Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Х Согласно гипотезе де Бройля, свободной частице с энергией Е и импульсом р, движущейся вдоль оси х, соответствует плоская волна Ч'(х, г) = Аехр — (Ег — рх), (2.3) б2 тромагнитного излучения. Естественно было ожидать, что подобная двойственность может не ограничиваться только оптическими явлениями. В 1924 г. французский физик Луи де Бройль выдвинул смелую гипотезу, согласно которой корпускулярно-волновой дуализм имеет универсальный характер.
По гипотезе де Бройля, каждая материальная частица обладает волновыми свойствами, причем соотношения, связывающие волновые и корпускулярные характеристики частицы, остаются такими же, как и в случае электромагнитного излучения. Напомним, что энергия Е и импульс рф фотона связаны с круговой частотой оз и длиной волны Х соотношениями (1.31), (1.43): Е=йо~ рф —- кй=2пйЯ. Согласно гипотезе де Бройля, свободно движущейся частице, обладающей энергией Е и импульсом р, соответствует волновой процесс, частота которого распространяющаяся в том же направлении и описывающая волновые свойства частицы. Эту волну называют волной де Еровля. Соотношения, связывающие волновые и корпускулярные свойства частицы, (2.4) Е=йоЬ р=М, где р — импульс частицы, а К вЂ” волновой вектор, получили название уравнений де Бройля.
Свойства волн де Бройля. Рассмотрим свойства, которыми обладают волны де Бройля. Прежде всего следует отметить, что волны материи — волны де Бройля — в процессе распространения могут отражаться, преломляться, интерферировать и дифрагировать по обычным волновым законам. Найдем фазовую скорость волны де Бройля оф, т. е. скорость, с которой распространяются точки волны с постоянной фазой. Пусть частица движется вдоль оси х, тогда условие постоянства фазы волны (2.3) имеет вид Ег — рх = сопзк Дифференцируя это соотношение, находим йх Е оф пг р Поскольку Е=тс, а р=ив, где ж — релятивистская масса 2 частицы, а и — ее скорость, то для фазовой скорости волны де Бройля получаем следующее выражение: (2.5) Так как и < с, то фазовая скорость волны де Бройля и~ оказывается больше скорости света в вакууме с.
Это не противоречит теории относительности, которая запрещает движение со скоростью, большей скорости света. Ограничения, накладываемые теорией относительности, справедливы лишь для процессов, связанных с переносом массы или энергии. Фазовая скорость волны не характеризует ни один из этих процессов, поэтому на ее величину не накладывается никаких ограничений. 63 Найдем теперь групповую скорость и, волны де Бройля. По определению, Преобразуя это выражение, получаем а(йю) ,ж 4~(М) ИР Связь между энергией Еи импульсом р частицы, согласно теории относительности, определяется соотношением Е =р с + 2 2 2 +тес, где то — масса покоя частицы.
Дифференцируя это вы- 2 4 ражение, находим 2ЕйЕ=2рс Нр, нли йЕ рс Ир Е Таким образом, рс рс р 6 = — = — = — =с гР Е шс2 т т. е. групповая скорость волны де Бройля о„р равна скорости движения частицы и. Расчет длины волны де Бройля ХН для нерелятивистских и релятивистских частиц. Получим выражение для длины волны де Бройля Хв частицы,обладающейкннегическойэнергией Е„.
В случае нерелятивистской частицы, скорость которой о «к с, юоо р Е„= — = —. 2 2льэ Тогда, согласно соотношению (2.2), 2пй 2лй Р,/2т~Е (2.6) В случае релятивистской частицы, когда скорость частицы о сравнима со скоростью света в вакууме с, связь между импульсом и кинетической энергией частицы определяется соотношением Р = Ек ~Ек+ 2юос ) = ~2т~Ек 1+ с 2в~с Подставляя это выражение в (2.2), получаем, что в случае реляти- вистской частицы (2.7) ,~2~Я, 1+ Е„ Е„ 2юос 2тос 2кл 2кл ,~2щЕ„~2т~еУ (2.8) Подставляя в (2.8) численные значения констант, получаем Х =~ — '10 м. Г50 4 ю Б Длина волны де Бройля Хн микро- и макрообъектов.
