Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 35
Текст из файла (страница 35)
В реальных квантовых системах, например в кристаллах, эти колебания сохраняются, как показывает опыт, даже при температурах, близких к абсолютному нулю, когда, казалось бы, все тепловое движение должно прекратиться. Нулевые колебания играют в физике весьма важную роль, в частности, они обусловливают отсутствие кристаллизации жидкого гелия при нормальном давлении даже при абсолютном нуле 236 1 Покажем, что значение нулевой энергии Ео — — — лщз есть как 2 раз то минимальное значение энергии осциллятора, которое согласуется с требованиями соотношения неопределенностей. Поместим начало координат в точку, являющуюся положением равновесия гармонического осциллятора, совершающего колебания по закону х = хо соз озоь Тогда неопределенность координаты Ьх принимает вид Ьх=чх = ло соа гсвг = — — по 2 2 2 Г 11'г где черта означает усреднение по времени.
Амплитуда колебаний ао связана с энергией Е соотношени- 1 т г ем Е= — тоао озо, следовательно, 2 г' Аналогично для неопределенности импульса имеем 2 2 -'то~ао ао~ =,1щ~Е. 2 Д,г Подставляя Лх и Ьр в соотношение неопределенностей Ахар> 6 ~ -, получаем следующее условие: Е > агав~2, т. е. действительно минимальное значение энергии гармонического осциллятора есть Ео = лщз/2. 237 температур. Велика роль нулевых колебаний и в объяснении природы снл молекулярных взаимодействий, физических особенностей поверхностного натяжения, адсорбции и других молекулярных явлений. В эксперименте наличие нулевых колебаний наблюдается, в частности, в опытах по рассеянию света кристаллами при низких температурах.
Эквидистантность энергетических уровней гармонического осциллятора (см. выражение (4.81)) на первый взгляд означает, что осциллятор может поглощать и испускать излучение частотой а, кратной ого, т.е. ю=Ьлого, где 21л — разность квантовыхчисел начального и конечного уровней осциллятора. Однако на самом деле это не так. Точный расчет, выходящий за рамки данного курса, показывает, что особенности испускания и поглощения электромагнитного излучения гармоническим осциллятором таковы, что возможны переходы только между соседними уровнями, т.
е. (4.82) Условия, которые определяют изменение квантовых чисел при разрешенных переходах системы из одного состояния в другое, называются правилами отбора. Таким образом, согласно правилам отбора, квантовое число л при испускании и поглощении электромагнитного излучения квантовым гармоническим осциллятором может изменяться только на единицу. Перейдем теперь к анализу волновых функций гармонического осциллятора. Как следует из теории дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, волновые функции, являющиеся решениями уравнения (4.80), имеют вид ~г у„(Р)=С„е г Н„(с), л=О, 1, 2, ..., (4.83) где ф— коэффициент, получаемый из условия нормировки волновой функции.
Функция Н„(~) представляет собой полипом Чебышева — Эрмита и-го порядка: (4.84) Отметим, что для этих полиномов справедливо рекуррентное со- отношение Н„м (с)+ 2~Н„(~) — 2л Н„1(Р) = О, 238 позволяюшее найти Н„[~) для всех и, исходя из того, что Н [~)м1 и Н 1с)=2г,. Например, Нг [~) = 21Н~ [1) 2Но Й) = 41 2 Нз (г) = 21Нг1г) -4Н,1с) = 8с — 12с ит.д. ) у.'1х) Ч 1х)а=а где Ь„и, — символ Кронекера. Приведем внд нормированных волновых функций для первых трех энергетических уровней гармонического осциллятора ( г Ч,(.)= .
Р'- ,~х~4п 2хо /г~,%~ "о ( г,') "'"' ~-.б ')'"'[.) (4.85) Графики волновых функций для значений квантового числа и от О до 5 пРедставлены на Рис. 4.26. ОтРезок [-ао, ао] опРеделлет область, в которой совершал бы колебания классический осциллятор Ширина этой области оказывается различной для разных значений квантового числа и, поскольку энергия осциллятора, а следовательно, и амплитуда его колебаний также зависят от и. 239 Волновые функции ~4.83) ортонормированы, т. е.
удовлетворяют условию Рис. 4.26. Волновые функции гармонического осциллятора Из (4.83) — (4.85) следует, что волновые функции гармонического осциллятора обладают определенной четностью. Они являются четными функциями координаты х при четных значениях л ипри п=О, инечетнымифункцнями при нечетных и. Значение квантового числа л определяет также число точек пересечения волновой функции с осью х. В основном состоянии, т.
