Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Решение. Искомый потенциал складывается из потенциала поля ядра и потенциала электронного облака, связанного с движением электронавокругядра: <р=(р,+(р,. Согласно вероятностному смыслу волновой функции, объемная плотность электрического заряда в электронном облаке равна р, = г = — е англо~ . Потенциал поля такого распределенного в пространстве заряда можно определить, решив уравнение Пуассона для потенциала: 2!ир = —.
Рв ео Если в качестве масштаба расстояний и характерного потенциала в атоме водорода выбрать боровский радиус а и потенциал поля ядра на этом Расстолнии фс = е/14пееа), то в безРазмеРном виде УРавнение Пуассона запишется как — — ~ г — '! = 4ехр(-2г). 2 ~1%в ~./ Это уравнение представим в виде в2 — (гФ,) = 4ехр1 — 2г). г враг~ Решением этого неоднородного дифференциального уравнения явля- ется функция (1 1 ~р, = ~ — +1~ехр(-2г) —. г Так как потенциал поля ядра в используемых безразмерных переменных имеет вид <р„= 1/г, то окончательно для потенциала электрического поля в атоме получаем ф=<р,+~р, =~ — +1 ехр(-2г). (1 ~г 276 тг яозврашаясь к размерным величинам, запишем для основного со„ния атома водорода распределение в пространстве потенциала электрического поля: 4 ха + "Р Анализ этого выражения показывает, что вблизи ядра (г «а) 4ке г т.
е. электрический потенциал в этой области пространства определяется практически только положительным зарядом ядра. При удалении от ядра поле отрицательно заряженного электронного облака начинает экраиировать поле ядра и на достаточно больших расстояниях от ядра (г >> а) е ( 2г') (р(г) = ехр~ — у т.
е. потенциал очень быстро (экспоненциально) убывает по мере удаления от ядра. 5.4. Квантовые числа и их физический смысл Как следует из решения уравнения Шредингера для атома водорода, квантовое состояние электрона в этом атоме (можно сказать и квантовое состояние атома) полностью определяется тремя квантовыми числами.
"Задайте значения квантовых чисел, и я полностью опишу свойства атома", — так может современный Физик перефразировать известное изречение Архимеда. )каждое из квантовых чисел принимает только целочисленные значения и определяет, т. е. предсказывает, результаты измерения основных физических величин в заданном квантовом состоянии атома. 1 Главное квантовое число п. Это квантовое число принимает значения л=1,2,3, 277 и определяет полную энергию электрона в любом квантовом со- стоянии тое 1 13,6 Е„=— — — эВ. 32я2е282 2 2 О (5.37) Можно отметить, что зти значения энергии являются собственными значениями гамильтониана (5.17а). Поэтому в связанном состоянии электрон в атоме водорода имеет дискретный энергетический спектр, лежащий в области отрицательных значений н имеющий точку сгущения Е = О.
2. Орбитальное (азимутальное) квантовое число 1. В квантовых состояниях с заданным значением главного квантового числа и азимутальное квантовое число может иметь следующие значения: 1 = О, 1, 2, 3, ..., (п — 1). Стационарные волновые функции у„ь„(г,б,д), описывающие различные квантовые состояния атома (см. 5.3), являются собственными функциями не только оператора полной энергии Н, но и оператора квадрата момента импульса Е~, т. е.
Е альп 10+1)й Ммт Е= й Я7+1). (5.38) Проанализируем эту формулу квантования момента импульса (5.38). Сравнивая ее с условием (5.3) квантования момента импульса движущегося электрона в теории Бора, можно замеппь, что эти условия не совпадают. И дело не только в различии числовых значений, рассчитанных по этим формулам. Принципиальное 278 Следовательно, в любом квантовом состоянии атом обладает определенным значением квадрата момента импульса, причем модуль орбитального момента импульса движущегося в атоме электрона однозначно определяется орбитальным квантовым числом: "ь к ы состояния атома с левым моментом им льса.
Во е ео Т 2кг который можно охарактеризовать магнитным моментом: г еог р =)лг 2 Связь механического и магнитного моментов при этом определя- ется гиромагнитным отношением р" ГО Т. 2то (5.39) 279 во всех з-состояниях и, в частности, в основном )з-состоянии, когда )=О, из формулы (5.38) получаем Ь=О. При классическом опиании движения электрона в атоме по определенной траектории ~орбите) в любом состоянии атом должен обладать ненулевым моментом импульса, Опыт подтверждает существование квантовых ма с нулевыми орбитальными моментами.
