Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 24
Текст из файла (страница 24)
И хотя вероятность того или иного результата измерения в квантовой механике относится к отдельному объекту, для экспериментального определения численного значения этой вероятности необходимо многократное повторение измерений в квантовом ансамбле одинаковых систем. Такой подход к описанию физических явлений принципиально отличается от традиционного подхода классической теории.
Поэтому на стадии становления квантовой механики столь необычные и революционные идеи даже в среде физиков не сразу нашли полное понимание. "Некоторые физики, в том числе и я сам, не могут поверить, что мы раз и навсегда должны отказаться от идеи прямого изображения физической реальности в пространстве и времени или что мы должны согласиться с мнением, будто явления в природе подобны игре случая.
< ... > Я еще верю в возможность создания модели, т. е. теории, способной излагать сами сущности, а не только вероятности их проявления", — писал А. Эйнштейн в начале ХХ в. Однако впечатляющие успехи квантовой механики при описании явлений в микромире показали, что другой теории, альтернативной квантовой механике, в физике нет. "Внедрение случайности в жизнь Вселенной не порождает хаоса. В жизни Вселенной осуществляется безмерно великое число проб и испытаний. В этом многообразии событий обнаруживается закон величайшей Красоты и Гармонии. Иллюстрацией этому утверждению может служить квантовая механика, законы которой основаны на концепции, отвергающей предопределенность событий.
Именно на этой основе были вскрыты изумительные закономерности атомного мира, позволившие понять строение атомов и молекул, закономерности их взаимодействия", — писал известный Физик Д.И.Блохинцев в конце ХХ в. 153 Задача З.б. Определите скорость изменения со временем среднего значения физической величины г", считая, что оператор Ф явно не зависит от времени. Решение. Так как (У)= )'Ч*(ФЧ)Л, то — = )' — (ФЧ)Л~+ (Ч'(Ф вЂ” ~Л. л(Х) дЧ" ,/- дЧ'1 дг „„дг д3 Учитывая, что звошоция волновой функции Ч' описывается уравне- нием Шредингера, находим Рд — = Й Ж, - 1л — = ЙЧ. дЧ' -, дЧ" дг ' дг Поэтому — — — ) (ЙЮ')(ФЧ) д7 — ( Ч'(ФЙЖ)~В Поскольку операторы Н и Ф вЂ” эрмитовы, то первый интеграл в правой части этого равенства можно преобразовать к виду ) (йЧ'*)(ФЧ')др= ) (ФЧ')(ЙЧ) И= ) Ч'(ЙЬЧ)Л.
нн км ня Следовательно, — — — ) Ч' ~(ЙФ-ФЙ)Ч~йУ. Полученное соотношение показывает, что производная среднего значения физической величины по времени может быть представлена как среднее значение для некоторого оператора. Этот оператор и 154 называют производной оператора Ф по времени. Таким образом, для оператора Ф, явно не зависящего от времени, — ~ = ЧЙФ-ФЙ). ~й А Отсюда следует, что если оператор Ф некоторой физической величины Г" явно не зависит от времени и коммутирует с гамильтонианом Й, т. е. ЙФ =ФЙ, то среднее значение (~) этой физической величины не изменятся со временем.
Как и в классической механике, в квантовой механике такие величины называются интегралами движения, соответствующими различным законам сохранения. Заметим, что оператор -„'(ЙФ-Фй) = (ФЙ- ЙФ) называется квантовой скобкой Пуассона операторов Ф и Н. 3.7. Одновременное измерение разных физических величин Важным вопросом в квантовой механике является вопрос о возможности одновременного точного измерения в некоторой квантовой системе двух разных физических величин. В качестве таких наблюдаемых величин могут выступать, например, координата и проекция импульса частицы, кинетическая и потенциальная энергии частицы, два различных компонента момента импульса и др. Можно ли организовать физический эксперимент так, чтобы в нем эти две величины были измерены одновременно и точно? Какие физические величины в квантовой системе могут быть измеРены одновременно и точно, а какие — нет? Некоторая физическая величина считается измеренной точно в данной квантовой системе, если каждое ее измерение в квантовом ансамбле одинаковых систем приводит к одному и тому же результату измерения.
