Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Рх Рх Ро Считая, что неопределенность проекции импульса Ьр„цлоль оси х сравнима с Р,„получаем сур, =— 4'х Ро (2.14) дннату х. При прохождении электрона через щель ситуация существенным образом меняется. Неопределенность координаты х становится равной ширине щели Ах, но при этом появляется неопределенность проекции импульса Лр„обусловленная дифракцией электронов на щели. Дело в том, что электроны, прошедшие через щель в экране, описываются уже не плоской, а расходящейся волной, интенсивность которой в соответствии с законами дифракции зависит от угла дифракции ~р (см.
рис. 2.17). Наибольшее изменение при прохождении через щель претерпеваетпроекция рх импульсазлектронанаось х. Оценим порядок разбросазначений рх, обуслоаленныйдифракциейэлектронов. Электроны, прошедшие через щель, в подавляющем большинстве случаев будут попадать в центральный дифракционный максимум. Границы этого максимума определяются углом дифракции яь, задающим направление на первый минимум интенсивности в дифракционной картине. Согласно теории дифракции, этот угол находят из условия Лхз(п ~(ь = Хв, где Хв — дебройлевская длина волны электрона.
В силу малости угла аь япаь = 1урн следовательно, Сравнивая (2.13) и (2.14), находим, что Ахар, = евро. Прини- мая во внимание, что Хв — — 2пй/ ро, окончательно получаем Ахар„= 2яй. (2.15) Поскольку при выводе (2.15) использовались некоторые упрощающие предположения, это соотношение, естественно, является приближенным. Строгий вывод, приведенный в 3.7, дает следующий результат: й Лх Ьр„> —.
2 (2.16) Это соотношение было получено в 1927 г. немецким физиком В. Гейзенбергом и называется соотношением неопределенностей Гейзенберга. Из него следует, что чем точнее мы определяем координату частицы, т.е. чем меньше Ьх, тем болеенеопределенной становится проекция импульса частицы Ьр, на эту координатную ось и наоборот. Соотношение неопределенностей Гейзенберга является математическим выражением принципа неопределенностей. Согласно этому принципу, в природе не существует состояния частицы с точно определенными значениями координаты и проекции импульса на эту координатную ось. Подчеркнем еще раз, что соотношение (2.16) является следствием корпускулярно-волнового дуализма материи, т.
е. того, что частица обладает одновременно свойствами и волны, и корпускулы. Оно никак не связано с погрешностью измерения конкретных измерительных приборов, используемых в том илн ином эксперименте. Это соотношение задает теоретический предел точности измерения характеристик микрочастицы, который далеко не всегда может быть достижим на практике. Соотношение неопределенностей Гейзенберга связывает неопределенность координаты частицы с неопределенностью проекции импульса именно на данную координатную ось.
Поскольку ось х в предыдущем рассмотрении физически ничем не была выделена, то соотношение (2.16) оказывается справедливым и для других л й координатных осей: зубр > —, Ахар 1 —. 2 2 тес 1 е 2 (2.17) г 4пво г2 Воспользуемся теперь соотношением неопределенностей Гейзенберга. Будем считать, что неопределенность координаты электрона Лх равна радиусу орбиты г, а неопределенность импульса Ьр не превышает самого значения импульса р, т. е. Ьр = р = тп. В этом случае соотношение (2.16) принимает вид л гт и> —. е 2 (2.18) Объединяя (2.17) и (2.18), получаем 2 г> — -0,13 10 м.
паол -ю тее 95 В то же время не существует никаких принципиальных ограничений на точность определения координаты и проекции импульса на другую координатную ось, например: Лх и Ьр, или Ьу и Ьр„или Ьг и Ьр„. В квантовой механике, учитывающей волновые свойства частиц, соотношение неопределенностей Гейзенберга имеет фундаментальное значение. С его помощью можно получать важные физические результаты, а также проводить численные оценки, не прибегая к точному, иногда достаточно трудоемкому, решению квантово-механической задачи.
Так, соотношение неопределенностей (2.16) позволяет понять, почему электрон в атоме не падает на ядро, почему электрон не может входить в состав атомного ядра, а также сделать ряд других физически значимых выводов. Это соотношение дает возможность оценить порядок размера атома, минимальной энергии электрона в атоме и получить другие важные оценочные результаты.
Покажем, каким образом соотношение неопределенностей позволяет сделать вывод об устойчивости атома. Рассмотрим атом водорода и будем считать, что электрон движется вокруг ядра (протона) по круговой орбите радиуса г со скоростью с. Поскольку движение электрона по орбите происходит под действием кулоновской силы, то, согласно второму закону Ньютона, Следовательно, радиус орбиты электрона, т. е. радиус атома не может быть меньше найденного значения.
