Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 20
Текст из файла (страница 20)
И если она мертва, то когда это произошло? Ведь до открытия ящика однозначного ответа, что кошка мертва, не могло быть. Неужели мы убили кошку тем, что открыли ящик? На все поставленные вопросы иет ответов только потому, что была рассмотрена некорректная система, которая формально объединяла классические и квантовые объекты. Задача 3.1. Волновая функция, описывающая состояние мнкрочастн- цы, движущейся в сфернческн симметричном силовом поле с рас- стоянием г от центра, имеет вид Ч'(г, г) = Аехр --~ехр — Ег Здесь г — расстояние от силового центра; а — известная постоянная; Š— полная энергия частицы, не зависящая от времени ь Определите: а) значение постоянного множителя А; б) наиболее вероятное расстояние частицы от силового центра. 121 Есть другое состояние частицы, описываемое волновой функцией Ч'2.
В этом квантовом состоянии вероятность нахождения частицы в области вблизи курка ружья велика и практически равна единице. Не удивительно, чзо если частица находится во втором состоянии, то кошка мертва. Согласно принципу суперпозиции состояний, микрочастица может находиться и в состоянии, которое является суперпозицией первого и второго состояний и описывается волновой функцией Решение. а. Значение постоянной А найдем из условия нормировки волновой функции (3.4), выбирая в качестве элементарного объема обьем шарового слоя радиусов от г до г+й .
Объем такого слоя Н$' = 4кг~дг . Условие нормировки приводит к соотношению ) )Ч(г, г) ~~4кг йг=4иА ) ехр( — ~г г1г=1. о р ~, о~ Вычисляя интеграл 1= (ехр~ — )г Й = —, а) 4 нз условия нормировки находим 1 А= —. ,/ з б. Наиболее вероятное расстояние частицы от силового центра найдем, записав вероятность нахождения частицы на расстоянии г от центра, точнее, в выделенном шаровом слое.
Эта вероятность равна ИР=~Ч'~ 4кг г1г=~(г)йг, где 4г Г 2г 1 () Г а (, а 41' Приравняв производную — нулю, найдем экстремальную точку Нг г =а, где функция 2 достигает максимума. Именно на расстоянии г = а от силового центра в заданном квантовом состоянии наиболее вероятно обнаружить частицу. Это расстояние со временем не изменяется. Задача 3.2. В момент времени г = 0 волновая функция, описываницая квантовое состояние частицы, движущейся вдоль оси х, имеет вид ( хз Ч'(х, 0) = Аехр~ — +1Ьх, а 122 где А, а и Ь вЂ” известные действительные константы. Определите зависимости от координаты х: а) действительной части волновой функции; б) квадрата модуля волновой функ2лии.
Решении а. Найдем действительную часть волновой функции: 2) Ке'Р = Ке Аехр — ехр()Ьх) = Аехр — ) Ке(ехр()Ьх)). а ) а По формуле Эйлера, согласно теории комплексных чисел, получаем ( х21 Ке Ч' = Аехр~ — соя Ьх. б. Определим квадрат модуля волновой функции: ~Ч~ ='Р"Р=Аехр~ — — )Ьх~Аехр~ — +1Ьх . о2 о2 Отсюда 2 ') ~Ч'~ =А ехр — ~. 2х о2 Качественный вид найденных зависимостей представлен на рис. 3.3. рнс.З.З. Координатные зависимосы действительной части волновой функции ° 1а) и квадрата се модуля 1б) 123 3.2.
Уравнение Шредингера Как, зная структуру силового поля, в котором движется частица, определить волновую функцию, описывающую квантовомеханическое состояние этой частицы? Как, зная волновую функцию в начальный момент времени, описать эволюцию волновой функции во времени? Ответы на эти вопросы дает основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, сформулированное Э. Шредингером в 1926 г.
Общее временнбе уравнение Шредингера позволяет определить в любой момент времени волновую функцию Ч' для частицы массой то, движущейся в силовом поле Р =-8гад0, описываемом скалярной потенциальной функцией У(х,у г,1). Это уравенние имеет вид ,г (й — = — ЛЧ'+ УЧ'. дг 2тд (3.8) Здесь 1=~/ — 1 — мнимая единица, а Ь вЂ” рационализированная постоянная Планка. Стандартным символом Ь в (3.8) обозначен дифференциальный оператор Лапласа, который в декартовой прямоугольной системе координат определяется следующим образом: д' д' д' 7 — — + — + —. дх2 ду' дг2 (3.9) 124 В общем случае в задачах квантовой механики дифференциальное уравнение в частных производных (3.8) должно решаться с учетом определенных начальных и граничных условий на волновую функцию.
