Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 32
Текст из файла (страница 32)
СТМ явился прототипом целого семейства более совершенных сканирующих микроскопов. На базе СТМ был создан сканирующий атомно-силовой микроскоп, с помощью которого можно исследовать непроводящие вещества, микроскоп на магнитных силах, дающий возможность изучать магнитные свойства поверхности, и т. д. Все сказанное выше о СТМ позволяет сделать вывод о том, что принцип действия СТМ настолько прост, а потенциальные возможности так велики, что следует ожидать его самого широкого применения в различных областях науки и техники уже в самом ближайшем будущем. Задача 4.6.
Частица массой лрс падает слева на прямоугольный потенциальный порог высотой Ушпричем энергия частицы Е<Ус. Найдите эффективную глубину хре проникновения частицы в область высокого порога. Вычислите х,е для электрона, если (7с — Е = 1эВ. Решение.
Поскольку, согласно условию задачи, энергия частицы Е меньше высоты порога Ус, то мы имеем дело с высоким потенциальным порогом (см. рис. 4.7). В этом случае, как уже отмечалось выше, хотя коэффициент отражения частицы от порога равен единице, тем не менее существует вероятность обнаружить частицу в области под порогом, т. е, при х > О. Согласно (4.37), плотность вероятности нахождения частицы в области под порогом имеет вид 2 4(р,2 (' 2 (*)-/р,р*( - ' р( — 'рр ррр — рр,~', (1,2+(, 2) где )с, и /сз определяются из соотношений (4.29). Определим эффективную глубину х,е проникновения частицы в область потенциального порога как расстояние от границы порога, на котором плотность вероятности ж обнаружения частицы уменьшается в е = 2,718 раз.
Отсюда следует, что (".Ф) ~ 2 1 -1 — =ехр~ — 2рррДЗс-Е) х,е~=е яр(0) ~ рр 214 Из этого выражения находим, что В случае электрона, налетающего на потенциальный порог, для кото- рого Ур -Е = 1эВ, получаем 1 05 10-34 =10 'ем=0,1 нм. Задача 4.7. Частица массой яьг падает на прямоугольный потенциальный барьер высотой !ар и шириной а. Энергия частицы Е >Ур. Найдите: а) коэффициент прозрачности В барьера; б) значения энергии частицы, при которых она будет беспрепятственно проходить через такой барьер. Решение. Обозначим цифрой 1 область х<0, цифрой П область 0<х<а и цифрой 111 область х> а.
Решения уравнения Шредингера в этих трех областях имеют вид гр,(х)=е '"+Ве ' '~, х<0, грг(х)=Агес "+Вге ''", 0<х<а, грз(х)=Азе' ", х>а, 2лсрЕ 2лср (Е -Ур ) где /с, = йг ' йг Условия непрерывности волновых функций и их производных на границах барьера (при х = 0 и х = а) приводят к следующей системе уравнений: 1+В1 = Аг+Вг, Всс !ссгВ3 = сссгА2 -Й2В2, А ейм + В,е "" = А ейг' ссс А ейга !сс В е-йга с!" А ейм 2 2 2 1 3 Решая эту систему уравнений, находим амплитуду прошедшей волны 4/ссс е ' " 3 г А— 3 (сс,+1сг) ейг"-(х — /сг) е '" 215 Коэффициент прохождения Р частицы над потенциальным барьером выражается через плотности потока вероятности для падающей и прошедшей волн — — Ц = — ~)А~! .
сяо В итоге получаем г 41с lсге '"" ~г ! (Яс+Яг) ес~"-(с1,-1сг) е цм Подставляя сюда выражения для 1с, и яг, находим, что г ° г Уо з1п /сга 4Е(Е Бо) Коэффициент прохождения Р обращается в единицу при з!и 11га = О, т. е. при 2,(Е-ио) а=гш, л=1, 2, 3,... йг Таким образом, значения энергии частицы, при которых Р = 1 и, сле- довательно, Е = О, равны гсг г" +Ро 2лсоа Следует подчеркнуть, что хотя значение л = О формально и удовлетворяет условию з1пяга=О, но при л = О коэффициент прохождения Р не будет равен единице.
Дело в том, что при л = О энергия частицы Е =Ус, т. е. 1Е-Ро)=О,и параметр яг такжеравен нулю. Это означает, что числитель и знаменатель дроби в выражении для Р равны нулю. Избавляясь от неопределенности, находим, что коэффициент прохождения при Е = Уо ясса Уо 216 Рпс. 4.17. Вероятность надбарьерного прохождения частицы через прямоугольный потенциальный барьер ~о" ыо при — = 8 Й 0,8 0,4 0 2 4 6 Е/Ц> Зависимость коэффициента прохождения 11 частицы через барьер от энергии налетающей частицы Е приведена на рис. 4.17.
4.4. Потенциальная яма конечной глубины х<0, 17(х)= О, 0<х<а, 170' При х < 0 потенциальная энергия частицы бесконечна и волновая функция зр(х), как мы уже знаем, обращается в нуль. Поэтому уделим основное внимание при решении данной задачи исследованию движения частицы в области х>0. О а х Рис. 4.18. Потенциальная яыа с одной непроницае- мой стенкой 217 В 4.2 мы рассмотрели движение частицы в потенциальных ямах с бесконечно высокими стенками. Переход к анализу движения частицы в яме конечной глубины будем проводить поэтапно.