При этом предполагается, что эксперимент проведен идеально и приборные погрешности исключены. 155 В 3.6 было показано, что физическая величина а может быть точно измерена только в такой системе, квантовое состояние которой описывается волновой функцией, являющейся одной из собственных функций соответствующего этой физической величине оператора А . При этом вовсе не обязательно, чтобы в этом квантовом состоянии была возможность так же точно измерить другую физическую величину Ь.
Эти физические величины а и Ь будут одновременно точно измерены только в том случае, если соответствующие им операторы А и В имеют обшую систему собственных функций. Покажем, что если два оператора А и В имеют общую систему собственных функций, то между ними существуют некоторые коммутационные соотношения и результаты последовательного действия операторов на волновую функцию не зависят от порядка их применения.
Действительно, пусть функции Ч'„(и=1, 2, ...) являются собственными функциями как оператора А, так и оператора В. Тогда выполняются следующие соотношения: А~ВЧ'„) = А(Ь„Ч'„) = Ь„(АЧ'„)= Ь„а„Ж„, В(АЖ„) = В~а„Ч„) =а„(ВЖ„) = а„ЬЧ„. Здесь а„и ܄— собственные значения операторов А и В, соответствующие их общей собственной функции Ч'„. Отсюда следует, что А(ВЧ'„) = В(АЧ'„) . Но так как любая волновая функция Ч' может быть представлена в виде линейной комбинации собственных функций: Ч' = ~ С„Ч'„, то в силу линейности квантово-механических опея раторов для любой волновой функции должно выполняться коммутационное соотношение 156 А(ВЧ') = В(АЧ'), (3.76) которое в операторной форме может быть записано в виде АВ=ВА или А — ВА=О.
(3.77) разность операторов А — ВА называют коммутатором операто- ров А и В и обозначают обычно символом [А,В~ьзАВ-ВА. (3.78) х(р,Ж) — р„(хЧ) = х~ — Й вЂ” 1+Й вЂ” (хЧ') = ЙЧ'. (.ач'), а а3 а Отсюда получаем г(х, Рх ~ = Й Ф О . (3.79) Таким образом, нельзя одновременно точно измерить координату х частицы и проекцию р„ее импульса. Как и следовало ожи- 157 Два оператора, коммугатор которых равен нулю, называют коммутирукпиими операторами. Таким образом, мы приходим к важному выводу квантовой механики: если две разные физические величины а и Ь могут быть одновременно точно измерены, то соответствующие им операторы А и В должны быть коммутирующими операторами, т.
е. для них должно выполняться соотношение (3.77). Справедливо и обратное утверждение. Таким образом, коммугативность операторов указывает на возможность одновременного точного измерения соответствующих им физических величин. И наоборот, некоммугатнвность операторов указывает на невозможность такого одновременного точного измерения двух соответствующих им физических величин. По этому правилу проверим, можно лн одновременно точно измерить координату х частицы и проекцию р„ее импульса? Для этого найдем коммутатор операторов х и р,:.
Запишем это соотношение в виде 1(а)= ~ ~ахЧ'+ — )~ ахЧ' + — ~Их=Аа -Ва+С. (3.80) Здесь А = ~ Ч' х Ч'Ых= 12~ >О, В=- ~х Ч' — +Ч' — Ж=- ~х — (Ч' Ч')дх= ( БАРР, барр ) Их Ых ~й =-хЧ~*Ч~! + ~'Ч~*Ч (к=1, е ЫЧ' ~РР е, с1~Ч' 1 С= 1 — ( =- ~Ч* — Ь= — Ю~>О.
,1х 1,1хг Вг Условие положительности интеграла 1(а), значение которою записано в виде квадратного трехчлена (3.80), на основании теоремы о корнях квадратного уравнения можно записать в виде 4АС > В~ (3.81) Подставляя в (3.81) вместо А, В, С их значения, получаем, что всегда выполнаетсл неРавенство 4Ю1)?з 1 8, котоРое можно запиг сать как (3.82) 159 Если величины Ьх= ~((Ат) 1 и Ьр = ((Ар ) 1 назвать не- определенностями координаты и проекции импульса, то (3.82) примет вид АхАРх ~ Ь (3.83) Аналогично могут быть получены еще два неравенства для других координат: (3.84) Сравнение полученных соотношений с формулами (2.16) показывает, что соотношения неопределенностей Гейзенберга являются следствием общих положений квантовой механики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
