Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Поскольку их сумма равна постоянной величине, то это означает, что каждое из слагаемых также представляет собой постоянную величину, т. е. (2 у2(у) 2 11 г Ег Ч'г(у) (у2 «г с(~~/1(х) 2и~> 12 й2 + — Е1д1(х) =О, ( ) 2 + — Е2д2(у) = О, Ф2 т2 (4.22) решения которых были нами получены ранее (см. (4.17)). Функции у~(х) и у2(у) имеют вид Г2 . кл1х ц~ (х) = — яп —, ~' "1 1( а а 1 1 (у) = — яп —, 12, к2у а2 а2 ' где квантовые числа л1 и л2 принимают значения л1, л2 —— = 1, 2, 3, ...
В результате нормированная волновая функция частицы, находящейся в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, есть 4 . Лп|х . Кл2у Ч „(х, у) = — з(п — яп —, а1а2 а1 а2 0<х<а1, 0< у<а2, п1, л2 — — 1, 2,3, ... (4.23) Энергия частицы в двумерной яме описывается выражением 184 где Е~ и Е2 — константы„имеющие размерность энергии, причем Е1+Е2 = Е.
Таким образом, уравнение Шредингера для двумерной задачи разделяется на два одномерных уравнения , ив п2 — — 1, 2, 3, ... (4.24) Энергетический спектр частицы (4.24), как и следовало ожидать, является дискретным н записях от двух квантовых чисел и1 н п 2. Рассмотрим движение частицы в квадратной потенциальной яме, для которой а1 =а2 =а. В этом случае 2ь2 Е,„л = (п1 +п2 ), ппп2 — — 1,2,3, ... (4.25) 2тоа Отсюда следует, что одному и тому же энергетическому уровню Е, определяемому квантовыми числами и1 н и2, при лплз ' и, ~ и~ соответствуют два различных состояния частицы, описываемых волновыми функциями ж„, „и ж„з в,. Энергетический уровень, которому соответствует не одно, а несколько состояний частицы, называется вырожденным энергетическим уровнем, а число соответствующих ему состояний называется кратностью вырождения или степенью вырождения уровня.
В случае двумерной квадратной потенциальной ямы кратность вырождения энергетического уровня, для которого и1 ~ и2, равна двум. Энергетический уровень, которому соответствует одно состояние частицы, называется невырожденным. В двумерной квадратной потенциальной яме не вырожденными являются энергетические уровни, для которых и1 —— и2. Трехмерная потенциальная яма. Рассмотрим частицу, находящуюся в трехмерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками (в потенциальном ящике).
Обозначим через О =1(х,у,т): 0 <х<ам 0< у <а2, 0 < г <аз) внутреннюю область прямоугольного параллелепипеда (рис. 4.6). В этой задаче потенциальная энергия частицы у(х, у, г) имеет внд О, (х, у, х) н б, У(х, у, г)= ~, (х,у,г)60. 185 Вне потенциальной ямы волновая фуНКцИя ЧаетИцЫ зр(Х, у, С) ьз О. Внутри ямы, так же как и в двумерном случае, представим волновую функцию в видепроизведения 9(х, у, т) =1у1(х)1(гг(У)1рз(т), Рис. 4.6. трехмерная потенцн- где фу"кция 1(11(х) зависит только альная яма(потенпияльный от координаты х 1(12(у) — только ящик) от кооРдинаты У; зуз(е) — только от координаты 2. Используя тот же самый метод решения, что и для двумерной ямы, из уравнения Шредингера в трехмерном случае получаем три одномерных уравнения: Н 1у1(х) 2то + — Е11р1 (х) = О, (2 йг " Чг(У) ~~~о + — Е21рг(у) = О Ну й~ И уз(2) 21пс + ЕзМзЮ=О, (2 йг где Е,+Ег+Ез —— Е.
