Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Представление квантовой механики в матричной форме позволяет формулировать уравнения квантовой механики так, что в них не фигурирует волновая функция, а сами уравнения по форме совпадают с уравнениями классической механики, но с тем принципиальным отличием, что в этих уравнениях классические физические величины заменены соответствующими матрицами. В некоторых случаях при решении задач квантовой механики матричная форма уравнений оказывается даже удобнее операторной. Но в нашем курсе при решении задач квантовой механики будет рассматриваться только операторная форма с использованием волновой функции и волнового уравнения Шредингера. Примеры решения некоторых задач квантовой механики с матричной формой уравнений можно найти в учебниках по теоретической физике.
4. СТАЦИОНАР'НЫЕ ЗАДАЧИ КВАНТОВОИ МЕХАНИКИ Особенности движения микрочастиц в тех или иных силовых полях можно выявить, рассматривая стационарные состояния— состояния, в которых полная энергия частицы остается постоянной. В этом случае плотность вероятности пребывания частицы в какой-либо точке пространства не зависит от времени. Волновая функция, описывающая стационарное состояние частицы, является решением уравнения Шредингера для стационарных состояний. При движении частицы в ограниченной области пространства, например в случае, когда частица находится в потенциальной яме и не может уйти на бесконечность, ее энергетический спектр оказывается дискретным, т.
е. энергия частицы квантуется. В случае, когда частица может уйти на бесконечность, она обладает непрерывным энергетическим спектром. Квантование энергии наиболее ярко проявляется для атомных систем, т. е. систем, размеры и массы которых чрезвычайно малы. Решение стационарных задач квантовой механики позволяет получить ряд интересных физических результатов, не имеющих классических аналогов. В частности, это относится к туннельному эффекту — явлению, заключающемуся в прохождении квантовой частицы через потенциальный барьер, высота которого превышает полную энергию частицы.
В настоящее время устройства, в котоРых используется туннельный эффект, широко применяются в научных исследованиях и технических приложениях: туннельный диод, лампа с холодным катодом, сканирующий туннельный микроскоп и т. д. 4 1 Уравнение Шредингера для стационарных состояний Основным уравнением нерелятивистской квантовой механики является временнбе уравнение Шредингера 169 .
ЭЧ' (л — = ЙЖ, дг (4.1) Ч'(х, у т е) = Чу(х, у, х)фю), (4.2) одна из которых — Чг(х, у, х) — зависит только от координат, а другая — фг) — только от времени. Подставив волновую функ- цию (4.2) в уравнение (4.1) и разделив затем обе части уравнения на у(х, у, з)у(г), получим (л байр 1 — = — Нц. чз аг Ч/ (4.3) 170 ,г где Й = — Л+ У(х, у, я, г) — оператор полной энергии частицы г, (гамильтониан). Это уравнение позволяет найти волновую функцию Ч'(х, у, з, г) как функцию координат и времени, определить плотность вероятности нахождения частицы в любой точке пространства в любой момент времени и тем самым полностью описать квантовое состояние частицы, движущейся в силовом поле.
В квантовой механике существует класс задач о движении в силовых полях, для которых силовая функция У(х, у, х, г) не зависит явно от времени, т. е. У(х, у, с, г) жУ(х, у, х). Такие силовые поля называются стаиионарными силовыми волями. В этом случае силовая функция 0(х, у, а) имеет смысл потенциальной энергии частицы. В стационарных полях квантовая система может находиться в состояниях с определенным значением энергии Е.
Эти состояния называются стационарными состояниями, а задачи о движении частиц, находящихся в таких состояниях, — стаиионарными задачами квантовой механики. Именно стационарные состояния квантовых систем и будут рассмотрены в этой главе. Найдем общий вид волновой функции, соответствующей стационарному состоянию. Поскольку оператор Н в уравнении (4.1) не зависит явно от времени, то волновую функцию Ч'(х, у, я, г) следует искать в виде произведения двух функций (4.4а) (й — = Е~р. , И<р с(1 (4.4б) Уравнение (4.4а) определяет собственные значения и собственные функции оператора полной энергии (гамильтоннана) Й.
Следовательно, константа Е представляет собой не что иное, как полную энергию квантово-механической системы. Перепишем уравнение (4.4а) с учетом вида оператора Й: й2 М+ ПЧ = Е1г' г, (4.5) д2 д2 д2 где Ь= †+ †— оператор Лапласа. Уравнение (4.5) дх2 ду2 д 2 называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. Его решения — функции цг(х, у, т) и соответствующие значения энергии Š— определяются конкретным видом потенциальной энергии частицы у(х, у, г).
Часто уравнение Шредингера для стационарных состояний записывают в следующей форме: Му+ — (Š— (ГК = О. г, й2 (4.6) Перейдем теперь к анализу временнбй функции фг). Решение уравнения (4.4б) имеет вид 171 В уравнении (4.3) левая часть зависит только от времени, а правая — только от координат. Выполнение этого равенства возможно лишь в том случае, если левая и правая части уравнения равны постоянной величине, обозначим ее буквой Е. Таким образом, из (4.3) получаем два уравнения (одно — для функции ы(х, у, г), а другое — для функции ~р(1)): где ~йз — некоторая константа. Без потери общности можно положить уо —— 1, так как в выражение (4.2), определяющее общий вид волновой функции, входит также функция у(х, у, т), задавае- мая с точностью до произвольного множителя.