Для этого сначала рассмотрим частицу в потенциальной яме с одной непроницаемой (бесконечно высокой) стенкой (рис. 4.18). Такая задача представляет практический интерес, поскольку потенциальная энергия двух частиц, между которыми действуют силы притяжения, например двух атомов, образующих молекулу, по виду близка к рассматриваемой модели. Одномерная потенциальная яма с одной бесконечно высокой стенкой. Рассмотрим частицу, движущуюся в одномерной потенциальной яме, в которой ее потенциальная энергия имеет вид Дгщ 2, — '+ — Е1у1 =О, 1хг йг (4.56) авобласти П— — — Фо-Е)Чг =О И Чг 2що (г йг (4.57) Вводя обозначения Iс1 — — ~ — Е и йг = (Уо Е) (458) ~2вО 2во ~ йг,г приводим уравнения (4.56) и (4.57) к виду 1 Ч1 г — +~1 У1=0, ,г (4.59а) г — — 1сг Чгг — — О.
"Ч~г г ,~г (4.59б) Решая уравнения (4.59а), (4.596), находим, что у1(х) = Аз1п(1с1х+а), Уг (х) = Ве г" + Се (4.60а) (4.606) Здесь А, В, С и а — константы, значения которых следует опре- делить. 218 Обозначим цифрой 1 область 0< х< а, а цифрой П вЂ” область х > а. Рассмотрим сначала случай, при котором полная энергия частицы Е<Уо. Состояния частицы, в которых ее энергия Е < Уо, называются связанными состояниями.
Классическая частица с такими значениями полной энергии должна двигаться только внутри ямы, поскольку область вне ямы является для нее недоступной. Уравнение Шредингера (4.6) в области 1 имеет вид Аз1п 1~а = Се к1Асоа 11а = -хгСе (4.61) Разделив первое уравнение на второе, приходим к соотношению )С1 йй)с1а = —, (4.62) которое и определяет энергетический спектр частицы в яме.
Ввиду того что уравнение (4.62) является трансцендентным, получить значения энергии частицы Е в явном виде не удается. Покажем с помощью графического метода, что энергетический спектр частицы, определяемый соотношением (4.62), является дискретным, т. е.
энергия частицы в яме квантуется. Преобразуем уравнение (4.62) с учетом (4.58) к виду 1 й1 яп Й1а — + =+ 1+с18~ха /с +к С учетом того, что, согласно(4.58), к1 +йг = — Уо, получаем г 2л1о Ь~ йг шк1а =+ г к1а 2вОа Уо (4.63) 219 Воспользуемся условиями, налагаемыми на волновую функцию. Поскольку волновая функция должна быть всюду конечной, а первое слагаемое в (4.606) при х -~ неограниченно возрастает, то необходимо потребовать, чтобы коэффициент В был равен нулю, т. е. чтобы уг(х) = Се ~г".
Перейдем теперь к анализу граничных условий. Непрерывность волновой функции щ1(х) на левой непроницаемой для частицы границе ямы приводит, как мы уже видели в 4.2, к соотношению ц~1(0) =О, откуда следует, что а=О. Условия непрерывности волновых функций и их производных при х = а дают следующую систему уравнений: Построим графики левой и правой частей уравнения (4.63) как функции параметра )с1а. Точки пересечения синусоиды с прямой (рис. 4.19) определяют корни уравнения (4.63), отвечающие искомым значениям энергии частицы Е. Поскольку, согласно (4.62), 18)с1а<0, будем выбирать только те значения параметра /с1а, которые удовлетворяют условию й2 2т с1, а2 ис'2 Отсюда получаем „2,2 Уса > 8то (4.64) Обсудим это соотношение подробнее.
Именно при выполнении этого условия уравнение Шредингера для частицы в яме имеет решение, т. е. в яме есть хотя бы один энергетический уровень. 220 п — + Ит < 1с1а < И+ Ит, 1 2 где т = О, 1, 2, 3,... На рнс. 4.19 0 соответствующие области значе- 2и Зи 1сса $ ний 1с1а на оси абсцисс выделены жирной линией.
Приведенные графики покаРне. 4.19. К нахождению корней ура (4.63) зывают, что энергетический уравнения (4.63 спектр частицы является дискретным. Чем больше глубина Уо и ширина а потенциальной ямы, тем ниже наклон прямой линии графика правой части уравнения (4.63) и тем больше точек пересечения имеет прямая с синусоидой. Следовательно, тем больше энергетических уровней помещается в потенциальной яме. Найдем условие, при котором в яме существует хотя бы один энергетический уровень.
В этом случае коэффициент, определяющий наклон прямой линии графика правой части уравнения (4.63), должен удовлетворять неравенству 1 оворят, что в этом случае частица находится в яме в связанном состоянии. Отметим, что в левую часть неравенства (4.64) входят только параметры потенциальной ямы — ее ширина а и глубина уо, а правая часть неравенства для рассматриваемого типа частиц (значения то) представляет собой константу. Пусть потенциальная яма недостаточно глубока или недостаточно широка, что приводит к нарушению условия (4.64). В этом случае уравнение Шредингера для частицы в яме не имеет решения, илн, как говорят, в яме нет ни одного энергетического уровня.
В физике такие случаи отсутствия связанных состояний достаточно хорошо известны. Так, например, между двумя нейтронами или между двумя протонами действуют ядерные силы притяжения, однако связанного состояния двух нейтронов или двух протонов в природе не существует — потенциальная яма, соответствующая взаимодействию этих частиц, имеет недостаточную ширину и глубину. Сила взаимодействия между протоном и нейтроном лишь незначительно превышает силу взаимодействия между двумя протонами или двумя нейтронами, однако этого превышения оказывается достаточно, чтобы появилось связанное состояние нейтрона и протона — дейтрон.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
