Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Это соотношение утверждает, что стационарными являются только такие орбиты, на длине которых укладывается целое число длин волн де Бройля движущегося по орбите электрона. Задача 5.2. Покажите, как изменится частота излучения атома водорода, если учесть конечное значение массы ядра. Решение. В такой постановке задачи электрон и ядро вращаются вокруг неподвижного центра масс. Бели через г, и г„обозначить радиусы круговых орбит электрона и ядра, то, согласно определению центра масс, л2сг, = Мг„,где л2а и М вЂ” массы электрона и ядра соответственно.
Из равенства ускорений электрона и ядра вытекает условие равенства их угловых скоростей вращения: Ю Ю е л — = — =Щ где с, и о, — скорости электрона и ядра соответственно. С учетом движения ядра момент импульса атома Š— 2лао г +Мо г = 2л„вг +Мвг . В качестве основных уравнений теории запишем условие вращения электрона по круговой орбите и условие Бора квантования момента импульса атома: е2 Л2оВ Г, = 4кво ( ~е + гя ) главаре+Мв~г =ай, л= 1, 2, 3, ... 261 Если расстояние между электроном и ядром обозначить через г = г;+г, =г,(1+гас/М), то после преобразований эти соотношения примут вид г е Ню "= 4наог Нюгг =ай, л=1,2,3,... Здесь введена приведенная масса системы электрон — ядро Решая полученную систему уравнений, находим для стационарных состояний атома (а = 1, 2, ...) 4ке~й~лг Не и ю„= л г 1бхгагйзлз Полная энергия атома глоо, Мо, е Ню~г~ е г г г Е= '+ — '— 2 2 4пас (г, + г„) 2 4хлег Подставляя значения г„и ю„, получаем формулу квантования энер- гии атома Е„=— Не~ 1 —,л=1, 2, 32яг гйг лг Отсюда находим частоты спектральных линий излучения такого ато- ма где модифицированная постоянная Ридберта Не и 32н а~~Я лгс 1+— М 2б2 Задача 5.3.
Оцените уширение спектральных линий излучения атомов. Решение. Можно выделить две основные причины уширения спектральных линий. 1, радюационное уширение. Атом в возбужденном состоянии находится конечное время т порядка 10 с. Это приводит к неопреде- -8 ленности энергии возбужденного атома, которую, как отмечалось в 2.3, можно оценить с помощью соотношения неопределенностей: ЛЕ = Ыт. Вследствие этого частота излучения атома имеет неопределен- ность ЛЕ„ЬЕг 1 1 л л значение которой порядка 10 рад/с (82о = 10 нм).
8 -5 2. Доплеровское уширение. Природа этого эффекта связана с тепловым движением излучающих атомов. Пусть атом массой льь имеющий импУльс Рс, испУскает в некотоРом напРавлении фотон с импульсом Рф — — л)г, где ~)г~ = — = —. 0) озо с с Закон сохранения импульса позволяет определить импульс атома после излУчениЯ: Р = Рс -Ж. ПоэтомУ в РезУльтате излУчениЯ фотона атом приобретает дополнительную кинетическую энергию отдачи ( Ро ")с) Ро г, 2, г, л шо йро~, — — — соя а. 2еос вес й Рой = гло 263 расчет показывает, что поправка частоты (или длины волны) излучения атома водорода за счет учета движения ядра составляет доли процента. Однако благодаря чрезвычайной точности спектроскопических методов появляется возможность экспериментально обнаружить различие (изотопический сдвиг) в спектрах излучения изотопов водорода — атомов, отличающихся массами ядер. Практически именно так, спектроскопическими методами, был открыт изотоп тяжелого водорода — дейтерий 1), для которого Мо —— 2М„, и изотопический сдвиг длин волн головных линий в серии Бальмера На (Х = 656,28 нм) и Па (Х = 656,11 нм) составляет 0,17 нм.
Здесь а — угол между направлением первоначального движения атома и направлением излучения фотона. Этот угол может изменяться а пределах от -я до +я. Частоту излучения движущегося атома определим из закона сохранения энергии: Лю = (Е~ — Е„) — Е Отсюда со= о), -Ьа(, хбюд. Сдвиг середины спектральной линии при этом незначителен и равен При ао = 3 10м рад(с и ео = 10чи кг получаем Лвс = 5 10'раа/с (Ые = 10 нм).