Таким образом, волновая функция частицы, находящейся в стационарном квантовом состоянии, имеет вид ,Е -~ — Е Ч'(х, у, е, г)=у(х, у, г)е " =ц~(х, у, т)е '~. (4.8) .Е в=)Ч'(х, у, з, е)~ =~Ч/(х, у, г)! е Е Е =~у(х, у, з)~ е " е ~ =~Ч/(х, у, ~)~ . (4.9) Можно показать, что в стационарных состояниях от времени также не зависят вектор плотности потока вероятности и средние значения физических величин. С учетом соотношения (4.9) условие нормировки волновой функции 172 Из (4.8) следует, что волновая функция стационарного состояния гармонически изменяется со временем к Частота этого изменения и=Е(й. Данный результат показывает, что соотношение де Бройля Е = ла, первоначально применявшееся в случае свободного движения частицы, справедливо также и в случае движения частицы в произвольном стационарном силовом поле.
Важно отметить, что для стационарных состояний плотность вероятности местонахождения частицы не зависит от времени. Действительно„ для таких сОстОяний принимает внд (4.10) Координатную часть волновой функции чг(х, у, 2) в стационарных задачах часто называют просто волновой функцией, учитывая, что зависимость от времени определяется соотношением (4.8). Задача 4.1. Покажите, что в стационарном состоянии среднее значение физической величины, оператор которой не зависит явно от времени, остается постоянным. Решение. Рассмотрим физическую величину а, оператор которой А не зависит явно от времени. Среднее значение (а), согласно (3.75), определяется из выражения (а) = ) Ч' (х, у, ж г)АЧ'(х, у, х, г)лт'. С учетом вида волновой функции (4.8) получаем х( з1 (а) = ~ Чг(х, у, т) е" Ачг(х, у, х) е ~ о'т'.
Так как оператор А явно от времени не зависит, то временной мно- ,Е -г — Р житель е " можно вынести из-под знака оператора (а) = ) у(х, у, т) е " е " Ачг(х, у, т)~Ф. .Е Е ~' — с Поскольку е" е " =1, товитогеполучаем 173 (а) = ( у(х, у, г) Ау(х, у, г)НУ. ун Таким образом, среднее значение величины а остается неизменным во времени. Задача 4.2. Докажите, что если частица находится в стационарном состоянии и имеет дискретный энергетический спектр, то среднее значение проекции ее импульса (р,) равно нулю. Решение проведите для одномерного случая ( М = 1) .
Решение. Докажем сначала, что операторы координаты х, проек- ции импульса р, и гамильтониан Й связаны следуюшим комму- тационным соотношением: [Н,х1= — ™ р„. шо Подействуем коммутатором ~Й, х1 на некоторую функцию у я а~ [Й, х1~г = Й (хабр) — х(йь1г~ = — — (хэу)+ Ухч~- гшо ах ( Яг ат1у 1 Яг аг Я2 а2 — ( — — +и у~ = — —,( р)+ —, ( г,а,' ! г,а, г,а, аг а у аг1у Принимая во внимание, что — (ху) = 2 — + х —, получаем ах' дх ах' я' ( а у а'р') я' а' у 1Я Я а у 1Я . Й, х)'= — 2 — +х — + — х — = — — — =- — р Ч(, г , [ а ахг ) г , ах' , ах , х ' г- .з 1Я.
т. е. [Н, х~ = — р„. Отсюда следует, что 174 р„= — Г(Й, х1. Найдем теперь среднее значение проекции импульса (р„) в состоя- нии, описываемом волновой функцией у . Оио определяется как Подставляя сюда найденное выражение для оператора р„получаем (р„) = — г~ (чг*Йхч1-мр'хйв1) сь = — ~ (ц*Йхц- ч1'хйц) е(х. и' и' Учитывая эрмитовость оператора Й (см.(3.42)) и дискретность спек- тра энергии, находим, что (,,) =~ 1~.,(Я,)'-*;й,)..
и' Поскольку состояние частицы является стационарным, то Йч(=ец, а (Йщ) =(еу) =еа1*, Таким образом, (р,) = — ) ( халу* — хЕцц ) Их= О. и' 4.2. Частица в потенциальной яме с непроницаемыми стенками Рассмотрение стационарных задач квантовой механики начнем с наиболее простой для анализа задачи о движении частицы в потенциальной яме с непроницаемыми, т. е. с бесконечно высокими 175 х<0 У(х)= О, 0<х<а х>а т. е. внутри ямы (0 < х < а ) потенциальная энергия У(х) постоянна и равна нулю, а вне ямы обращается в бесконечность (рис. 4.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
