Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 29
Текст из файла (страница 29)
а Возвращаясь к функции у(г), запишем ненормированные (А = сопи) волновые функции ляг цп— ж„( )=А ", =1,2,3, г являющиеся решением исходной задачи н опнсываюшне все возможные сфернческн симметричные квантовые состояния частицы в данной потенциальной яме. Этим квантовым состояниям соответствуют значения полной энергии частицы газ Е„= — л, л=1,2,3, 2вса Прн я=1 это выражение определяет мнннмально возможную полную энергню нуклона в рассматриваемой модели ядра. Подставляя чнсленныезначення вс =1,67 10 пкг н а=10 '4м, находим Е „= 3,3 10 'з Дж = 2,1 10 эВ = 2,1 МэВ.
Это значение энергии существенно превышает значение энергии электрона в атоме, что указывает на возможность выделения в ядерных процессах энергии, в миллионы раз превышающей энергию химических реакций. Осуществленне реакций деления тяжелых ядер н синтеза легких ядер с выделением ядерной энергии подтверждает этот вывод, полученный как следствие законов квантовой механики. 4.3. Движение частицы в областях потенциального порога и потенциального барьера В 4.2 было рассмотрено движение частицы в ограниченной области пространства — фнннтное движение. Перейдем теперь к 192 анализу случаев, в которых частица, находящаяся в силовых но„ях, способна уходить на бесконечность, т.
е. приступим к рассмотрению инфинитного движения частицы. движение частицы в области потенциального порога. Рассмотрим движение частицы в силовом поле, в котором ее потенциальная энергия У(х) имеет вид О, х(0, У(х) = Уо, х>0. Такое силовое поле называют потел- У пиальным порогом (потенциальной стенкой). Оно может быть использо- ц, вано для моделирования различных силовых полей с резкой границей.
На границе порога, т. е. при х = О, потенциальная энергия частицы скач- Е ком меняется на конечную величину Уо (рис. 4.7). 0 Обозначим область слева от порога (х(0) цифрой 1 и все реше- Рис. 4.7. Прямоугольный пония для этой области будем отмечать индексом 1. Область справа от порога (х > 0) обозначим цифрой П и будем отмечать соответствующие ей решения индексом 2. Уравнение Шредингера для частицы в таком силовом поле имеет вид: в области 1 и'Ч 2 — 1+ — ЕЧг1 — — О, 12 й2 в области П Н2Ч/ 2гл 1х2 й2 2 + — (Š— Уо)Ч 2 =О. 193 Рассмотрим сначала случай, когда энергия частицы Е меньше высоты потенциального порога Уо, т.
е. Е<11о. В этом случае мы имеем дело с высоким потенциальным порогом. Вводя обозначе- ния к1 —— — Е и 112 = (Уо Е) (429) 2то 2то 1~ „2 ,2 получаем уравнения Шредингера для областей 1 и П: 12 Ч/1+/ 2Ч 0 (4.30а) 12 Ч2 / 2Ч12 0 (4.30б) Решения уравнений (4.30а), (4.30б) запишем в виде Ч11(х)=А1е' "+В1е ' '" Ч12(х) =А2е 2~+В2е (4.31а) (4.31б) 194 Отметим, что полученные волновые функции Ч11и Ч12, описывающие состояние частицы в областях 1 и 11, в случае высокого потенциального порога имеют существенно различный вид. Первое слагаемое в выражении для волновой функции Ч11 описывает плоскую волну де Бройля, распространяющуюся вдоль оси х нз к области порога, т.
е. слева направо. Аналогично, второе слагаемое описывает плоскую дебройлевскую волну, распространяющуюся вдоль оси х в отрицательном направлении. В том, что выражение е1 действительно описывает плоскую волну, легко убедиться, вспомнив про временной множитель е вм для волновой функции частицы, находящейся в стационарном состоянии (4.8). Умножая е' на е '~, получаем е'~™, т. е.
пло- или А~ + В~ — — В~, й~А~ — Й~В~ — — -lстВт. (4.32) уравнения (4.32) позволяют выразить коэффициенты В~ и Вт через коэффициент А,, т. е. через амплитуду падающей на порог волны де Бройля. Поскольку в подобных задачах все имеющие физический смысл величины, такие, например, как коэффициент отРажения частицы от порога, коэффициент прохождения и т. д., вы- РажаютсЯ чеРез отношение коэффициентов В~ и Вт (или анало- 195 ую волну де Бройля, распространяющуюся вдоль оси х в положительном направлении. Аналогично е '~ соответствует плоской волне де Бройля, распространяющейся вдоль оси х в отрицательном направлении. Р ом ~~шювая функция Чг,(х)(4,31а) предо собой сумму падающей на порог и отраж н й волн де Броиля, тогда как волновая функция Ч (х) (4 31б), рнзующ дв ение частицы в области П, пр дота бой сумму двух экспонент с действительными показателями степени.