Таким сдвигом в силу его малости можно пренебречь. Величина называется доплеровской шириной спектральной линии. Если в качестве характерной скорости движения атома взять его среднюю скорость лри Т = 1000 К, которая составляет приблизительно 10 мыс, то з для аа = 3 10гз рал/с получаем Ьвд = 10ю рад(с (ЬХд = 2.10 ~ нм). 5.3. Квантово-механическое описание водородоподобных атомов Как следует из соотношений, полученных при решении задачи 5.1, ина волны е Б ойля дви егося в атоме эле она с ав- пима с азме ом атома. Мы знаем, что в этих условиях нельзя пренебречь волновыми свойствами электрона и его движение в атоме не может быть описано законами классической физики.
Поэтому атомные системы являются важнейшими объектами физики, для описания которых следует обязательно использовать законы квантовой механики. При этом существенно, что для такого описания квантовая механика не требует каких-либо дополнительных предположений, условий и постулатов, аналогичных постулатам в теории Бора. Сформулируем постановку стационарной задачи квантовой мекали«и для водородоподобного атома, описывающей движение электрона в электрическом поле неподвижного ядра с зарядом +те, где 7=1 для атома водорода и 7=2,3,4,...
для других водородоподобных атомов (ионов). Такая модель является важнейшей моделью атомной физики. Для этой модели потенциал поля, в котором движется электрон, может быть записан точно. Поэтому все выводы квантовой теории водородоподобных атомов могут быть проверены непосредственно в эксперименте. Потенциальная энергия электрона в электрическом поле «дра определяется как ;се2 У(г) = —. 4пвог (5.16) Йч'=Еч (5.17а) с гамильтонианом 265 Движение электрона в таком поле можно рассматривать как движение в некоторой сферической потенциальной яме (рис. 5.6). По аналогии с задачей о движении частицы в потенциальной яме простой формы, рассмотренной в 4.2, можно ожидать, что спектр энергии электрона в атоме будет дискретным, т.
е. состоять из отдельных энергетических уровней со значениями полной энергии электрона Е~, Е~, Ез и т. д. Для атома водорода этот энергетический спектр должен совпасть с полученным в теории Бора спектром я з энергий (см. формулу (5.12)), который подтверждается в оптических экспериментах. 1 Итак, для описания возможных квантовых состояний электрона в водородоподобном атоме и опреде- ~вс'5'6'Сфервче~кая потевци альная яма для водоролопоноЬ- ления спектра полной энергии элеи ного атома трона в этих состояниях необходимо найти регулярные решения стационарного уравнения Шредингера й2 Й = — "ь+б.
г, (5.17б) можно определить как оператор, содержащий радиальную часть (5.18) и угловую часть 1 д (. д) 1 д2 Ьа — — — — ~ зш Π— ~+ '=з1пЕ аВ ~ ав3 1п'Еа,р' (5.19) 266 Здесь Š— полная энергия электрона в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией у, а ео — масса электрона. При этом оператор потенциальной энергии У есть оператор умножения на функцию У(г), заданную соотношением (5.16). Искомые решения уравнения Шредингера (5.17а), (5.17б) явлаются собственными функциями оператора полной энергии О, и их нахождение связано с решением достаточно сложного дифференциального уравнения. Учитывая, что эта задача является одной из важных задач квантовой физики, изложим схему нахождения таких решений достаточно подробно. При этом нам придется использовать специальные функции математической физики— сферические функции. Для некоторых конкретных квантовых состояний они будут выписаны в точной аналитической форме как комбинации известных элементарных функций.
более подробные сведения о свойствах сферических (шаровых) функций можно найти в справочной математической литературе. Движение электрона в атоме удобнее исследовать, вводя сферическую систему координат, центр которой совпадает с центром ядра атома. В такой системе координат волновая функция электрона имеет вид у = ц~(г, О, у), а оператор Лапласа Согласно формулам (3.32), оператор квадрата момента имя са в сферической системе координат определяется как йтДв, Следовательно УРавнение ШРедингеРа (5.17а) пРе— — в,р образуется к виду ~'= Е у (5 20) Ь 1 2ег 2~о 2еог' апвог решение зтого уравнения будем искать в виде произведения двух функций с разделяющимися переменными: у= Х(г)у(Е, р).
(5.21) Заметим, что если два оператора содержат дифференциальные операции по разным переменным, то результат их последовательного действия на волновую функцию не зависит от порядка их следования, т. е. два таких оператора коммугируют. Поэтому коммутируют операторы Ь, и Лв е, а также оператор ЛВ в и оператор умножения на функцию У(г), зависящую только от радиальной координаты. Отсюда следует, что оператор квадрата момента импульса Е '2 коммутирует с гамильтонианом Й в форме (5.17б), записанной для сферически симметричного поля кулоновскнх сил. Согласно общим положениям квантовой механики, изложенным в гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
