Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 40
Текст из файла (страница 40)
3, зто означает, что в любом стациона ном состоянии атома зле он имеет не только о е еленное значение полной зне гни Е но и о еленное не изменяю ееся со в еменем значение мод момента м льса Е = 2 Этот вывод квантовой теории атома полностью соответствует классическому результату, согласно которому момент импульса является интегралом движения н не изменяется со временем при движении частицы в поле центральных сил. Значит, функция у(п чз) в (5.21) должна быть собственной функцией оператора т е удовлетворять уравнению 267 (5.22) 1(1+1)йг г ~ 2т г2 4яног~ Х = ЕХ. (5.23) Решение этого уравнения будем искать в виде Х(г) = —.
1?(г) г (5.24) Подставив искомую функцию Х(г) такого вида в уравнение (5.23), получим более простое по форме уравнение для функции 1?(г): ))2 ~2)? — — + 2то дг Ц1+1) Й уе 2т г2 4ПЕОг ~ 1? = ЕК (5.25) Перейдем в этом уравнении к безразмерным величинам г 1 Е р=У вЂ” и в= — —, е>0, а 22Ж (5.26) выбрав в качестве характерного размера боровский радиус 268 Функции у~ —— 1~ (6, ф) называются сферическими, или шаровыми, функциями (см. формулы (3.70)). Эти функции определяются двумя целочисленными параметрами 1 и т, которые называют квантовыми числами.
Орбитальное (азимутальное) квантовое число 1 принимает значения 1=0, 1, 2, ... Квантовое число т= О, х1, х2, ..., +1 называют магнитным квантовым числом. Физический смысл этих квантовых чисел и их названий мы обсудим ниже. Подставив в уравнение (5.20) волновую функцию в виде (5,21), где У(О,у) = У~,„(0,у), и разделив его на этот угловой множитель, получим уравнение для радиальной функции Х (г): 4пеоа~ а= 3яое а в качестве характерной энергии — энергию ионнзации атома водорода, найденную в теории Бора: 1 е Ь тое )г'=Е; — —— 2 4кеоа 2в аг 52лгегйг Тогда уравнение (5,25) примет вцд (5.27) Точное решение этого дифференциального уравнения с перемен- ными коэффициентами следует искать в виде произведения двух функций: Н(р)=и(р)ехр(-ар), а= /е.
(5.28) дги Ыи ~2 1(1+1)1 — г — 2а — + — — г и =О. ,1 г,(р ~р г (5.29) Функцию и(р), являющуюся решением этого уравнения, будем искать в виде степенного ряда О и(р)=р+ ~~~ аяр =~ аяр я=о я=о (5.30) Для нахождения коэффициентов этого ряда аь подставим (5 50) в (5.29) и соберем члены ряда с одинаковой степенью р. Такая подстановка дает гб9 Подставляя ~5.28) в (5.27), находим уравнение для новой искомой функции и(р).
После несложных вычислений получаем ,"> ат((1+1+1)(11+1) — 1(1+1)]р~+ + + ,'Г~г-га(1+1+1)]р'" =О. (5.31) В первой сумме при й = 0 выражение в квадратных скобках обращается в нуль. Поэтому суммирование в ней фактически начинается с й =1. Следовательно, сдвинув на единицу индекс суммирования в первой сумме, формулу 15.31) можно преобразовать к виду ~~~ ~аь+, ((с+1+ 2)(1+1+1)-1(1+1)]+ +аь(2-га(1+1+1)])р +~ =О. га(й+1+1) — 2 (1+1+ 2)(/с+1+1)-1(1+1) (5.32) Однородность уравнения (5.29) позволяет, выбрав значение коэффициента ао, по формуле (5.32) определить а1, затем найти а2 и т. д. Вычисляя таким образом все коэффициенты аь, находим искомое решение уравнения (5.29) в виде ряда (5.30) по степеням р с известными коэффициентами. Из 15.32) следует, что для достаточно больших значений Й 2а связь между коэффициентами ряда (5.30) имеет вид аь 1 = — аь.
lс Но именно такая связь существует между коэффициентами ряда ,') — р =ехр(2ар), " (2а) ь=о 270 Чтобы это равенство выполнялось при всех р, коэффициент при каждой степени р должен быть равным нулю. Значит, ряд (5.30) будет решением уравнения (5.29), если выполняется следующее рекуррентное соотношение для его коэффициентов: ставляюшего собой разложение экспоненты с показателем „ени 2ар. Следовательно, если ряд (5.30) имеет бесконечное число слагаемых, то для достаточно больших значений р функция и(р) будет иметь следующую асимптотику: и(р) =р+ ехр(2ар).
2а(и, +1+1) = 2. (5.33) Обозначим целое число и„+1+1= и, назвав и„радиальным квантовым числом, а и — главным квантовым числом. Очевидно, что и>1+1,т. е. 1<и — 1. Условие (5.33) в этом случае принимает вид аи=1 или I 2 а=1! и . С учетом соотношений (5.26) это условие можно сформулировать как условие квантования полной энергии электрона в атоме е. ще 1 Е„=— — и=1, 2, 32хзвзйз иг о (5.34) 271 Но тогда из (5.28) следует, что даже после умножения на ехр(-ар) радиальная составляющая й(р) будет неограниченно возрастать при р -> '».
