 — 1 +е 'Ь1" — 1+1 (4.68) Отметим, что соотношения (4.68) определяют амплитуды В' и С' при любых значениях й~ и йз, т.
е. при любом значении энергии частицы Е >Ус. Следовательно, при Е >Ус частица имеет непрерывный спектр энергии. Обсудим вид волновых функций (4.66) и (4.67). Каждая из них представляет собой сумму двух волн де Бройля: волны е '~, распространяющейся справа налево, и волны е', распространяющейся слева направо. Пришедшая из + ° волна (второе слагаемое в (4.67)) на границе ямы х = а частично отражается, внося вклад в первое слагаемое в (4.67), и преломляется (второе слагаемое в (4.66)).
Далее волна полностью отражается от стенки прн х = 0 ( первое слагаемое в (4.66)), опять преломляется на границе ямы х= а, внося вклад в первое слагаемое в (4.67), и уходит на бесконечность. Прямоугольная потенциальная яма конечной глубины. Рассмотрим частицу, находящуюся в области симметричной прямоугольной потенциальной ямы конечной глубины (рис. 4.21). Такая модель качественно описывает движение заряженной частицы, например электрона, вблизи атома и применяется в атомной физике и физике твердого тела.
Потенциальную энергию частицы в такой яме представим в виде 223 Решая зту систему относительно амплитуд В' и С', получаем их выражения через амплитуду А '. По х < О 0(х) = О, 0 < х < а, Уо, х> а. Рассмотрим сначала случай Е < Уо, т. е. будем считать, что частица находито а х ся в связанном состоянии. Уравнение Шредингера в областях 1 и 1П (вне поРис. 4.21. Потенциальная тенциальной ямы) запишем следующим Яма конечной глУбины образом а %з 2то 2 12 й2 Фо-Е) % з=О.
Вводя обозначение й~ = — (Уо — Е), получаем г, ,г г "%з г „,г «~ Ч~,з =О. Решения этого уравнения имеют вид ц~~(х)=А~е '"+В~е '", х<0, щ(х)=Азе '"+Взе '~, х>а. Для того чтобы волновая функция была ограничена, нужно потребовать,чтобы В =0 и Аз =О. В области П, т. е. внутри потенциальной ямы, уравнение Шредингера а Ч2 2и'о — 2+ — Щ2 =0 12 й2 имеет осциллирующее решение у2(х)=Сяп()г2х+а), где «2 =~ — Е, а С и а — некоторые постоянные. )г, ~ йг 224 Ч/~(х) = А1е 1", х < О, Чг(х) — Сап(йгх+ а), 0 < х < и 1гз(х) = Взе 1~„х > и (4.69) В силу непрерывности волновых функций и их производных в точках х=О и х=а получаем 1да= —, кг lс1 йг 1й(кга+ а) = — — 2.
/С1 Эти соотношения можно привести к виду й)~2 вша= =Дубо Иг яп(кга+а) =— Дубо Исключая из них а, получаем выражение й)~2 Ага = пл — 2 агсяп, л = 1, 2, 3, Д~бо ' (4.70) которое и определяет вид энергетического спектра частицы в потенциальной яме. Отметим, что отрицательные значения л и л =0 не удовлетворяют условию задачи, поскольку левая часть (4.70) неотрицательна. В силу того что аргумент функции агсяп не может превосходить единицу, значения кг ограничены вели- 1 чиной )~2, =,~г (7о. Ь 225 Таким образом, волновые функции частицы для данной задачи записываются как Покажем с помощью графического метода, что энергия частицы в яме квантуется, т.
е. энергетический спектр, определяемый уравнением (4.70), имеет дискретный характер. Для этого построим графики левой и правой частей уравнения (4.70) в зависимости от кг ( рис. 4.22) . График левой части представляет собой прямую линию у=Ага, наклон которой возрастает с шириной ямы а. Графики правой части уравнения (4.70) для значений п =1, 2, 3 пред- Рнс.
4.22. К нахождению корней уравнения (4.70) 2+2 0 г' 2тоа в яме остается лишь один энергетический уровень. Подчеркнем, что в симметричной прямоугольной потенциальной яме конечной глубины всегда имеется по крайней мере один энергетический уровень, т. е. существует одно связанное состояние частицы. Легко убедиться, что энергетический спектр (см. выражение (4.70)) при бесконечном возрастании глубины ямы, т. е.
при 226 ставлены на рисунке кривыми уи уг и уз. Точки пересечения прямой у=)сга с кривыми у; определяют корни уравнения (4.70) . Таким образом, спектр значений йг, а следовательно, и спектр связанных с ним значений энергии частицы Е будет дискретным. Чем больше ширина ямы а, т. е. чем круче идет прямая у =ага, тем с большим числом кривых у; она пересекается, следовательно, тем больше энергетических уровней существует в яме.
При йг, а<па в яме может быть н энергетических уровней, т. е. частица может находиться в яме в п связанных состояниях. С уменьшением глубины ямы Уо величина уганя, а следовательно, и число уровней в яме уменьшаются. В случае и йг < —, т. е. при 1 11 111 оо 17 -+, переходит в полученный ранее спектр для одномерной ямы с бесконечно Высокими стенками (см. (4.16)). Качественный вид волновых фушсций (4.69) для данной задачи приведен на рис.
4.23. ВнУтри потенциальной ямы волновые функции имеют вид синусоид, а вне ямы убывают по экспоненциальному закону. Отметим, что для состояний с большей энергией (и, следовательно, меньшей разностью (7Π— Е) волновая функция имеет ббльшие значения на краях ямы и медленнее спадает по мере удаления от ЯМЫ. Перейдем теперь к анализу случая, когда энергия частицы Е > 11о. Будем для определенности считать, что частица пролетает над потенциальной ямой конечной глубины, двигаясь слева направо. Уравнение Шредингера (4.6) в областях 1, 11 и Ш имеет следую Рис. 4.23.
Частица в яме конечной глубины: а — энергетические уров- ни частицы; б — волновые функции для и = 1 и д«и в=2 щие решения: «р1(х) = А1е' '"+В1е ' 1", х < О, «уг(х)=Аге'2«+В2е ~ г 0<х<а, ц'з(х)=Азе~ 1«+Взе ' '", х>а, (4.71) где 2то(Š— (7о) 2гноЕ /С1 = 1гг = ~ —.
в2 ' ~ в2 (4.72) Согласно (4.71), каждая из волновых функций представляет собой сУмму двух волн де Бройля: волны, идущей в положительном направлении оси х, и волны, идущей в обратном направлении. Так как частица движется слева направо, то второе слагаемое в выражении для аз должно отсутствовать, поскольку оно соответствует движению частицы к яме из +, т.е. справа налево. Следовательно, нужно положить В3 = О. Первое слагаемое в выражении для 1р1 характеризует волну, падающую иа яму из —, второе слагаемое — волну, отраженную от ямы. Первое слагаемое в выражении для юг описывает волну, преломленную на границе х= О, а второе слагаемое— волну, отраженную от границы х= а. Волновая функция аз содержит только одно слагаемое, соответствующее проходящей волне.
Будем, как и прежде, считать, что амплитуда падающей волны А1 — — 1. Условия непрерывности волновых функций и их производных в точках х = О и х = а приводят к следующей системе уравнений: 1+ В1 = А2 + Вг, А — 111 В1 — — 11~2 А2 — ™г Вг, А ейга+В е ига А еи1а + ге = зе й А е'~ге -1» В е 1~2" = Х А еЫ1е, 2222~13 решение которой позволяет найти амплитуды В1, Аг, Вг и А3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
