Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Согласно формуле классической механики, определяющей момент импульса частицы как вектор Х = г х р, запишем выражения для его проекций на коорди- .(. а а1 Е,„= — (й яшар — +сгйвсоз<р —, ав ар!' а . а1 Е =-й~ сову — — с188з1п<р — ), ав ар!' (3.36) 9, а " 2 ар ' Здесь 1 д(. д) 1 д аш8 дВ(, дв! з(п2 8 а(рг угловая часть оператора Лапласа в сферической системе координат. 4. Операторы энергий. Классическая формула связи кинетической энергии частицы с квадратом ее импульса Е„= р~/(2то) позволяет записать аналогичное соотношение между соответствующими операторами.
Поэтому 2 82 Е = — = — А 2то 2гпо (3.37) Если частица движется в стационарном силовом поле и ее потенциальная энергия у =у(х, у, г) определена в любой точке пространства, то оператор потенциальной энергии у определяется как оператор умножения на функцию у, т. е. О ч=и ч 0=и. (3.38) 135 прямоугольной, а в сферической системе координат (г, 8, у). Переходя от декартовых координат к сферическим по обычным правилам замены переменных х= гз(пвсоз<р, у ч гз(пвз)ну, г=гсозв, формулы (3.34) и (3.35) преобразуем к следующему виду: Так как полная энергия частицы в классической механике есть сумма кинетической и потенциальной энергий, то в квантовой механике оператор полной энергии Н определяется как сумма операторов кинетической и потенциальной энергий. Поэтому 2 Й = е„+ Й = — + У.
2то Подставляя выражение для оператора квадрата импульса из фор- мулы (3.33), запишем оператор полной энергии как й2 Н = — Ь+У(», у, ~). 2то (3.39) . ач й — = НЧ'. дг (3.40) Заметим, что формула (3.39) определяет гамильтоннан квантовой системы и в том случае, когда силовое поле является нестацинарным, т. е. У = У(х, у, я, г), а Г = — йгад У. Однако эту формулу нельзя применить, если на частицу действует сила, зависящая от скорости частипы. К такому типу сил относится, в частности, сила Лоренца, действующая на движущуюся в электромагнитном поле заряженную частицу. Если такое поле 136 В классической механике полную энергию частицы, выраженную через ее координаты и импульс, называют функцией Гамильтона.
Поэтому в квантовой механике оператор полной энергии Н называют оператором функции Гамильтона или просто гамильтонианом. Гамнльтониан Н является основным оператором квантовой механики, поскольку, выбирая конкретный вид гамильтониана с учетом силового поля, действующего на частицу, мы формулируем на математическом языке все особенности квантовой системы. Поэтому и основное уравнение нерелятивистской квантовой механики — уравнение Шредингера (3.8) — может быть записано в операторной форме, содержащей гамильтониан Н: характеризуется скалярным <р и векторным А потенциалами, то гамильтониан в уравнении Шредингера (3.40) следует записать в виде 1 ~2 И= — (р-дА) +7ф+и. 2то 1 Здесь д — заряд частицы„а векторный оператор А = А1х, у, г, г) и скалярный оператор ф=ср(х, у, г, г) являются операторами умножения на эти функции.
Физическое содержание операторного метода в квантовой механике накладывает определенные ограничения на возможный вид квантово-механических операторов. Пусть Ф вЂ” оператор физической величины 1. Тогда для любых функций Ч'1 и Ч'2 и произвольных постоянных С1 и С2 должно выполняться равенство Ф(С1Ч'1+ С2Ч'2) = С1ФЧ'1+С2ФЧ'2. 1341) Операторы, обладающие таким свойством, называются линейными операторами.
Свойство линейности операторов физических величин тесно связано с принципом суперпозиции квантовых состояний. Использование в теории линейных операторов не нарушает этого принципа. Оператором физической величины может быть только линейный самосопряженнмй (эрмитов) оператор. Такому оператору, как показано в 3.5, соответствует действительная (не комплексная) физическая величина. Самосопряженным называют оператор, который совпадает со своим сопряженным оператором. В этом случае для произвольных функций Ч'1 и Ч'2 тождественно выполняется следующее интегральное равенство ) Ч'1(ФЧ'2)~Л~ = ~ Ч'2(Ф'Р1) ей~. (3.42) 137 Таким образом, каждой физической величине в квантовой механике ставится в соответствие определенный линейный самосопряженный оператор.
Непосредственной проверкой можно убедиться, что все определенные выше квантово-механические операторы обладают такими свойствами. Задача 3.4. Проверьте условие самосопряжеииости оператора проекции импульса Р,. Решенне. Рассмотрим две нормированные волновые функции »Р~(х,г) и Ч'г(х,г), удовлетворяющие стандартным условиям регулярности и, в частности, условиям на бесконечности: Ч'ьг (-, г) = Ч', г (+, г) = О. С помощью интегрирования по частям находим, что + ) Чг~('" )ох= ах) = ~Ч'г~ 1" ) г(»= ~Ч г(Р Ч'ь) 4». Таким образом, мы доказали, что В соответствии с (3.42) это и доказывает для одномерного случая (%=1) самосопряженность оператора Р,. Для У=2 и Ф=З доказательство выполняется аналогично.
Задача 3.5. Определите г-проекцию оператора момента импульса Ц в сферической системе координат. 138 Ренвениа Используя формулы связи декартовой прямоугольной и сферической систем координат х=гвшесов<р, у=гяпев1п<р, г=гсове, запишем вытекаюшие нз них соотношения хз+уз+.2 =.2, хз+уз =гзв1пзе у=хЕр. Дифференцируя зти формулы, находим дг х . дг у — =-=.по р, — =-= пЕв1 р, дх г ' ду г д<р усов у япу ду сов у сову дх хз гвше' ду х гв1пе' дЕ ° .р.
