Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Найдите вероятность обнаружения частицы вне пределов классической области, т. е. вие области — ае ь х < ае, где ае — амплитуда классических колебаний. Решение. Поскольку осциллятор находится в основном состоянии, 1 то, согласно (4.81) в (4.85), его энергия равна Ее = — Ьщ~, а волио- 2 вая функция, описывающая его состояние, имеет вид 3~а(х)= 1 ( х 1 ехр — . Здесь х;> = †, а щ~ = — — частота Г '1 ,Я ~24 ~ щ,' классического гармонического осцвллятора.
При максимальном отклонении классического осциллятора от положения равновесия его полная энергия должна быть равна потенциальной энергии, т. е. й~„~/2 = йа /2. Отсюда следует, что амплитуда классических колебаний 243 Найдем вероятность обнаружения частицы в классической области Р ю ч> — — 1 1 Р„= 1 (%>(х)~ ах = — ~ е " Их= — ~е ~ ф = — ~е ~ йу. х„lя, Я, ',Я, Интеграл 2 1(г)= — ~е г ду Л, называется интегралом вероятностей.
Он широко используется в теории вероятностей, статистике, теоретической и математической физике, его значения для различных пределов интегрирования г приведены в справочниках специальных функций. В данном случае, при г = 1, 1(1) = 0,8427, следовательно, Р = 0,8427 = 0,84. Соответственно вероятность Р того, что частица будет обнаружена вне классической области, равна Р =1 — Р = 0,16. Таким образом, вероятность пребывания гармонического осциллягора, находящегося в основном состоянии, вне пределов классической области составляет 16 %. Задача 4.11. Квантовый гармонический осциллятор с частотой колебаний щ~ находится в первом возбужденном состоянии.
Найдите средниезначенияпотенциальной (У) и кинетической (Е„) энергий осциллятора. Решение. В силу того что осциллятор находится в первом возбужденном состоянии ( л = 1 ), его энергия, согласно (4.81), равна Е, = 3 = -лгас, а соответствующая ему волновая функция имеет вид (4.85): 2 1 2х ( х где х =, М ФЪ Операторы потенциальной О и кинетической Е„энергий в рассматриваемой задаче имеют вид «»агав х - р Ь»з' О= к 2„2 (хг' Средние значенияпотенциальной (У) и кинетической (Е„) энергий осциллятора, находящегося в состоянии, описываемом волновой функцией»р,(х), согласно (3.62), могут быть представлены следующим образом: (У) = /щ, (х)б»(г,(х)дх, (Е„) = ~ »р»'(х)Е„цс»(х)»(х.
Найдем среднее значение потенциальной энергии гармонического осцнллятора тхт 2» ((У) = ~ъу, (х) — — ~г,(х)»(х= — ~х (цг,(х)~ »(х. С учетом явного вида волновой функции»н~ (х) получаем х2 ~ (*) (*~ где интеграл 1, = ~ у е»(у = — ~к. Таким образом, среднее зназ,— 8 чение потенциальной энергии гармонического осциллятора, находящегося в первом возбужденном состоянии, равно (У) = — /н =-доз,.
г щ,' й З З ,Я в»огас 8 4 Теперь найдем среднее значение кинетической энергии (Е„) = ~~у1(х)Е„»у~(х)»(х= — ~ »у,(х) 1 Их. 245 Вторая производная волновой функции у, (х) по координате х равна „2 61 ~р1(х) 1 2 ( Зх х 1 з 2 /2хо /и хс(, хо хо ) Подставляя у, (х) и в выражение для (Е„), получаем Н у,(х) 6Хх 2 (Е.)= — —, 1~ —,+ — 4~ е ( = (3( -1) г з 2 ) /- где интеграл 1з = ( у е ~ 0у = — ~п.
Подставляя сюда значения У~ и 1з, находим,что (Е„) = '( — Я- — Я) = — йгцг 2йо~(3 3 ) 3 ,/и (,4 8 ) 4 Таким образом, средние значения потенциальной энергии (У) и кинетической энергии (Е,) гармонического осциллятора, находящегося в первом возбужденном состоянии, равны между собой и состав- 3 лают половину полной энергии осциллятора Е = — лгес. Можно по- 2 казать, что это утверждение будет справедливым и для любого другого состояния квантового гармонического осциллятора. Полученный результат подтверждает вывод, сделанный в 2.3, о том, что в квантовой механике равенство полной энергии частицы сумме ее потенциальной и кинетической энергий выполняется только для средних значений энергии. Задача 4.12. Частица массой ве движется в трехмерном потенци- альном поле У(х,у,т)= — (х -|-у +т ), 2 где ~ — постоянная величина (трехмерный изотропный гармониче- ский осциллятор).
