Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Данная система уравнений имеет решение при любых значениях параметров 111 и йг, т. е. при любых значениях полной энергии частицы Е. Это означает, что при Е>Уо частица обладает непрерывным энергетическим спектром. Решая зту систему, для амплитуды прошедшей волны Аз получаем следующее выражение: 41 ~ 1 2е 3 (11 +1гг) еиг' (~ -~г) е '"" Векторы плотности потока вероятности для падающей на яму и прошедшей через нее волны, согласно (4.36), имеют вид 228 рахим образом, коэффициент прохождения В, характеризукнций вероятность прохождения частицы над ямой, равен (4.73) Подставляя в (4.73) значения Ус~ и Усз из (4.72), получаем 2 1 Уо яп /сна 4Е(Š— Ио)) (4.74) ял г л 2тоа (4.75) где и — целые числа, при которых Е > 0о Энергию частицы, движущейся над потенциальной ямой, удобно отсчитывать не от дна ямы, а от ее верхнего уровня Уо, 229 Из (4.74) следует, что коэффициент прохождения В зависит от соотношения между энергией частицы Е и глубиной потенциальной ямы Уо и в общем случае оказывается меньше единицы.
Это означает, что даже прн Е > Юо существует отличная от нуля вероятность того, что частица отразится от потенциальной ямы. Данное явление, полностью отсутствующее в классической физике, объясняется наличием у частицы волновых свойств. При з1пйта=О коэффициент прохождения В обращается в единицу, т. е. частица не испытывает отражения на границах ямы.
Это условие выполняется при йза = ял, т. е. при значениях энергии частицы поскольку именно энергия Е'= Š— Уо определяет кинетическую энергию частицы вдали от ямы. Переходя в (4.75) от Е к Е', получаем 282 Е'= 2 л — Уо, 2глоа (4.76) га=Х где Хв — дебройлевская длина волны частицы внутри ямы. Это условие определяет гашение за счет интерференции волн, отраженных от двух границ ямы. Аналогичное явление наблюдается в волновой оптике и заключается в том, что тонкая пленка определенной толщины может не отражать световую волну. Нанесение такой пленки на поверхность прозрачного тела, например линзы, позволяет полностью исключить отражение световых волн при прохождении через него (эффект "просветления оптики").
Задача 4.8. Частица массой тс находится в одномерной потенциальной яме с одной бесконечно высокой стенкой (см. рис. 4.18). Глубина ямы равна сгс, ширина — а. Считая, что в яме есть лишь один энергетический уровень Е = Ис12, найдите: а) значение Уса для такой ямы; б) наиболее вероятное значение координаты частицы х,; в) вероятность нахождения частицы в области х>а. 230 где л — целые числа, при которых Е' > О. Проведенный анализ дает квантово-механическое объяснение эффекту Рамзауэра (см. гл.
2). Напомним, что в опыте Рамзауэра наблюдалась прозрачность атомов инертных газов для пучка электронов при определенном значении энергии электронов. Конечно же, более адекватным опыту Рамзауэра было бы рассмотрение движения электрона в области трехмерной потенциальной ямы, моделирующей силовое взаимодействие электрона с атомом. Однако решение даже одномерной задачи позволяет не только качественно объяснить результаты опыта, но и получить определенные количественные соотношения (см. выражения (4.74) — (4.76)). Условие lг2а = кл можно представить в виде рещение. условие, определяюшее возможные значения энергии час- тицыпри Е<1(с, имеегвид йг з(пк,а =+ (~,а, 2а,пг(1о где х =)~ —.
Подставляя сюда значение Е= —, по аем Г2щЕ ГУ„ 1 )~ йг 2 а~~Г Д 2 Поскольку в яме всего один энергетический уровень, значение аргун мента синуса должно лежать в пределах от — до к. Следователь- 2 но, решение уравнения имеет вид а,~Я~6'~ Зк й 4 Отсюда находим, что ширина и глубина ямы должны удовлетворять условию 9 кглг У~а 16 ее Рассчитаем наиболее вероятное значение координаты частицы х Плотность вероятности нахождения частицы в яме н определяется г квадратом модуля волновой функции ~гу(х)~ . Поскольку внутри ямы (см.
уравнение (4.60а)) )гр(х)~ = А гйпг й~х, то, решая задачу на эксг г . г тремум и „получаем гйп 2А1х = О. Отсюда следует, что 2й~х = юя, где е = 1, 2, 3, ... В силу того что ('~п < к, в полученном решении следует оставить только значение т =1. Таким образом, 231 Учитывая связь между а и Уо, приходим к окончательному вы- 2 раженню яй 2 Х,= = -а. Рассчитаем теперь вероятность нахождения частицы в области х > а. Обозначим через Р, и Рз вероятности нахождения частицы соответственно внутри и вне ямы.