Решение этих уравнений, обращающееся в нуль на границе области 6, т. е. на непроницаемых стенках потенциального ящика, определяет вид нормированной волновой функции частицы Ч~я1 л я (х У Я)= Я1п з1п — з1п (4,26) 8 . пп1х, нпгу, ппзт а1а2аз а1 аг аэ и ее энергетический спектр 186 + 2 + 282 вц вз, аэ (4.27) 2 2 Еп вз вз 2 (п1 +п2 +аз ), п1 п2, пз — — 1, 2, 3,... (4.28) 2 2 2 2гпоа Энергетические уровни в кубической яме, для которых п1 —— л2 — — лз, являются невырожденными, все остальные уровни вырождены. Вопрос о кратности вырождения энергетических уровней в кубической яме рассмотрен в задаче 4.4. Задача 4.3.
Частица массой ес находится в двумерной квадратной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками во втором возбужденном состоянии. Найдите вероятность обнаружения а а частицы в области 0<х< —, 0<у< —, где а — сторона ямы, а 3' 3' также разность значений энергий второго н первого возбужденных состояний. Репгение. Волновая функция частицы, находящейся в двумерной квадратной потенциальной яме, согласно (4.23), имеет внд 2, ян,х, ялту Ч~, (х, у) = — з1п — вш —, а а а а ее энергетический спектр описывается выражением 2л2 Е „= — (и, +аз), 2ж аз 187 Здесь квантовые числа п1, п2, пз — — 1, 2, 3, ... Отметим, что и квантовое состояние частицы, и ее энергия в случае трехмерной потенциальной ямы задаются тремя квантовыми числами. рассмотрим движение частицы в кубической потенциальной яме, т.
е. будем считать, что а1 — — а2 = аз = а. В этом случае энергетический спектр частицы где квантовые числа лп лг —— 1, 2, 3, ... Первому возбужденному состоянию частицы отвечают квантовые числа л3 — — 1, лг — — 2 ( или, наоборот, л, = 2, лг =1). Следовательно, соответствующий ему энергетический уровень оказывается двукратно вырожденным. Второму возбужденному состоянию отвечают квантовые числа п, = лг = 2, соответствующий ему энергетический уровень невырожден. 0<х< —, а 3 Вероятность обнаружить частицу в области а 0 < у ь — определяется выражением 3 агз а/3 Р= ) ~/3822(х,у)/ Ихду= о о — ) гйп — гйп — ЫЫу= — — — =0,07. а о о " о ~.3 8п.3 Разность значений энергий второго и первого возбужденных состояний частицы равна 2 2 г г ЛК = (8-5) = — ' 2ягоа 2 лгоа Задача 4.4.
Частица массой гяо находится в трехмерной кубической потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Сторона куба равна а. Найдите: а) энергию 6-го уровня; б) разность энергий 6-го и 5-го уровней; в) кратность выроящения 6-го уровня. Решение. Энергия частицы, находящейся в трехмерной кубической потенциальной яме, согласно (4.28), может принимать значения гйг лгоа 188 где квантовые числа л,, лг, лз — — 1, 2, 3, ...
Основному состоянию частицы, т. е. состоянию с наименьшей энергией, отвечают квантовые числа л, = лг = яз —— 1. Энергетические уровни возбужденных состояний частицы определяются приведенным выражением для Е при последовательном увеличении суммы квадратов кван- и!, в2, ВЗ 3 товых чисел ~~ л; (см. таблицу). 1=! Как следует из таблицы, б-му энергетическому уровню соответствует сумма квадратов квантовых чисел, равная четырнадцати, следовательно, 2~2 гйг Еь = — 14=7 —.
2еса еоа Для разности значений энергий б-го и 5-го уровней получаем пгйг гйг ЛЕ=Е,-Е, = — (14-12)= 2еоа еоа Обсудим теперь вопрос о кратности вырождения энергетических уровней частицы, находящейся в трехмерной кубической яме. Если квантовые числа л,, лг, и лз равны между собой, то соответствующий энергетический уровень оказывается невырожденным. 189 Таковы, например, энергетические уровни, отвечающие набору квантовыхчисел (1, 1, 1), (2,2,2) ит.д. Еслидваизтрехквантовыхчисел равны между собой, но не равны третьему квантовому числу, то энергетический уровень имеет кратность вырождения, равную трем. В частности, трехкратно вырожденными являются 2, 3 и 4-й энергетические уровни.