Найдите собственные значения энергии частицы и кратность вырождения и-го энергетического уровня. решение. Поскольку движение частицы вдоль осей х, у и г про- исходит независимо, будем искать волновую функцию в виде произ- ведения Чг(х У г) = %(х)Чгг(У)Чгз(г) где Чз1 зависит только от кооРдинаты х; Чзг — только от кооРдинаты у; Чзз — только от координаты г . Подставляя зр(х, у, г) в уравнение Шредингера (4.б), получаем Чгг(У)Чгз(г) +%(х)Чзз(г) г +%(х)Чгг(У) г + о' Чг,(х) ~~ Ч~г(У) ~( Ч'з(г) ду~ Нг 2зно + — ~Е-Б(х, У г)~Чз,(х)Чзг(у)Чзз(г) =О.
Я~ Разделив это уравнение на Чг(х, у, г) и подставив данный в условии задачи вид зависимости У(х, у, г), приходим к соотношению с 1 И Чз,(х) 2нзо lсх ~ Чз,(х) с(хг йг 2 ) с 1 с(~Чгг(У) 2нзо lсу~ ~ Ч/г(У) пуу й 2 )' с 1 с(~Чз~(~) 2зно ~~А 1 Чгз(г) Нг й~ 2 ) — Е. 2, 1 ИгЧ/,(х) 2нгс ~ь 2нзо 2 ,('р,(у) 2, )уг 2, — —, Ег ( г йг 2 йг 1 Н Чзз(г) 2зно Йг 2нзо Ез йг 2 247 Первое выражение в квадратных скобках в левой части этого равенства является функцией только координаты х, второе — только координаты у, третье — только координаты г. Поскольку их сумма — величина постоянная, то каждое из этих слагаемых также будет постоянной величиной: где константы Еи Ез, Ез имеют размерность энергии и удовлетворяют условию Е, + Ез + Ез = Е.
Таким образом, получаем три уравнения для одномерного гармонического осциллятора, решения которых нам уже известны (см. (4.81), (4.83)). Волновая функция трехмерного гармонического осциллятора представляет собой произведение трех волновых функций для одномерного гармонического осциллятора (4.83) и зависит от трех квантовыхчисел л,, лз и из. Ч~ч,„,,„,(х.У г) =Чг,,(х)Чг,,(У)Ч',,(т) ...=0,1,2,3,... Для энергии трехмерного изотропного гармонического осциллятора получаем следующее выражение: 3 где л=л,+из+из, и=О, 1, 2, 3, ... Найдем кратность вырождения л-го энергетического уровня трехмерного гармонического осциллятора. Для заданного значения и кратность вырождения уровня равна числу возможных перестановок трех чисел л,, лз и лз, сумма которых равна ж Найдем сначала число перестановок при фиксированном значении л,.
Оно, как легко видеть, равно числу возможных значений из (или, что то же самое, лз ). Число из при заданном л, может меняться в пределах от 0 до (и — л,), т. е. принимает л — л,+1 значение. Следовательно, число перестановок при фиксированном и, равно л — гь +1. Суммируя зто выражение по л,, находим кратность вырождения и -го энергетического уровня: (л+1)(и+ 2) Основное состояние трехмерного гармонического осциллятора (л = 0) оказывается невырождеиным (Кс — — 1) . Первое возбужденное состояние (л = 1) имеет кратность вырождения К, = 3, ему соответствуют тройки квантовых чисел (1, О, 0), (О, 1, 0), (О, О, 1).
248 5. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ АТОМА Атомные системы являются объектами, для описания которых следует использовать законы квантовой механики. Именно поэтому в классической физике значительная часть экспериментальных результатов атомной физики не была объяснена. Первая попытка внести в теорию атомных систем идею квантования была предпринята Н. Бором в 1913 г.
Для простейшего атома водорода эта идея была реализована путем формального введения некоторых постулатов, решающим из которых был постулат квантования момента импульса электрона. Эта теория с большой точностью позволила рассчитать оптический спектр излучения атома водорода. Однако попытки обобщить теорию Бора на более сложные атомы не увенчались успехом. Г Квантовая физика рассматривает атом как систему, в которой электроны движутся в кулоновском поле ядра.
Квантовая теория атома базируется на уравнении Шредингера, решение которого позволяет полностью описать свойства атома. В нерелятивистской квантовой механике атомных систем в качестве дополнительной гипотезы была сформулирована гипотеза о спине (собственном моменте) электрона, позволяющая согласовать результаты теории и эксперимента. В релятивистской квантовой механике представление о спине электрона является естественным следствием уравнения дирака, лежащего в основе этой теории.
Успехи квантовой теории атомных систем позволили предсказать ряд эффектов, которые были использованы при создании приборов и установок, широко применяемых в науке и технике, например приборов квантовой электроники. В частности, создание оптических квантовых генераторов (лазеров), разработанных на основе квантовой теории излучения атомных систем, стимулировало развитие новых направлений науки и техники в конце ХХ в. 249 5.1. Квантовые свойства атомов — — К вЂ” —, й>п, (5.1а) (1 го„ь — — К вЂ” — —, й >п. 2 12)' (5.1б) Здесь К = К7(2пс) = 109б78 с м , К = 2,067 10 с — посто- янная Ридберга; и и к — целые числа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