Чтобы более отчетливо представить себе порядок дебройлевских длин волн микрочастиц, найдем длину волны де Бройля электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов У. Для определенности будем считать электрон нерелятивистским. В этом случае, согласно выражению (2.6), Таким образом, при значении ускоряющей разности потенциалов от десятков вольт до нескольких киловольт дебройлевская длина волны электрона имеет порядок 10 м. Напомним, что размеры атомов, а также расстояние между атомами и молекулами в твердых телах имеют тот же порядок — 10 ~ м. Вычислим теперь длину волны де Бройля у макроскопического, но достаточно малого объекта — пылинки, масса которой т = 10 г, аскорость с = 1 ммlс. Используя соотношение (2.2), $ получаем 2лА 6 6 10 =6 6 10 22 м Б с 10-9.10-3 Найденная длина волны значительно меньше не только размеров самой пылинки, но и наименьшего известного в физике размера— радиусаатомногоядра,порядоккоторого 10 ~ м.
Поскольку никакого принципиального различия между микрон макрообъектами не существует, то возникает вопрос: в каких случаях волновые свойства играют решающую роль в поведении частицы, а в каких случаях они оказываются несущественными и их можно не учитывать? Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся аналогией с оптикой.
Как известно, волновая природа излучения максимально проявляется в тех случаях, когда длина волны излучения Х сравнима с характерными размерами системы 1., т. е. Х - Ь. Если же Х ск Ь, то волновые свойства излучения становятся несущественными и можно пользоваться геометрической, или лучевой, оптикой. В силу аналогии, существующей между механическими и оптическими явлениями, классическая ньютоновская механика соответствует геометрической оптике, а квантовая, или,'как ее еще называют, волновая механика, — волновой оптике. Таким образом, волновые свойства частиц будут наиболее ярко проявляться в тех случаях, когда дебройлевская длина волны частицы сравнима с характерными размерами области движения частицы Ь, т. е. Хв- 1..
Напомним, что в первом из разобранных выше примеров дебройлевская длина волны электрона Хв, размеры атома и рас- стояние между атомами в кристалле имеют один н тот же порядок. Следовательно, при взаимодействии электронов с атомами, а также при нх движении в твердых телах волновые свойства электронов будут проявлятъся максимальным образом. В тех же случаях, когда Хв к Е, как, например, для рассмотренной выше пылинки, волновые свойства частицы становятся несущественными, и для описания движения таких объектов необходимо пользоваться законами классической механики.
Этот вопрос более подробно разобран в задаче 2.5. Преломление электронных волн в металле. Как известно, на электрон, находящийся в металле, действует электрическое поле, создаваемое положительно заряженными ионами, которые расположены в узлах кристаллической решетки. Это поле, вообще говоря, периодически меняется внутри металла. Усредненное по объему металла значение потенциала этого поля ~ро называется внутренним потенциалом металла.
Для того чтобы вырвать электрон из металла, нужно затратить энергию, равную работе выхода А„которая связана с щ соотношением А, =ефо. Если же электрон попадает в металл извне, то его энергия возрастает на величину, равную работе выхода. При этом изменяются фазовая скорость и дебройлевская длина волны электронных волн, т. е. на поверхности металла электронные волны испытывают преломление. Пусть электрон падает на металл из вакуума, тогда показатель преломления и электронной волны равен отношению фазовой скорости дебройле вской волны электрона в вакууме ифь к фазовой скорости волны в металле м . в м юф„. 'и, миф, lиф, .
Используя соотношение (2.5), получаем 2(в м пе = 2~м в' где га — скорость электрона в вакууме; им — скорость электрона в металле. Пусть первоначально электрон обладал кинетической энергией Е„, тогда кинетическая энергия электрона в метал- 67 ле будет равна Е„+ А,.
Используя классическую связь между ско12Ек ростью и кинетической энергией частицы о = — ", получаем шо л= " '= 1+ — ~. Выражая кинетическую энергию электрона через ускоряющую разность потенциалов У, а работу выхода электрона из металла через внутренний потенциал ~ро, приходим к следующему выражению для показателя преломления электронных волн: (2.9) л,= ~ 1+ — = ~1+ —. ~1 е0 1~ У Согласно (2.9), показатель преломления л, может заметно отличаться от единицы лишь в случае электронов низких энергий (медленных электронов), для которых разность потенциалов У не слишком велика по сравнению с <ро. В случае электронов высоких энергий (быстрых электронов) У ъ <ц и и, лишь незначительно отличается от единицы. Задача 2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