И наконец, если квантовые числа не равны между собой, т. е. если и, Ф из Ф лз, то кратность вырождения определяется числом возможных перестановок из трех чисел, т. е. равна шести. Именно зта ситуация реализуется для 6-го энергетического уровня. Таким образом, кратность вырождения 6-го уровня Кь —— 6. Задача 4.5. Нуклон в ядре за счет действия ядерных сил находится в сферической потенциальной яме радиуса а = 10 ы м с непроницаемыми стенками. Полагая, что основное состояние частицы в поле ядерных сил является сферически симметричным, оцените нижний энергетический уровень нуклона в ядре.
Массу покоя нуклона считать равной шс = 1,67 10 ж кг. Решеипе. Ядра атомов состоят из протонов и нейтронов. Эти частицы в ядерном взаимодействии ведут себя одинаковым образом, поэтому и протоны, и нейтроны в ядре называют общим названием— нуклоны. Мощные короткодействующие ядерные силы удерживают нуклоны в ядре. По условию задачи поле ядерных сил У (г) в первом приближении можно моделировать сферической потенциальной ямой с непроницаемыми стенками: Здесь г — расстояние нуклона от центра ядра, а а — радиус потенциальной ямы, равный по порядку величины размеру ядра. Стенки рассматриваемой потенциальной ямы ( г = а ) непроницаемы для частицы вследствие бесконечности их энергетической высоты.
Поэтому вне ямы, т. е. при г > а, волновая функция нуклона равна нулю. Это означает, что нуклон находится только внутри ямы, где 0 <г< а. Чтобы найти энергию нуклона в сферической потенциальной яме, нужно решить уравнение Шредингера для стационарных состояний (4.6). С учетом того, что внутри ямы потенциальная энергия нуклона У = О, уравнение Шредингера запишем в виде 22Ч+ — 2Ч2=0, О'- < . 2гл, Е й' Так как в этой задаче силовое поле имеет сферическую симметрию, следует перейти в сферическую систему координат и рассматривать волновую функцию Ч2 как функцию радиальной координаты г и утловыхпеременных д и <р, т.е.
Ч2=Ч2(г, 6, ф). Но поскольку, согласно условию задачи, основное состояние частицы в яме является сфернчески симметричным, т. е. не зависит от углов 6 и <р, мы будем считать, что волновая функция частицы зависит только от радиальной координаты г. В этом случае оператор Лапласа имеет вид 1 Ы( 2г1Чг(г)1 21 Чг(г) 221Ч2(г) 2'Ч'(г) 2 " 2 + г дг~ Нг ) Дг г Й Таким образом, уравнение Шредингера для частицы в сферической потенциальной яме можно представить в виде 21Ч2 2сŠ— 2+ — + 2 ЧУ=О. ,1гг г,1г,г Искомое решение этого уравнения должно удовлетворять двум условиям: ~2р(0)~< и Ч2(а)=0. Первое из этих условий является следствием ограниченности волновой функции в любой точке пространства, а второе — следствием непрерывности волновой функции с учетом непроницаемости стенок потенциальной ямы.
и(г) Будем искать волновую функцию Ч2(г) в виде Чг(г) = —. г Подставляя ее в уравнение Шредингера, получаем уравнение для функции и(г) ,1гл 2л2 Š— + и=о, 0<г<а, 12 й2 с граничными условиями и (0) = 0 и и(а) = О. 191 Эта задача формально полностью эквивалентна задаче о двнженнн частнцы в одномерной потенцнапьной яме шириной а с бесконечно высокими стенками (см. 4.2). Поэтому с учетом соотношеннй 14.16), 1 4.17) ее решения можно записать в шще ляг и„(г)=Аз1п —, л=1,2,3,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