Начальное условие задает значение волновой функции в начальный момент времени 1 =0. Граничные условия являются следствием регулярности волновой функции, обеспечивая, в частности, ее непрерывность. Эти условия формулируются на границах областей, где потенциальная функция У терпит разрывы первого или второго рода. К граничным условиям относятся также условия на волновую функцию в бесконечно удаленных точках пространства, которые обеспечивают выполнение условия нормировки (3.4).
Уравнение Шредингера, как и законы классической механики Ньютона, законы термодинамики, уравнения электродинамики Максвелла и другие основные физические уравнения, не может быть выведено. Его следует рассматривать как некоторое научное положение, справедливость которого подтверждается данными экспериментов. Такое согласие теории с опытом установлено для большого числа явлений в атомной и ядерной физике.
Квантовые эффекты, предсказанные с помощью уравнения Шредингера, лежат в основе работы многих технических устройств и приборов, а также широко используются в современных технологиях. Уравнение Шредингера тесно связано с гипотезой де Бройля и вытекающим из нее корпускулярно-волновым дуализмом материи. действительно, легко убедиться, что для свободной частицы, с 2 кинетической энергий Е = — , движущейся в отсутствие силог,' вых полей (У =О, Г =0) в направлении оси х, решением соответствующего уравнения Шредингера в2 Лгр й (3.10) Д, 2~ л,2 является волновая функция (3.11) Ч'(х,г) = Аехр — (И вЂ” рх), соответствующая плоской волне де Бройля. Этот факт позволяет утверждать, что и в общем случае уравнение Шредингера, описывающее движение микрочастицы, имеет волновые решения.
Линейность этого уравнения обусловливает принцип суперпозицни квантовых состояний, физическое содержание которого обсуждалось в 3.1. Уже указывалось, что квантовая механика содержит в себе классическую механику как некоторый предельный случай. Значит, соответствующий предельный переход можно осуществить и в основном уравнении квантовой механики. Уравнение Шредингера после такого предельного преобразования должно перейти в основное уравнение классической механики. 125 Волновая оптика Х>Ь Квантовая механика Хв ~1. Классическая механика ~Б « 1' Геометрическая оптика Х « Ь В таком сравнении теорий траектория движения классической частицы является аналогом светового луча в геометрической оптике.
Формально малость длины волны де Бройля для частицы можно обеспечить, считая квант действия л некоторым параметром задачи и осуществляя предельный переход Ь -+ О по этому параметру. Действительно, по формуле де Бройля (2.2) при й ~ О длина волны де Бройля также стремится к нулю. Поэтому переход от квантовой теории к классической в уравнении Шредингера (3.8) можно осуществить, выполняя в нем предельный переход Ь вЂ” ~ О. В курсах теоретической физики анализируются результаты такого предельного перехода и доказывается, что и л -+ О общее в еменнбе авнение Ш е 3 8 пе ехо ит в уравнение Га— Я~б ~ и%щрйлеыщив С дуй а, * ~ фу ц й,~Юдиных из решений уравнения Шредингера, можно описывать квантовые состояния только нерелятивистских частиц, которые движутся со скоростями, намного меньшими скорости света в вакууме.
Переход к релятивистским скоростям частиц в квантовой механике был впервые осуществлен для электрона П. Дираком в 1928 г. При этом были использованы принципиально новые физические идеи для описания квантовых состояний релятивистских частиц, что привело к созданию релятивистской квантовой механики. В основе этой теории лежит уравнение Дирака, которое обобщает уравнение Шредингера и в настоящее время широко используется в квантовой электродинамике и теории элементарных частиц.
126 Связь между квантовой и классической механикой аналогична связи между волновой и геометрической оптикой. В обоих случаях переход от одной теории к другой соответствует переходу от относительно больших длин волн (частицы или излучения) к малым длинам волн, если их сравнивать с характерным размером Ь области неоднородности силового поля или оптических свойств среды. Проиллюстрируем это следующим образом: 3.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
