Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 11
Текст из файла (страница 11)
При каком значении кинетической энергии Е„частицы погрешность определения длины волны де Бройля ло нерелятивистской формуле не превышает значения е = 1 % 7 Решите задачу: а) для электрона; б) для протона. Решение. Относительная погрешность е определения длины волны де Бройля по иерелативистской формуле с учетом (2.6) и (2.7) имеет вид ! Лв — Лв Ек е= 2 Лв 2тес 7' Выражая отсюда Е„как функцию е, получаем 68 Так как по условию задачи в = О, 01«1, то, используя разложение в ряд Тэйлора, находим, что 11 — а) =1+2е.
С учетом этого получаем Е„1а) = 2атос' 2а = 4ашос' =4аЕо, где Ес = асс — энергия покоя частицы. з Поскольку энергия покоя электрона Ес = 0,511 МэВ, то находим, что для электрона Е„= 20,4 кэВ. Это означает, что при кинетической энергии электронов вплоть до Е„= 20,4 кэВ погрешность определения Хв по нерелятивистской формуле не будет превышать 1 %. В физическом эксперименте ускорение заряженных частиц осуществляется, как правило, в электрическом поле. Проходя ускоряющую разность потенциалов У, электрон приобретает кинетическую энергию Е„= еУ. Для того чтобы кинетическая энергия электрона была равна найденному нами значению Е„= 20,4 кэВ, он должен пройти ускоряющую разность потенциалов У = 20,4 кВ.
При меньшем значении У относительная погрешность определения дебройлевской длины волны Хв по нерелятивистской формуле (2.6) будет заведомо меньше 1 %. Поскольку энергия покоя протона Ес = 938,2 МэВ, то кинетическая энергия, при которой погрешность определения дебройлевской длины волны протона не превышает 1 %, Е„= 37,5 МэВ. Задача 2.2. На какую кинетическую энергию должен быть рассчитан ускоритель заряженных частиц с массой покоя шс, чтобы с их помощью можно было исследовать структуры с линейными размерами 1? Решите задачу для электронов и протонов в случае 1=10 '~м, что соответствует характерному размеру атомных ядер.
Решение. Для того чтобы с помощью частиц можно было исследовать структуры с линейными размерами 1, необходимо, чтобы дебройлевская длина волны этих частиц забыла меньше или порядка 1, т. е. Хк ~ 1. Поскольку данное в условии задачи значение 1 очень 69 мапб, то ясно, что иметь длину волны де Бройля, сравнимую с 1, может только быстрая, релятивистская частица.
Пользуясь выражением для длины волны де Бройля релятивистской частицы (2.7), получаем 2яй (1, Е„ 2лгос Данное неравенство можно привести к следующему виду: г Е„+2глос ń— лгс с — >О, г г ггЛк 1' 2яа где Л» = — — комптоновская длина волны частицы. Решая это лгас неравенство, находим, что Е„>лгас 1++-1 . Поскольку комптоновская длина волны электрона Лк — — 2, 43 10 1г м, Лк то — » 1 . С учетом этого условия для энергии электронов получаем Е„> глсс —.
г Лк Подставляя численные значения, находим, что Е„~ 1, 2 ГэВ . Электроны, ускоренные до таких энергий, использовались в экспериментах по изучению размеров и структуры ядер, а также структуры частиц, образующих ядра, — протонов и нейтронов (см. 2.4). Комптоновская длина волны протонов Лк — — 1,32 10 '~ м. С учетом этого получаем, что ускоритель протонов должен быть рассчитан на энергию Е„> 0,6 ГэВ. 2.2. Экспериментальные подтверждения гипотезы де Бройля Критерием истинности любой физической теории, любой гипотезы всегда является эксперимент. Необходимость экспериментальной проверки гипотезы де Бройля была тем более актуальна, 70 что, во-первых, эта гипотеза касалась глубинных, фундаментальных свойств материи, а во-вторых, наличие у частиц волновых свойств не соответствовало традиционным представлениям классической физики, Первые экспериментальные исследования, подтвердившие волновую природу частиц, были выполнены американскими физиками К.
Дэвиссоном и Л. Джермером в 1927 г., а также независимо английским физиком Дж. П. Томсоном и советским физиком П.С. Тартаковским в 1928 г. В этих работах использовалась дифракция электронов на кристаллической решетке. Прежде чем перейти к подробному описанию этих экспериментов, отметим следующее. Как уже обсуждалось выше, дебройлевская длина волны электрона при не очень большом значении ускоряющей разности потенциалов (-100 В) имеет порядок 10 м.