Следовательно, опыт подтверждает, что только отказ от классического траекторного способа описания движения электрона в атоме позволяет правильно рассчитать и предсказать свойства атома. Вероятностный способ описания движения частиц в квантовой механике является единственно правильным способом описания свойств атомных систем — таков вывод современной физики. Так как движугцийся вокруг ядра электрон является заряженной частицей, то такое движение обусловливает протекание некоторого замкнутого тока в атоме, который можно охарактеризовать орбитальным магнитньии моментом р~. В теории Бора, когда с позиции классической теории рассматривается круговое движение электрона по орбите радиуса г со скоростью о, модуль орбитального механического момента равен Ь=тоог.
Если время полного оборота электрона Т, то такому движению соответствует замкнутый ток Так как заряд электрона отрицателен, то для орбитального движения направление вектора магнитного момента р" проти- воположно направлению вектора механического момента импульса Х (рис. 5.8). Для расчета орбитального магнитного Рис.5.8. Орбитальные момента в квантовой теории следует опмоменты атома ределнть пространственную плотность электРического тока 2е чеРез плотность потока веРоЯтностей 2 по фоРмУле 2е = — е~.
Плотность потока вероятности при згом можно найти по формуле (3.23), зная волновую функцию электрона в заданном квантовом состоянии атома. Точный квантово-механическнй расчет гиромагнитного отношения также приводит к формуле (5.39). Итак, в любом квантовом состоянии атом водорода обладает не только механическим моментом Е, модуль которого определяется по формуле (5.38), но и магнитным моментом =ГоБ=)гь Я)+1). (5.40) Здесь универсальная постоянная )гв = — —— 0,927 10 ДяоТл е" -2З 2, но и вполне о е еле ный момент им льса изменяю й о би- тальное квантовое число эле она всег а на едину 280 служит единицей измерения магнитных моментов атомов и называется магнетоном Бора.
Если атом переходит из одного квантового состояния в другое с испусканием (поглощением) фотона излучения, то возможны лишь такие переходы, для которых орбитальное квантовое число 1 изменяется на единицу. Это правило, согласно которому для оптических переходов Ж = Ы, называется нравилом отбора. Нар б р. бу в нем, но ение стон осит или вносит не только квант эне гни, 3 Магнитное квантовое число т. В квантовом состоянии с иным значением орбитального квантового числа 1 магнитное „антовое число может принимать 21+1 различных значений из ряда т=О, +1, х2,..., Ы физический смысл магнитного квантового числа вытекает из того, что волновая функция Чl„ьп(г, О, 1Р), описывающая квантовое состояние электрона в атоме водорода, является собственной функцией оператора проекции момента импульса Ц, причем Т.,Ч1 = йЧм . Поэтому из общих положений квантовой механики (см. 3.5) следует, что проекция момента импульса электрона на выделенное в пространстве направление г может иметь только определенные значения, равные (5.41) Направление г в пространстве обычно выделяется внешним полем (например, магнитным или электрическим), в котором находится атом.
Так как формула квантования проекции механического момента (5.41) соответствует вполне определенным направлениям ори- +2" ентации в пространстве вектора К (рис. + в 5.9), эту формулу обычно называют формулой пространственного квантования. О С точки зрения классического представления об электронной орбите с учетом перпендикулярности вектора Е к плоскости орбиты, из выражения (5.41) определяются возможные дискретные расположения электронных орбит в пространстве по отношению к направлению внешнего поля. СРавниваЯ (5.38) и (5.41), можно заме- нне момента нмпультить, ть, что максимальное значение проекции са электрона 281 момента импульса Ы не равно модулю момента импульса ЬДГ+ 1), а меньше его.
Это связано с тем, что, как показано в 3.7, проекции момента на две различные координатные оси не могут быть определены одновременно точно. Поэтому невозможно точное совпадение направления вектора орбитального момента импульса с направлением оси ~. Отмеченная выше связь механического и магнитного моментов атома позволяет с учетом (5.41) записать также возможные значения проекции магнитного момента атома на выделенное направление х: (5.42) ГОХ' РБ зависящие от значения магнитного квантового числа т. 5.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