Отсюда следует, что электрон не может упасть на ядро, т. е. атом является устойчивым образованием. Соотношение неопределенностей позволяет также очертить границы применимости классической механики. Чтобы продемонстрировать это, перепишем соотношение (2.16) так, чтобы в него явно входила масса частицы и. Подставляя в (2.16) Ьрх = иЬсх, получаем /1ох— й 2иЬх (2.19) Поскольку постоянная Планка очень мала (й =1,055.10 ~,Цж с), неопределенность скорости Ьох может иметь заметное значение лишь для частиц с очень малой массой, находящихся в области очень малых размеров Лх. Возьмем в качестве примера малую, но макроскопическую частицу — пылинку, масса которой т = 10 кг. Разумной погрешностью определения координат этой пылинки будем считать Ах=10 м.
В этом случае неопределенность скорости пылинки Ьпх - 10 м/с, что на много порядков меньше погрешностей из- -22 мерений, достигаемых на лучших экспериментальных установках. Таким образом, при описании движения пылинки, как и вообще макроскопических тел, необходимо пользоваться не квантовой, а классической механикой. Посмотрим теперь, что дает соотношение неопределенностей Гейзенберга в случае микрочастицы, например электрона в атоме: масса электрона и = 0,91 10 зо кг, неопределенность его координаты примем равной размеру атома Лх 10 1о м.
В этом случае Ло, — 10 м/с. Сравним полученное значение со скоростью электрона в атоме. Электрон в атоме имеет энерппо порядка 10 эВ, что соответствует скорости электрона о — 10 м/с . Следовательно, неопределен- 6 ность скорости электрона Ло, сравнима со скоростью электрона о. Это означает, что для описания поведения электрона в атоме необходимо пользоваться законами квантовой механики. Хак будет показано в 3.7, кроме координат и проекций импульсов существуют другие пары физических величин, которые не могут быть измерены одновременно точно и для которых выполняются соотношения неопределенностей, аналогичные соотношениюю (2.16).
Особо следует выделить соотношение, которое называется соотношением неопределенностей для энергии и времени: (2.20) Здесь ЬŠ— неопределенность энергии системы, т. е. разность двух измерений энергии системы, проведенных в два различных момента времени, отличающихся на Лк Более детальное рассмотрение процесса измерения энергии показывает, что неопределенность энергии системы обусловлена влиянием на систему измерительного прибора, с помощью которого проводится измерение энергии. Из соотношения (2.20) следует, что в квантовой механике, учитывающей наличие у частиц волновых свойств, закон сохранения энергии системы может быть проверен посредством двух измерений лишь с точностью порядка Л/~М, где Лг — интервал времени между измерениями.
Соотношение (2.20) можно рассмотреть и с иной точки зрения, применив его к системе, имеющей "ограниченную продолжительность жизни" т, по истечении которой система распадается с испусканием фотонов или каких-либо других частиц, переходя в другое состояние. В этом случае соотношение (2.20) можно записать в виде (2.21) Отсюда следует, что энергия способной к распаду системы может быть определена лишь с точностью порядка л/т, где т— время жизни нестабильной системы.
В таком виде соотношение (2.21) позволяет оценить конечную ширину энергетического уровня системы. Выводы, следующие из соотношения неопределенностей (2.21), можно наблюдать в эксперименте, например в атомной спектрос- 1, копии. Хорошо известно, что лиотн.ед. нни в спектре излучения атомов не являются бесконечно узкими — это соответствовало бы значению неопределенности ЛЕ=О, 0,5 т. е. точно определенной энергии кванта излучения. Спектральные линии, наблюдаемые в эксперименте, имеют конечную, так на- 0 зываемую естественную ширину линии Г, которая представляет собой разброс значений энергии фотонов относительно некоторого среднего значения, характеризующего центр линии (рнс. 2.18). Из (2.21) следует, что эта ширина связана с временем жизни атома в возбужденном состоянии т соотношением 1,0 Рис. 2.18. Качественный вил формы линии в спектре излучения атомов (2.22) Измеряя естественную ширину спектральных линий Г, можно с помощью (2.22) найти время жизни атома в том или ином возбужденном состоянии.
Так, естественная ширина линии, которая измерена в спектре атомов, излучающих в видимом диапазоне, имеет значение порядка 10 эВ. Подставляя это значение в (2.22), находим, что время жизни атома в возбужденном состоянии т =10 с. Более подробно вопрос об уширении спектральной линии атомов рассмотрен в 5.2. Следствия из соотношения неопределенностей. Обсудим следствия, вытекающие из соотношения неопределенностей (2.16).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