Воспользуемся теперь условиями, налагаемыми на волновую функцию. Поскольку волновая функция должна быть ограниченной, а первое слагаемое в выражении для волновой функции ут(х) при х, стремящемся к бесконечности, неограниченно возрастает, то необходимо потребовать, чтобы коэффициент Ат перед этим слагаемым был равен нулю. Далее, в силу того, что порог Уо имеет конечную высоту, волновая функция на границе раздела областей 1 и П должна быть не только непрерывной, но и гладкой, т.
е. иметь непрерывную производную. Приравнивание волновых функций и их производных на границе раздела двух областей, в которых волновая функция имеет разный вид, получило название сливки волновых функций и их производных. В данном случае условия сшивки имеют вцд гичных им) к А1, то без потери общности можно положить А1 = 1.
При этом для В1 и Вг из (4.32) получаем й1 — йг 2)11 В1, В2 я1+1кг к1+)кг (4.33) 1е1(х)=е 1 + е 1 х<0, (4.34а) Й х )11 1)~2 — Й х К1 +ьгг 1ег(х)= 1 е г, х>0. 211 -), х ~1 +1)12 (4.34б) Отметим, что система уравнений (4.32) имеет решение при любых значениях коэффициентов х1 и йг, т. е. при любых значениях энергии Е (напомним, что Е < Уо). Это означает, что частица обладает непрерывным энергетическим спектром. Найдем коэффициент отражения Я, определяющий вероятность того, что частица отразится от высокого порога.
Согласно физическому смыслу, коэффициент отражения (4.35) ГДЕ 1 И 1„ея — ВЕКТОРЫ ПЛОтНОСтИ ПОтОКа ВЕРОЯтНОСтИ СООтветственно для отраженной (второе слагаемое в (4.34а)) и падающей (первое слагаемое в (4.34а)) волн. Напомним, что вектор плотности потока вероятности (см. (3.19)) определяется через волновую функцию 1у следующим образом: 2 = — ~1УВ 1| — 1У а Ь1| ~. 2, (4.36) С учетом соотношений (4.34а) и (4.36) получаем !96 Таким образом, волновые функции частицы в случае высокого порога равны: тс х1+й2 Подставляя эти выражения в (4.35), находим, что 2 Е 1 1 2 )~1 + 1)~2 Коэффициент прохождения 1) частицы через порог (коэффициент прозрачности порога), определяющий вероятность того, что частица пройдет в область П имеет вид где 7' — вектор плотности потока вероятности для прошедшей пр волны у2(х)(4.34б).
Подставляя 1у2(х)в (4.36), получаем, что =О, а следовательно, и 1) = О. Таким образом, в случае высокого порога (см. рис. 4.7) Я = 1, 1) = О и выполняется условие й + Р = 1. Рассмотрим поведение частицы в области П высокого потенциального порога. Волновая функция частицы щ2(х) (см.
выражение (4.34б)) отлична от нуля и уменьшается с возрастанием х по экспоненциальному закону, а это означает, что существует отличная от нуля вероятность пребывания частицы под порогом, т. е. в области, в которой полная энергия частицы Е меньше ее потенциальной энергии уо. С точки зрения классической механики зта область для частицы является запрещенной, так как условие Е <Бо означает, что кинетическая энергия частицы должна быть отрицательной. Однако с точки зрения квантовой механики никакого противоречия здесь иет. Кинетическая энергия является Функцией импульса частицы р, а потенциальная энергия — функ- 197 цией ее координаты х, но, согласно соотношению неопределенностей, одновременное точное определение координаты и импульса невозможно.
Поэтому в квантовой механике представление полной энергии частицы в виде суммы одновременно точно определенных кинетической и потенциальной энергий, как уже отмечалось в 2.3, не имеет смысла. Полученный результат означает, что микрочастицы могут проникать в области, которые для макроскопических частиц недоступны. Плотность вероятности нахождения частицы в области П определяется выражением г ( з г), м~т (х) = — = ~я/з(х)~ = ехр( — 2йтх) = ~~+'~г (4.37) 4(~ ~ 2 Р~ —,/2 оД/о-Я) ~ А1'+12' й и зависит от массы частицы то, разности энергий Уо — Еи расстояния от границы порога х. Найдем значение экспоненциального множителя в (4.37) для электрона, полагая Уо-Е=1эВ. При х=10 м, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
