Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Из формулы (3.2) следует, что в заданном квантовом состоянии частицы, описываемом волновой функцией Ч'(х,у,~,г), можно рассчитать также вероятность Р того, что частица будет обнаружена в любой области пространства конечного объема У. Действительно, так как Р = ~ с(Р = ~ АУ, то из (3.1) и (3.2) следует, что Р = ~~Ч' ~ с(У или Р = ~ Ч' ЧЯУ. (3.3) ~Ч'~ сЛ~ =1, или ~ Ч' Ч'НУ =1. (3.4) У-+ 116 В квантовой механике формулы (3.1) — (3.3) определяют вероятностный смысл волновой функции.
Именно поэтому волновую функцию называют также амплитудой вероятности. Свойства волновой функции. Если в качестве области пространства в (3.3) взять все пространство %", для которого У вЂ” ~, то обнаружение частицы во всем пространстве является достоверным событием, вероятность которого равна единице. Следовательно, из вероятностного смысла волновой функции вытекает, что Условие (3.4) называют условием нормировки волновой функции, а волновую функцию, удовлетворяющую этому условию,— нормированной волновой функцией. Следует заметить, что в некоторых задачах квантовой механики условие нормировки в виде (3.4) может не выполняться.
В таких задачах частица движется из бесконечности и уходит в бесконечность. Поэтому квадрат модуля волновой функции в таких задачах не стремится к нулю на бесконечности, и интеграл в условии (3.4) становится расходящимся. Примером такой волновой функции служит плоская волна де Бройля (2.3), которая является волновой функцией, описывающей квантовое состояние свободно движущейся частицы. При использовании ненормированных волновых функций важно не абсолютное значение квадрата модуля волновой функции, а отношение ее квадратов модулей в двух точках пространства.
Это отношение определяет отношение вероятностей обнаружения частицы вблизи этих точек пространства. Следует отметить, что в задачах с ненормированными волновыми функциями некоторый аналог условия нормировки может быль получен с использованием плотности потока вероятности. Определение этой физической величины и описание ее связи с волновой функцией будут даны в 3.3. Вероятностный смысл волновой функции накладывает определенные ограничения, или условия, на волновые функции в задачах квантовой механики. Эти стандартные условия часто называют условиями регулярности волновой функции.
1. Условие конечности волновой функции. Волновая функция не может принимать бесконечных значений, таких, что интегралы в (З.З) и (3.4) станут расходящимися интегралами. Следовательно, это условие требует, чтобы волновая функция была квадратично интегрируемой функцией. В частности, в задачах с нормированной волновой функцией квадрат модуля волновой функции должен стремиться к нулю на бесконечности.
2. Условие однозначности волновой функции. Волновая функция должна быть однозначной функцией координат и времени, так как плотность вероятности обнаружения частицы должна определяться в каждой задаче однозначно. В задачах с использованием цилиндрической или сферической системы координат условие однозначности приводит к периодичности волновых функций по угловым переменным. 117 3. Условие непрерывности волновой функции. В любой момент времени волновая функция должна быть непрерывной функцией пространственных координат. Кроме того, непрерывными должны быть также частные производные волновой функции дЧ' дЧ' дЧ' —, — и —. Эти частные производные волновой функции дх ' ду дг лишь в редких случаях задач с идеализированными силовыми полями могут терпеть разрыв в тех точках пространства, где потенциальная функция, описывающая силовое поле, в котором движется частица, испытывает разрыв второго рода.
Принцип суперпозиции квантовых состояний. Сформулируем одно из важных свойств квантовых состояний, которое формально является следствием линейности уравнения Шредингера для волновой функции (см. 3.2). Из линейности этого уравнения следует, что если частица может находиться в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией Ч'1, а также в другом квантовом состоянии, описываемом волновой функцией Ч'2, то эта частица может также находиться в состоянии, описываемом волновой функцией (3.5) Ч С1Ч 1+С2Ч 2 где С1 и С2 — в общем случае комплексные числа. Очевидно, что можно говорить и о суперпозиции (сложении) любого числа квантовых состояний, т. е. о существовании квантового состояния частицы, которое описывается волновой функцией Ч' = С1Ч'1+ С2Ч'2 + ... + С~Ч',т = ~~Г С„Ч'„.
