Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Вектор плотности потока вероитности Если эта вероятность изменяется со временем, то следует предположить наличие потока вероятности П через поверхность 5, который и приводит к изменению вероятности Р: йР— =П. И1 (3.12) Считая поток вероятности П распределенным по всей поверхности 5, введем вектор плотности потока вероятности 7', который определим интегральным соотношением (3.13) Здесь с5 =ЫН, где й — единичный вектор внешней нормали. Знак минус в правой части (3.13) соответствует естественному предположению о росте вероятности Р при поступлении в объем К извне потока вероятности и убывании Р при изменении направления вектора 7' на поверхности Я. Из (3.12) и (3.13) получаем для скорости изменения вероятности интегральное соотношение 127 уравнение Шредингера учитывает свойства симметрии пространства и времени.
Поэтому из основного уравнения квантовой механики могут быть получены такие общие законы, как закон сохранения массы, закон сохранения заряда и другие законы сохранения. Чтобы показать это, выделим в пространстве некоторый объем У, ограниченный замкнутой поверхностью Я. В квантовом состоянии с заданной волновой функцией Ч' вероятность Р нахождения частицы в рассматриваемом объеме определяется как аР -,+ — = +сю. аг (3.14) С помощью теоремы Остроградского ф Ж = ~Й» рМ 5 У соотношение (3.14) можно преобразовать к виду ! — +йч7' ИУ =О. а!ч !' а~ (3.15) — +йч)' =О. а!ч !2 Эг (3.16) Первое слагаемое в (3.1б) можно представить в виде — = — ~ч'"Ч'~ =Ч' — +'Р—.
(3.17) а!ч!' а ° „° ач* .ач а аг~ ~ а а~' Так как волновая функция Ч' является решением уравнения Шредингера ЭЧ' Ь 1л — = — АЧ'+ Уч', дг 2юо (3.18) то комплексно сопряженная функция Ч' удовлетворяет уравне- нию ЭЧ' Ь -И вЂ” = — ЬЧ' +Уч' . Эс 2то (3.19) 128 Отсюда в силу произвольности объема г'следует уравнение не- прерывности для поля вероятности в дифференциальной форме + 1 — ! = — (Ч'Лч~ — 'Р ЛЧ'). (3.20) .
( .дч дч'1 8' дг дг ! 2то Подставив (3.20) в правую часть формулы (3.17), получим — = — (ч'лч *-ч'*лч ). ~,Р~г дг 2то (3.21) Теперь, используя известные формулы векторного анализа, запишем два следующих равенства: йч(ч'8гао Ч'*) = 8гаг1 Ч'" 8гай Ч'+ Ч ЛЧ" Йя(Ч'* 8гай 'Р) = 8гаг1 Ч'8гасРР* + Ч'*ЛЧ'. Отсюда получаем соотношение д!у(ЧЮ 8гай ЧФ* — ЧФ* Игал Ч/) = ЧУЛЧФ вЂ” ЧФ ЛЧ/, с помощью которого преобразуем (3.21) к виду ~й,~ (ч д ае'-у'~ дч )]=о. <згг) д!Ч12 Г И дг 2то Сравнив (3.22) с (3.1б), запишем выражение для плотности потока вероятности: 7 = '" (Ч 8гаа'Р*-Ч'*8гай'Р).
г, (3.23) 129 После умножения (3.18) на Ч'*, а (3.19) на Ч' вычтем из первого соотношения второе. Тогда Учитывая, что ягадЧ'жУЧ', представим (3.23) в более компактной форме: (3.24) Отметим, что в задачах квантовой механики с ненулевым значением плотности потока вероятности можно считать, что рассматриваемая частица движется в потоке таких же частиц, которые независимо друг от друга взаимодействуют с силовым полем. В такой интерпретации задачи следует принять, что модуль вектора ) характеризует число частиц, пересекающих единичную поверхность, перпендикулярную направлению вектора ), за едини- цу времени. В этом случае соотношения (3.14) и (3.16) можно рассматривать как законы сохранения числа частиц, записанные в интегральной и дифференциальной формах. Если уравнение (3.16) умножить на массу частицы то, то величины р,„=гло~Ч'~ и д,„=то) приобретают смысл плотности и потока массы вещества, движущегося в пространстве, а само уравнение (3.16) переходит в известное в механике сплошных сред уравнение непрерывности — ~+йчд,„=О.
др дг (3.25) др, — ~+Хм)' =О. дг (3.26) 130 Аналогично, если движущиеся частицы несут заряд д, то величины рч =д~Ч'~ и )ч — — Е можно трактовать как объемную плотность заряда и плотность электрического тока. Тогда после умножения на д уравнение (3.16) преобразуется в известный в электродинамике закон сохранения заряда в дифференциальной форме: Задача 3.3.