Расстояние между атомными плоскостями в кристалле имеет такой же порядок. Поэтому, так же как и в случае рентгеновского излучения, кристалл может играть роль дифракционной решетки для электронных волн. Рассмотрим дифракцию электронов на совершенном кристалле, т. е. кристалле, обладающем идеальной, без каких-либо нарушений кристаллической решеткой. Электроны с дебройлевской длиной волны Хв могут дифрагировать на различных атомных плоскостях (рис. 2.1, а), выбор которых осуществляется взаимной ориентацией падающего пучка электронов и рассеивающего кристалла. Пусть электроны падают на кристалл под углом скольжения 0 по отношению к рассеивающему семейству плоскостей. Для простоты рассмотрим симметричный случай (рис. 2.1, б), когда поверхность кристалла С параллельна рассеивающим плоскостям, хотя на практике это условие далеко не всегда выполняется.
Тогда угол 0 будет углом скольжения, под которым электроны падают на поверхность кристалла, а 13 = я — 20 — углом между падающим и дифрагирующнм пучками электронов. Теоретический анализ дифракции электронов на кристаллах во многом аналогичен анализу дифракции рентгеновского излучения. При значении угла О, удовлетворяющем условию Брэгга — Вульфа 2И з(п 0 = нХь, (2.10) возникает интенсивный дифракцнонный максимум отраженной волны.
Здесь д — расстояние между отражающими плоскостями 71 (постоянная решепси кристалла); Π— брэгговский угол; п — целое число, принимающее значения 1, 2, 3, ..., называемое порядком отражения. Ряс. 2Л. Дифракцил электронов на совершенном кристалле: а — отражение от различных атомных плоскостей; б — отражение от одного семейства плоскостей Физический смысл условия Брзгга — Вульфа (2.10) достаточно прозрачен: дифракционный максимум появляется в тех случаях, когда разность хода волн, отраженных от соседних атомных плоскостей, равна целому числу длин волн де Бройля. Именно в этом случае отраженные волны усиливают друг друга, т. е.
имеет место конструктивная интерференция. Отметим, что условие (2.10) получено без учета преломления электронных волн в кристалле. С учетом преломления условие Брэгга — Вульфа принимает вид 2г( и -сов О=иХй, 2 2 (2.11) где и, — показатель преломления электронных волн в кристалле (см. задачу 2.3). Опыт Дзвиссона и Джермера. К.
Дзвиссон и Л. Джермер исследовали дифракцию электронов на монокристалле никеля (рис. 2.2.), кристаллическая структура которого была известна из опытов по дифракцни рентгеновского излучения. Электроны от электронной пушки 5, прошедшие ускоряющую разность потен- 72 циалов У, падали нормально на сошлифованную поверхность кристалла никеля С. С помощью детектора й исследовалось число электронов, отраженных от кристалла под углом ~3 при различных значениях У. Напомним, что разным значениям У, согласно (2.8), соответствуют разные дебройлевские длины волн электронов. Кристаллическая решетка в опыте Дэвиссона и Джермера играла роль объемной отражательной дифракционной решетки, и с точки зрения гипотезы де Бройля увеличение амплитуды отраженной волны при выполнении условия Брэгга — Вульфа (2.10) означало существенный рост вероятно- Рис.
2.2. Схема опыта сти отражения электронов, что и при Дэвнссона н Джермера водило к наблюдаемому увеличению числа отраженных от кристалла электронов. Результаты экспериментальных исследований Дэвиссона н Джермера представлены на рис. 2.3. Здесь приведены полярные диаграммы интенсивности отраженных электронов при нескольких значениях ускоряющей разности потенциалов У. При У = = 44 В дифракционный максимум под углом р = 50 только начинает формироваться, при У = 54 В он достигает максимальной интенсивности, а при дальнейшем возрастании У ошпь ослабляется вплоть до полного исчезновения.
В опытах Дэвиссона и Джермера максимальное отражение электронов наблюдалось при ускоряющей разности потенциалов 1) = 54 В, что соответствует дебройлевской длине волны Хв — — — — 0,167 нм. 2ял ~/2и~~еУ Длина волны, определяемая из условия Брэгга — Вульфа (2.10) длЯ постоЯнной Решетки никелЯ И = 2,15 10 м, РавнЯлась Хв = = 0,165 нм. Это совпадение экспериментальных и расчетных зна- 73 чений Хв служит прекрасным подтверждением гипотезы де Бройля о наличии у часпщ волновых свойств. А =0,185 нм 0,177 нм 0,167 нм 0,153 нм 0,149 нм 0=44 В 48 В 54 В 64 В 68 В Рис. 2.3. Динамика дифракционного отражения электронов при изменении ускоряющей разности потенциалов У Дэвиссоном и Джермером была также измерена интенсивность дифрагирующих электронов при фиксированном угле отражения ~3 (постоянном угле скольжения О) в зависимости от ускоряющей разности потенциалов У. Результаты этого опыта приведены на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
