Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (1185134), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Рис. 21. Польауясь (51.15), найдемдля среднего числа частиц с импульсами в промежутке р, р+ ор выражение йхл) гл. 3. Отлтистики БОзе — эйнштейна и ФБРми Для нахождепия аспмптотнческого выражения этого интеграла, который должен быть взят по некоторому пути на плоскости комплексного переменного з = х+ (у (в нашем случае по действительным значениям з), мы воспольауемся «методом перевала». Функции Р(г) н ю(з) = н(х, у)+(о(х, у) мы предполагаем аналитическими в интересующей нас области г-плоскости. Для решения задачи мы должны подходящим образом деформировать путь интегрирования (что, как известно из теоремы Коши, не меняет величины пятеграла).
Пусть з, — корень производной и~'(г), так что ю'(з,) = О. Первые производные от и и и по х и р свяааны между собой соотношениями Коши — Рямаяа, которым удовлетворяют действительные и мнимые части всякой аналитической функции и которые выражают независимость производной от направления дифференцирования: (51.30) (51.31) и„= с„, и = — и. У х.
В точке зх все этн первые производные равны нулю: (51.32) По свойству аналитических функций в точке зх не может быть ни максимум, ни минимум функций и и и, а в ней этн функции имеют седловину (если и н и откладывать перпендикулярно плоскости хр). ВтоРые пРоизволные и, ичв Р н т. Д. УДовлетвоРЯют соотношениям (51.33) '( и) = = ;+ †, ! Схх(( — ;)' — (у — р») ) + 24,(х — «)(у в у»Н.
(51.35) Квадратичные формы здесь неопределенные (могут менять анак), откуда и вытекает, что точка з, есть точка седловины на поверхностяк и(х, у), и(х, р). Поверхность, изображающая н как функцию х и у, можно представить себе в виде гористой местности. Сечения поверхности плоскостями и совз$ дают гориаонтали на ней, а сечения и сова« в силу (51.31) нориальныкэтимгоризонталям и дают поэтому линии само«о крутого наклона (рис.
22). получающимся нз (51.31) путем дифференцирования. Разлагая и в ряд вблизи з=з, н учитывая (51.32) и. (51.33), получим и(х,у) = и» + —, (и~ ~ (х — х„)' — (р — у«)«) + 2нх»(х — х») (у — р») ), (51.34) г оь стАтистикА ФеРми. ОБщиЙ случАи 351 Рис. 22. Для определения асимптот имеем поэтому уравнение и ((х — хо)' — (у — уо)о) + 2Р'„о (х — хо) (у уо) = 1) (51Л6) При движении по одной из этих асимптот и имеет максимум в точке г,. Пусть параметрическое уравнение этой аспмптоты имеет вид г го + (18 + 1())8 или х х,+ого, у=у.+рг, Г51 37) где 8 — действительный параметр; подставляя (51.37) в (51.36), находим сю (со — 12)+2Ц~ 84=9, В Подставляя (51.37) в (51.34), получим + ор (о о о7а) оо (51.38) (51.39) где через -8'к* обозначено второе слагаемое, стоящее в левой части этого равенства.
При этом нужно взять тот из двух корней Проведем путь интегрирования так, чтобы он проходил через точку седла г, в направлении перевала через седло, т. е. в направлении линии самого крутого спуска с него Аг 4'. Это направление дается одной из аскмптот семейства гипербол Р=сопз1. 352 Гл. г. стАтистики БОзе — эйнштейнА и Фегми в (5!.39), дле которого ра (ие ио уо /ио ) хо (О чтобы н имела максимум прп в =О. В селу (51.39) н (51.34) на отрезке АА' вблизи г, будет ие+(ие хе =юе ке ° км к("'о- *ее) Множитель е ' -= е вблптп г, на прямой АА' ведет себя в зависимости от е как кривая Гаусса, тем более острая, чем больше Д?. Поэтому при достаточно болыпом )о' ирн интегрировании моокно ограничиться как угодно малым отрезком вокруг г,.
Можно показать, что остальные части интеграла дают добавки, акспонснкнальпо убывающие вместе с воарастаннем )о'. Поэтому при ?у У = ) г (г) е ' (а+ 1())е(е. Г(г) можно вынести из-под анака интеграла, взяв его для зпаченея г=г„т. е. в=О; тогда +е Х= — Р(го)е '(а+(р) ~ е ""'е(е. -е Полагая ?Л~кг $, имеем +уйме р ( е ) е~ о $~7 -о нме При возрастании Ж пределы стремятся к ~, и мы получаем асимптотическое выражение У =- — 1 —.Р(~ ) а + еР / Я км('о? Длн логарифма ? имеем 1п ее = ?Ую(ге) + 0(1п?У?.
$52. Идеальный газ, подчиняющийся статистике Бозе — Эйнштейна Рассмотрим идеальный гаэ, подчиняющийся статистике Бозе, частицы которого, в противоположность фотонам, рассмотренным в е 48, обладают массой покоя, не равной нулю. Для такого газа число частиц постоянно. Эта задача может быть решена тем же путем, что и задача о газе Ферми ($51). а ю. идвдльнып глз вовк — эингпткинл Состоянио газа задается числами частиц п„п„...