С учетом вида волновых функций (4.60а), (4.60б) где Соотношение между амплитудами А и С определим из условия непрерывности волновых функций при х = а: Азшк,а =Се получаем 232 и и й г~, г~яО, ' Р, = )А з1п й,х Нх, Рз = )С е ~~" к,х с(х, Фо Е) =~ (~о =й~ = 2, ~~ зн йз ~Аз 4а' Зн С учетом того, что к, =«з = — и, следовательно, 4а зе зе А е 4 ~ 4 с,П 2 Отношение вероятностей Р, и Рз равно Гг зшк1а = —, 2 . гЗп з(п — хс(х 4а о — 2е г ге Ге г" с(х О а( Зк+2) Зк+2 Р А зх бк — е г Зк Принимая во внимание, что Р, + Рг = 1, получаем 2 Р, = — =0,149. Зк+ 4 Этот результат означает, что с достаточно высокой вероятностью (-15 %) частица находится вне потенциальной ямы.
Задача 4.9. Частица массой нге, двигаясь слева направо, падает на прямоугольную потенциальную яму глубиной Ус (см. рис. 4.21). Считая, что полная энергия частицы Е > Ус известна, найдите ширину ямы а, при которой коэффициент отражения частицы от ямы максимален. г г . ~,ну. згв йг. 4Е(Е-Уе) где )гг = )~ — Е. Минимум Р для различных значений ширины Гг„ дг а реализуется при условии )з(п Ага~ = 1, т. е. при 233 Региенне. Отражение частицы от потенциальной ямы представляет собой чисто квантовый эффект. Классическая частица не может отразиться от потенциальной ямы, в области ямы лишь возрастают ее кинетическая энергия и скорость.
Квантовая частица испытывает отражение от ямы в силу того, что она обладает волновыми свойствами и, подобно волне, может отражаться от любых препятствий. Поскольку коэффициент отражения Е и коэффициент прохождения Р связаны соотношением В =1- Р, то максимум отражения будет наблюдаться в том случае, когда коэффициент прохождения Р минимален.
Согласно (4.74), коэффициент прохождения Р имеет вид /сза =(2т+1) —, т= О, 1, 2, 3, ... 2 Отсюда находим ширину ямы а, при которой отражение частицы будет макснмапьным: (2т+1) ка ,~ЬщЕ Отметим, что зто условие можно переписать в вцпе 2т+1 а= — Лк, 4 2кй где Лк = — дебройлевская длина волны частицы в яме. ,)2теЕ 4.5. Квантовый гармонический осциллятор Как известно, гармоническим осциллятором называется система, способная совершать гармонические колебания.
В физике модель гармонического осциллятора играет важную роль, особенно при исследовании малых колебаний систем вблизи положения устойчивого равновесия. Примером таких колебаний в квантовой механике являются колебания атомов в твердых телах, молекулах и т. д. Рассмотрим одномерный гармонический осциллятор, совершающий колебания вдоль оси х под действием возвращающей квазиупругой силы Г,=-кх. Выражение для потенциальной энергии такого осциллятора имеет вид ~2 22 У(х) = — = 2 2 (4.77) 234 где о2Π— — — — собственная частота классического гармоничето ского осциллятора.
Таким образом, квантово-механическая задача о гармоническом осцилляторе сводится к задаче о движении частицы в параболической потенциальной яме (рис. 4.24). — + — Š— чг=О, — »<х<+ . (4.78) с1 чг 2гло ( и~гевх (х2 ь2 2 Вводя величины гŠ— — и хо=~— алгос " тагес (4.79) и переходя к новой безразмерной переменной с = —, приводим хо' уравнение (4.78) к виду (4.80) 235 рассмотрим сначала поведение классического гармонического осциллятора. Пусть частица, обладаюшая полной энергией Е, совершает колебания в силовом поле (4.77).
Е Точки ао и — ао, в которых полная энергия частицы равна потенциальной энергии Е = У(х), являются для частицы точками поворота. Час- Рис 424. Потенциальная тица сове шает колебательные дви- энергия гармонического остица соверш циллятора жения между стенками потенциальной ямы внутри отрезка ~ — ао, ао1, выйти за пределы которого она не может.
Амплитуду колебаний ао находим из выражения 2' В квантовой механике для решения задачи о гармоническом осцилляторе нужно решить уравнение Шредингера (4.6), в котором потенциальная энергия У имеет вид (4.77): Анализ показывает, что волновые функции, являющиеся решением уравнения (4.80), будут непрерывными и конечными не при всех значениях параметра ц, а лишь при 11 = 2н+1, п,1, 2, 3, ... Выражая, согласно (4.79), энергию осциллятора Е через получаем (4.81) Е„= йао и+ — ), н = О, 1, 2, 3, ... Это соотношение и определяет закон квантования энергии гармонического осциллятора.
Отметим, что уровни и энергии гармонического осциллятора в отличие, например, от случая прямоугольной потенциальной ямы, яв- О х лаются эквидистантными, т. е. рас- положены на одинаковом энергетиРис. 425. Уровни энергии ческом РасстоЯнии ЬЕ = Йо~п ДРУГ гаРмонического осцнлла- от друга (рис. 4.25). тора Еще одной важной особенностью энергетического спектра (4.81) является наличие так называемых нулевых колебаний — колебаний с 1 энергией Ео — — — йгсв, соответствующих значению квантового 2 числа п =О. Отличие от нуля минимальной энергии осциллятора характерно, как мы уже видели, для всех квантовых систем и является следствием соотношения неопределенностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