С учетом (5.21) и (5.24) такой же неограниченный рост на бесконечности будет наблюдаться и у искомого решения уравнения Шредингера. Такая функция не удовлетворяет условию нормировки и, следовательно, не может рассматриваться как волновая функция электрона. Построенное решение уравнения Шредингера, однако, будет убывать при г -+ и удовлетворять всем условиям регулярности, если ряд (5.30) оборвется на каком-либо конечном члене, т.
е. будет многочленом конечной степени. Только в этом случае экспоненциальный множитель в (5.28) обеспечит убывание квадрата модуля волновой функции на бесконечности. Из (5.32) следует, что обрыв ряда (5.30) на номере )г = и, произойдет, если выполнится следующее условие: Итак, условие регулярности волновой функции привело к условию квантования энергии атома, которое при У =1 точно совпало с условием квантования энергии (5.12) в теории Бора.
Поэтому из (5.34) также следует экспериментально подтвержденная формула Бальмера (5.14). Таким образом, радиальная часть волновой функции электрона в водородоподобном атоме зависит от двух квантовых чисел и и 1 и может быть записана в виде Х„~(р)=р ехр( — ~ г акр, Ъ (5.35) где р=У вЂ”, и, =и — (1+1), причем 1<и — 1, а коэффициенты аь а для й > 0 находятся из рекуррентных соотношений (5.32). Значение коэффициента ао в конечном итоге выбирается из условия нормировки волновой функции, которое в сферической системе координат запишется в виде 2л я ) ) ~ц~(г,О,<р)~ г з)пОдгдОсйр=1.
(5.36) ооо Здесь г в)п ОИгс18сйр = с1г' — элемент объема в сферических коорг. дн натах. Следовательно, волновая функция, определяющая квантовое состояние электрона в атоме, найдена. Она имеет вид р (р,О, р)=Х„,(р)У (О, р) Значение 1 ............ Символ состояния .. О 1 2 3 4 5 з р Ы г я й 272 и зависит от трех квантовых чисел — и, 1 и иь Для обозначения квантовых состояний с заданным значением орбитального квантового числа 1 используют следующие спектроскопические символы: В частности, состояние с 1=0 называется л-состоянием, а электРо ктрон в таком состоянии — л-электроном.
Состояние с 1=1 называется р-состоянием и т. д, для более полного обозначения квантового состояния электрона необходимо указать также значение главного квантового числа и. 0но приводится перед символом состояния. Так, электрон в „вантовом состоянии с и = 2 и 1 = О обозначается символом 2л, в состоянии с и = 4 и 1 = 2 — символом 4Н и т. д. Поскольку всегда! (и-1, то возможны следующие состояния электрона: и=1 — э1л и=2 — >2л, 2р и=З-эЗл, Зр, ЗН и=4-+4л, 4р, 4д, 4~ ит.д.
Анализ свойств сферических функций уь„(О,у) показывает, что все л-состояния электрона, т. е. состояния с 1 = 0 и т = О, являются сферически симметричными состояниями. Волновая функция в этих состояниях не зависит от угловых переменных О и ф. Приведем в табл. 5.1. некоторые нормированные волновые функции ж„~ для ряда квантовых состояний водородоподобных атомов р = 2 — '1 а/ Таблица 5.1 273 Окончание табл.
5.1 На рис. 5.7 для некоторых квантовых состояний атома водорода, описываемых найденными волновыми функциями, показана радиальная электронная плотность вероятности в виде облака, густота которого в разных точках пространства пропорциональна этой плотности вероятности. Именно так, в виде облака плоти сти ве оятности может быть ставле т в кв й теории.
Рис. 5.7. Пространственное распределение плотности вероятности обнаружения электрона в различных квантовых состояниях атома водорода 274 Задача 5.4. ОпРеделите, на каком РасстоЯнии от ЯдРа с наибольшей вероятностью можно обнаружить электрон в атоме водорода в 1г- и 2р-состояниях. Решении В заданном квантовом состоянии электрон можно обнаруяппь на различных расстояниях от ядра. При этом вероятность нахождения электрона на расстоянии г от ядра, точнее в узком шаровом слое радиусов от г до г+ Й', определяется как за я г1Р= ) )' )у(г, б, <р)! г з1пйЬЫОйр.
Зта вероятность пропорциональна толщине слоя й, т. е. ЫР = а (г)юг. Наиболее вероятным расстоянием электрона от ядра будет такое расстояние г„для которого радиальная плотность вероятности ю(г) будет максимальна. Взяв волновые функции электрона в атоме водорода из табл. 5.1, найдем, что в 1з-состоянии Г 2г1 в1 (г) = Аг ехр~ — ), А = сопи, а~ а в 2р-состояниях юз(г) =Вг ехр( — ~, В=сольц 4 а,) Приравнивая производные этих функций нулю, находим, что в 1з-состоянии г„ =а, т. е. в этом состоянии наиболее вероятно обнаРужить электрон на расстоянии, равном радиусу первой боровской орбиты, Лля 2р-состояний получаем, что г,з = 4а.
И в этих состояниях наиболее вероятное расстояние электрона от ядра равно радиусу соответствующей (второй) боровской орбиты. Таким образом, хотя в квантовой механике не используется представление о движении электрона по определенным траекториям, радиусам боровских орбит и в этой теории можно придать физический смысл наиболее вероятных расстояний электрона от ядра. 275 Задача 5.5. Определите потенциал электрического поля для основного состояния атома водорода на различных расстояниях от ядра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