в состояниях с эпергиямп е„ео ... Вероятность этого состояния равна И'(гг„п„...) = е~г кпей(п,пд, ...), (521) Е = ~г пдед, д=! причем теперь ($ 46) 1) = 1 для всех значений и„ и„ ..., удовлетворяющих условию ~~э~ пд = г'дг.
(52.2) д Так же как в случае газа Ферми, достаточно найти сумму состояний Е = ~~э~ е ' = ~~'.~ г), г), Яг,Ф$о где г)д= е 'д'о. Среднее число частиц в состоннип ед выражаотся через нее согласно (51.4) так: д!эЕ ггд = Ч» —. (52А) дауд Вводя множитель 1 ( о(2од — л)о о,( ог,-и) = зл ) гР> равнь:и единице для совокупностей чисел п„удовлетворяющих (52.2), и равный иулго для совокупностей и„, не удовлетворяющих этому условию, мохгем написать сумму состояний в виде дэ 2 = —, ~ г),'г), ~ е ' г)гр. (52.5) Йг,оо.
о При этом суммировать нужно по каждому я„от О до» (в этом отличие от случки Ферми, где суммирование было по п„О, 1). Условие (52.2) прп суммировании теперь учитывать не нужно— опо выполнено автоматически, благодаря множителго б (г о од-М)' Выполняя в (52.5) суммирование под знаком интеграла, получаем ол дл 2Л ~ д т — тоси 2Л,г о д о где ю = — мр — —, ~ ) и (1 — дде о). 1 чС~ го л Й Так же как в $51, применяем теорему об асимптотическоы 23 и.
л. Лоовооооо 354 ГЛ. Ь. СТАТИСТИКИ БОЗŠ— ЗИНШТЕИНЛ И ФЕРМИ значении интеграла н получаем 1п Я = )Уш(ер„), (52.61 причем уе находится из условия еле е ш'(~ре) = е — 1+ — г, = О. 1 — д,е (52.71 Полагая кр. ь/9, имеем ш( в) е 1о (1 — дле' е1 (5„8 а уравнение (52.2) принимает вкд Ле ре (52.9) или Х- 1 (1-елре = й'. е — 1 Пользуясь (52.4), находим среднее число частиц в )е-и состоянии: д (д е е — е ди~ '1 Тле 1 ееееее 1 Т Это — раснределение Боде — Эйнштейна, Свободная энергия равна е = е 1. е - е [~ ~. "е Т 1„(! Л'-"~")1. Легко убедиться, кроме того, что давление связано с энергией твм лее соотношением г-.
рУ = —.Ь. 3 При высоких температурах распределение Бозе совпадает с классическим. Отклонение от классического распределения для газа из молекул малб и практически всегда перекрывается взаимодействием между ними. В связи с применением статистик Ферми и Бозе нунено заметить еще следующее. Как мы видели в 4 46, квантовая механика многих частиц строится, исходя нз требовании симметрии к антисимметрии волновой функции системы, ведущей к статистикам Бове — Эйнштейна или Ферми. В гл. 4, применяя квантовую статистику к модели кристалла, мы в явном виде не пснольвовали принцип Паули или симметрию волновых функций и, а ы. ицклльиыя гзз воза — эяншткннь 355 тем не менее, получили правильные результаты.
Это объясняется тем, что при той модели твердого тела и том способе рассмотрения, которым мы пользовались, эти требования неявно,всущиости, уже выполнены. Дело в том, что мы рассматривали там малые колебания частиц кристаллической решетки около их положения равновесия н учитывали только одно состояние, когда каждая частица локализована около определенного узла решетки, совершая около него колебания. При индивидуализации частиц мы можем, однако, путем перестановки частиц получить всего М! таких совершенно равноправных п обладающих одинаковой энергией состояний. Если бы мы стояли на точке зрения индивидуализации частиц, .то каждое состояние нужно было бы рассматривать Ж)-кратным, что не изменило бы результат, так как привело бы только к общему множителю у всех членов суммы состояний. В случае же, когда для частиц, из которых состоит кристалл, имеет место статистика Бозе — Эйнштейна илн Ферми, нужно вместо всех этих М состояний учитывать только одно, описываемое волновой фуикцией, являющейся симметричной (Бозе — Эйнштейн, формула (46.8)) или антисимметричной (Ферми, формула (46.9)] комбинацией волновых функций всех этих состояний.
'Ганям образом, хотя нужно учитывать, в сущности, другое состояние системы (симметричное пли аитисимметрнчное), а не то, о котором мы говорили первоначально (соответствовавшее определенной расстановке частиц по узлам), но кратность, с которой нужно учитывать состояние каждой энергии, остается той же (единица).
А только это и существенно для значенля суммы состояний и всех наших выводов. Глава 6 БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ 9 53. Броуновское движение Р. Броун обнаружил в (827 г., что мелкие микроскопические п ультрамикроскопические (коллоидные) частицы, взвешенные в жидкости, находятся в постоянном и беспорядочном непрекращающемся движении. Многочисленные экспериментальные исследования о) показали, что это движение пе связано с какямплибо внешними влияниями и что оживленность его повышается при повышении температуры н зависит от размера частиц и вязкости жидкости. Чем меньше размеры частиц и чем меньше вязкость жидкости, в которой онн находятся, тем оживленнее движение частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