Е де в1 р. Е а» ° ' ду Так как д дгд джорд дед — = — + — +— ах=аха. ахар ахав' а а. а ар а ае а + + Е,=В у — -х — =Й у — -х — — + 1, а ау3 ~~ а. ду3д. +у — — х — — +у — — х —— 139 Подставляя найденные значения производных, находим, что у — -х — = у — — х — =О, у — -х — = — 1. Следовательно, 3.5. Собственные функции и собственные значения операторов Основные свойства собственных функций. Значения, которые может принимать данная физическая величина у, называют в квантовой механике ее собственными значениями. Нахождение таких значений тесно связано с математической задачей определения собственных функций и соответствующих им собственных значений оператора Ф.
Если при действии оператора на некоторую функцию получается таже самая функция, умноженная на число, т. е. если (3.43) ФЧ' = ~Ч', то такую функцию называют собственной функцией оператора Ф, а число у — его собственным значением. Квантово-механические операторы имеют не одну, а множество собственных функций и соответствующих им собственных значений. При этом совокупность собственных значений называют спектром оператора.
Спектр оператора Ф считается дискретным, если он состоит из счетного множества значений ~'„для и = 1, 2, ..., соответствующих набору собственных функций Ч'„, которые представляют собой регулярные решения уравнения вида (3.44) ФЧ'„=~'„Ч'„, л=1, 2, Спектр собственных значений оператора может быть либо непрерывным, когда в (3.43) 7" может принимать все возможные значения, либо состоящим из отдельных полос (интервалов), таких, что значения 7" лежат в ряде интервалов. В некоторых случаях одному собственному значению 7"„оператора Ф принадлежит не одна, а несколько собственных функций Ч'м,Ч'„з, ...,Ч'„~.
Такие случаи называются вырожденными, а число Й таких функций называется кратностью вырождения. Из (3.43) следует, что собственные функции, вообще говоря, определены с точностью до некоторой постоянной, значение которой обычно выбирают из условия нормировки собственных функций. Докажем, что собственные числа операторов физических величин в квантовой механике всегда являются действительными числами и зто свойство обусловлено самосопряженностью операторов. Действительно, пусть Ф вЂ” самосопряженный оператор, а Ч' — его собственная функция, соответствующая собственному значению 7".
По определению, функция Ч' является решением уравнения ФЧ' = 7" Ч'. (3.45) Выполнив операцию комплексного сопряжения, получим (3.46) Если в соотношении (3.42), которое для самосопряженного оператора выполняется тождественно, положить Ч'1 = Ч'з — — 'Р, то в результате получим интегральное соотношение ~ Ч' (ФЧ')сКУ = ~ Ч'(ФЧ') Н~, (3.47) 141 которое с учетом (3.45) и (3.46) можно преобразовать к виду (3.48) Отсюда следует, что г" =,г", т. е собственные значения самосопряженных операторов всегда являются действительными числами.
Докажем важное свойство ортогональности собственных функций квантово-механических операторов. Пусть Ч'„и Ч'„,— две собственные функции самосопряженного оператора Ф, соответствующие различным собственным значениям г"„и ~„, тогда они являются решениями следующих уравнений: (3.49) ФЧ'„= ~'„Ч'а и ФЧ' = ~' Ч' Условие (3.42) самосопряженности оператора Ф, записанное для функций Ч'„н Ч'„„принимает вид Ч~а (ФЧ е)~1У ~ Ч~т~ФЧ~е) 'Л~ (350) Отсюда с учетом (3.49) получаем Хи ~ Ч'е Ч'иФ~=Ул ~ Ч'фиЧ'л сЛ' (351) дл зн Так как для самосопряженного оператора ~, = ~,, то (3.51) можно преобразовать к виду (3.52) 142 Если л-ст, то ~„Ф~„, и из (3.52) получаем условие ортогональностн собственных функций, соответствующих различным собственным значениям: ~Ч'л Ч'еФ'=О, п~гп.
ул (3.53) Если волновые функции Ч'„и Ч'„, считать нормированными на единицу, то условие ортогональности (3.53) собственных функций может быть записано как условие ортонормированности ~Ч„"Ч' Л =Ь„, зн (3.54) гдесимволКронекера Ь„=О при л~т и Ь „=1 при л=иь Математическая теория линейных самосопряженных операторов доказывает, что система собственных функций квантовомеханических операторов является полной системой функций. Это означает, что всякая волновая функция Ч', определенная в той же области переменных, что и собственные функции оператора, может быть разложена по собственным функциям, т.
е. представлена в виде ряда (3.55) ~ Ч' Ч'сЛ1=~ С„~ Ч' Ч'„=~~) С„Ь =С . (3.56) 143 Коэффициенты этого разложения (в общем случае комплексные) можно определить, воспользовавшись ортогональностью собственных функций. Для этого умножим ряд (3.55) на Ч",„и проинтегрируем по всему пространству. Тогда, изменив порядок суммирования и интегрирования, получим Отсюда, меняя обозначение и на л, получаем формулу для определения коэффициентов С„в разложении (3.55): (3.57) Если оператор Ф имеет непрерывный спектр собственных значений г", лежащих в интервале Г, то в разложении любой волновой функции по собственным функциям суммирование переходит в интегрирование.
Поэтому (3.58) и непрерывное множество коэффициентов Су определяется по формуле (3.59) Спектры собственных значений квантово-механических операторов. Физическое содержание проблемы нахождения собственных значений квантово-механнческих операторов, которое будет рассмотрено в 3.6, обусловливает принципиально важную роль в квантовой механике этой на первый взгляд чисто математической задачи. Рассмотрим несколько таких задач о нахождении спектров собственных значений операторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