Рассчитайте плотность потока веРоЯтности в задаче о свободно движущейся частице, квантовое состояние которой описывается плоской волной де Бройля 'Р(х,г)=АехР— (Ес — рх) . 1 й Решение. Записав комплексно сопряженную волновую функцию Ч' (х, г) =Аехр +-(Е1-рх), а найдем отличные от нуля компоненты градиентов: (р ач) = — = — ч, ач р ах й (р;ич') = — = — ч". ач* -р . х ах й Теперь по формуле 13.23) определим составляющую вектора плотно- сти потока вероятности вдоль оси х: /,= — 'РЧ' = — А = — А. р . р з кл що Ри~ В1о Здесь 1с = — = — — волновое число. р 2п 2'Б Таким образом, для движущейся свободной часпщы плотность потока вероятности пропорциональна квадрату амплитуды волны де Бройля.
Отсюда следует, что волновую функцию свободной частицы можно нормировать, полагая 1', = 1. В этом случае амплитуда волны де Бройля А=1' — "= ( —, где р — импульс; е — скорость движущейся частицы. 131 3.4. Представление физических величин операторами Как, зная волновую функцию, предсказать результат измерения какой-либо физической величины у частицы, находящейся в рассматриваемом квантовом состоянии? Для получения информации о физических величинах, связанных с движущейся частицей, в квантовой механике разработан специальный математический аппарат, в котором используют операторы физических величин и результаты их действия на волновые функции.
В работах М. Бориа, П. Дирака и других ученых был сформулирован второй постулат квантовой механики, утверждающий, что каждой физической величине соответствует определенный оператор этой физической величины. При этом соотношения между операторами в квантовой механике имеют ту же структуру, что и соотношения между соответствующими им физическими величинами в классической механике.
Для расшифровки этого постулата дадим некоторые пояснения. Оператор — это математическое правило, следуя которому мы можем преобразовать одну функцию в другую. Задать оператор — значит определить рецепт этого преобразования. Такое преобразование может быть простым умножением исходной функции на число или известную функцию, дифференцированием функции, перестановкой аргументов функции и др.
В квантовой механике в качестве символа соответствующего оператора используется классическое обозначение физической величины со "шляпкой" над буквой в виде значка "х ". Например, х — это оператор координаты х, р„— оператор проекции импульса на ось х, У вЂ” оператор потенциальной энергии и т. д. Оператор предполагается действующим на написанную за ним функцию. В качестве таких функций в квантовой механике выступают волновые функции.
При этом равенство двух функций АЧ' = ВЧ' в операторной форме будет записываться как равенство операторов: А = В. Определим операторы основных физических величин в квантовой механике. 1. Оператор координаты. Действие этого оператора на волновую функцию сводится к умножению ее на соответствующую координату, т.
е. хЧ'=хЧ', уЧ'=уЧ', 2Ч'=сЧ'. (3.27) 132 В символической операторной форме записи зтнх операций имеют вид (3.2В) х=х, у=у, 2=2. Объединяя зти формулы, можно ввести векторный оператор г, соответствующий радиус-вектору г в классической механике. Такой оператор формально рассматривается как некоторый вектор, имеющий в качестве компонент в декартовой прямоугольной системе координат операторы х, у, г . Позтому (3.29) Г=с„Х+Е У+Е,т. Здесь ех, е, е, — единичные орты координатных осей.
2. Оператор импульса. С помощью операций дифференцирования по координатам определим операторы проекций импульса, записав эти определения в символической операторной форме: .д ..д ..д Р,=-(й —, Р =-(й —, Р =-(й-. а' ' ду' ' д2 Все зти три формулы можно объединить в одну, введя векторный опеРатоР импУльса Р=ехр„+е Р +е,р,, котоРый с Учетом (3.30) запишем как (3.31) Ре =-Й7. Здесь д д д Ч=Е„.— +Еу — +Е,—. "дх 'ду 'д.' Используя соотношение классической механики 2 2 2 2 Р =Рх + Ру+Ре = РхРх+РуРу + Ркрт' 133 определим оператор квадрата импульса р =(р )) +'(р ) +(р ) =-Ь вЂ” + — + — . (3.32) г „2 „2 2~д д д21 ~дх ду д2 Используя символ оператора Лапласа, представим (3.32) в более компактном виде: -2 й2~„ (3.33) натные оси: Ь„=УР, — 2Рз, ~.
=гР, — хР,, 1- =хЄ— УР„. Эти соотношения превратим в операторные, определяющие операторы проекций момента импульса: .Г д д1 -2Р =-Й У вЂ” -2 —, ~ д. ду)' .(д д~ х)зе = Й 2 — — х— (, дх д2)' 1' д д1 — ур„=-Й х — -у — . ду дх) ~х = уре (3.34) Ц =хр Оператор квадрата момента импульса можно построить по правилу (3.35) Отметим, что задачи квантовой механики, описывающие системы со сферической симметрией, удобнее решать не в декартовой 134 3. Оператор момента импульса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