(3.6) В таком состоянии квадрат модуля коэффициента С„определяет вероятность того, что при измерении мы обнаружим частицу в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией Ч'„. г Поэтому для нормированных волновых функций ~~Г ~С„~ = 1. л=1 118 Квантово-механический принцип суперпозиции состояний не имеет аналога в классической механике. Действительно, в классической теории свободная частица в данный момент времени движется в пространстве в определенном направлении. А куда движется квантовая частица, состояние которой описывается волновой функцией, являющейся суперпозицией двух плоских волн де Бр й, 1 — рх — рх — Ет Ч'(х,г)= С1ея +С2е " е " ? Такая частица одновременно движется и вправо вдоль оси х и влево. С точки зрения классической механики такой ответ абсурден.
С позиций квантовой механики это означает, что при проведении серии опытов по определению направления движения частицы, находящейся в таком квантовом состоянии, с вероятностью 2 Р1 - ~С1~ будет получен ответ, что частица движется вправо вдоль 2 оси х, а с вероятностью Рз - ~Сз~ — что частица движется влево. Точно также в состоянии, являющемся суперпозицией двух плоских волн де Бройля, распространяющихся в направлениях вдоль осей х и у, когда 3 ! — рх — ру — Е~ Ч'(х, у,г)= С1е" +Сзе" е " нет однозначного ответа на вопрос: "Куда движется частица?". Ответ, что частица движется и в направлении оси х и в направлении оси у не означает, что она движется вдоль биссектрисы угла между осями х и у.
Этот ответ означает, что частица с некоторой вероятностью движется вдоль оси х, а с некоторой вероятностью — вдоль оси у. Такой результат будет получен в серии измерений направления движения частицы. Столь необычный ответ квантовой механики, казалось бы, на простой вопрос не является чисто теоретическим абстрактным результатом. В связи с этим отметим, например, что в современных информационных технологиях, разрабатывающих квантовые компьютеры, возможно использование не только логического элемента с двумя состояниями "О" и "1", но и элементов, которые 119 могут находиться в состояниях суперпозиции нуля и единицы с некоторыми вероятностями.
Такие элементы существенно изменяют принцип работы компьютера и позволяют создавать алгоритмы, значительно повышающие быстродействие и эффективность переработки информации. Возможность существования состояний, в которых данная физическая величина не имеет определенного значения и которые являются результатом суперпозиции состояний с определенными значениями этой величины, есть характерная черта квантовой механики, принципиально отличающая ее от классической механики. Описать состояние квантовой суперпозиции одной частицы а .и ун.ана рассма ивать системы в кото ых о мально объединены как классические, так и квантовые объекты. Такие системы некое тны иссл овация так как в их а аются не шимые в Одно из таких противоречий демонстрирует предложенный Э.
Шредингером парадокс, который получил название "парадокса кошки". Пусть в замкнутой системе (рис. 3.2), которая ограничена некоторым непроницаемым "ящиком", находится кошка. На кошку направлен ствол заряженного пулей ружья. Перед нами система, содержащая классические объекты. Запустим теперь в этот ящик движущуюся микрочастицу, обладающую волновыми свойствами. При попадании этой квантовой частицы в курок ружья, ружье стреляет, и кошка погибает. Пусть наша частица может находиться в первом квантовом состоянии, описываемом волновой функцией Ч'1, и пусть в этом состоянии вероятность обнаружить частицу в области вблизи курка равна нулю.
Это означает, что если микрочастица находится в первом квантовом состоянии, то кошка в ящике жива. 120 Рис. 3.2. К "парадоксу кошки" Э. Шредингера 1 1 Р1+ Р2' /2 ~Г2 (3.7) Тот факт, что частица в таком состоянии с равной вероятностью может быть обнаружена либо в первом состоянии, либо во втором возражений не вызывает.
Однако, естественно, возникает коварный вопрос. Жива или мертва кошка в состоянии микрочастицы, описываемом волновой функцией (3.7)? Ведь кошка не может находиться в состоянии, которое является суперпозицией жизни и смерти, т. е. не может быть ни живой, ни мертвой. Так жива или мертва кошка? Ведь если мы откроем ящик, то однозначно увидим, что кошка илн жива, или мертва.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