е. при л =О, точки пересечения внутри параболической ямы отсутствуют, при п = 1 имеется одна точка пересечения, при а = 2— две и т. д. Таким образом, при увеличении квантового числа л на единицу волновая функция гармонического осциллятора меняет четность и приобретает добавочную точку пересечения с осью х. Отметим, что вне классической области [ — ао, ао1 волновые функции у„отличны от нуля, что свидетельствует о том, что квантовый гармонический осциллятор с определенной вероятностью может находиться вне пределов параболической потенциальной ямы (см. задачу 4.10).
При малых значениях квантового числа и плотность вероятности нахождения частицы, определяемая квадратом модуля волновой 2 Функции ~Ч~„(х)~, кардинальным образом отличается от плотности вероятности обнаружения классического осциллятора 240 (4.86) Плотность вероятности в случае классического осциллятора (4,86) можно получить следующим образом. Пусть за время й часпща проходит путь от точки с координатой х до точки с координатой х+ Нх, т.
е. ее координата меняется в интервале значений шириной Их Поскольку для гармонических колебаний 2л 2л 2л х =поз(п — г, а Ых =ао †соя вЂ, то вероятность дР того, что Т Т Т частица при движении в одну сторону находится в интервале ши~й Ых Нх риной дх, равна ЙР—— Т,~2 2к ~ г — †, откуда и аолсоз — г л~ао — х Т следует (4.86). При в=О плотность вероятности обнаружения квантового осциллятора ~щ(х)~ имеет форму гауссовской кривой с максимумом в точке х= О (рис. 4.27, а, сплошная линия), а плотность вероятности обнаружения классического осциллятора (4.86), наоборот, минимальна в точке х= О и стремится к бесконечности в точках поворота, в которых скорость частицы становится равной нулю (рис.
4.27, а, пунктирная линия). При достаточно большом значении квантового числа и, например при и =10, функция ~у„(х)~ приближается к классиче- 2 ской кривой распределения. Она достигает максимума вблизи точек поворота и резко спадает вне классической области движения (рис. 4.27, б). При л -+ плотность вероятности ~ц~„(х)~, как 2 того и требует принцип соответствия, переходит в классическую функцию распределения плотности вероятности. Отметим, что модель гармонического осциллятора и связанная с ним задача о движении частицы в параболической потенциальной яме является идеализацией, справедливой лишь при малых отклонениях колеблющейся частицы от положения равновесия.
Во всех Реальных ситуациях потенциальная знергия у(х) частицы, совершающей колебания около положения равновесия, имеет более 241 сложный по сравнению с (4.77) вид. Поэтому при возрастании амплитуды колебаний движение частицы будет все больше отличаться от гармонических колебаний. Такое движение называют ангармоническим движением, а соответствующий осциллятор — ангармоническич осииллятором.
Однако в случае малых колебаний влияние ангармонизма ничтожно малб, что позволяет использовать модель гармонического осциллятора для описания колебательного движения квантово-механических систем. Мо! 1%1о! 2ао ао О ао 2ао о а б Рис. 4.27. Плотности вероятности обнаружения частицы для квантового (сплошиая линия) и классического (пуиктирная линия) осциллятора: а — прял=о; б — прил=10 Выполненный в этой главе анализ движения частиц в прямоугольной и параболической потенциальных ямах показывает, что, несмотря на различие форм ямы, в поведении частицы в яме имеется много общего: 1.
Энергетический спектр частицы, находящейся в яме в связанном состоянии, является дискретным, т. е. энергия частицы квантуется. 2. Часпща, находящаяся в основном состоянии, т. е. на самом низшем энергетическом уровне, обладает не равной нулю энергией. 3. Плотность вероятности обнаружения частицы ~у~ имеет максимумы в области между классическими точками поворота и экспоненциально убывает вне классической области. Это означает, что с определенной вероятностью частица может находиться вне ямы (за исключением ям с непроницаемыми стенками).
242 4. При увеличении квантового числа л на единицу волновая функция, описывающая поведение частицы в яме, приобретает дополнительную точку пересечения с осью х. Подчеркнем, что отмеченные свойства не зависят от формы потенциальной ямы, т. е. от вида потенциальной энергии У(х). Следует отметить еще одно важное обстоятельство: энергетический спектр частицы является дискретным (энергия квантуется) только в тех случаях, когда частица находится в потенциальной яме в связанном состоянии. Если же частица движется в области потенциального порога, потенциального барьера или над потенциальной ямой (при Е > Уо), то квантование энергии отсутствует и ее энергетический спектр является непрерывным.
Этот результат согласуется с общей теоремой квантовой механики, в соответствии с которой энергия всегда квантуется у систем, которые не могут уходить иа бесконечность, и не кваитуется у систем, способных уходить в бесконечность, т. е. у которых плотность потока вероятности не равна нулю в бесконечно удаленной точке. Задача 4.10. Гармонический оспиллятор находится в основном состоянии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
