Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (1185134), страница 67
Текст из файла (страница 67)
ел $ Г -Рлр УУ Чае ае Раею .— ) е П ~ Еюе ЙР=* хл 3 ю аю Ел юл = —,„~ е еП(1+ оюее)йр. е З4г ГЛ. О. СТАТИСТИКИ БОЗŠ— ЭЙНШТЕЙНА И ФЕРМИ Нас интересует значение Е в случае, когда общее число частин нашей системы М очень велико, по концентрация У/Р' сохраняет конечное значение. Таким образом, достаточно найти не точнов аначеппе интеграла (51.5), а приближенное, асимптотическое при больших )т', что мы и сделаем. Заметим, что при фиксировании концентрации й»/Р сумма ~~'., )п(1+ дое'о) растет пропорционально У. Зто связано с тем, что уровни энергии е„входящие в выражение ро= е '"~", зависят от размеров сосуда Р'= Ь* (ср.
формулу (47.7)), а поэтому прн заданной концентрации У/Р' сумма ~ (п (1+ дое'о) будет зависеть от )т'. Чтобы установить впд этой зависимости, аппроксимируем данную сумму интегралом: „~~)п(1+о " ) = ~ )п(1+с ' +'о)о(г(е), А о где Ыг(е) — число квантовых состояний частицы с энергией в интервале (з, с+ Ве). Если нет внешнего поля, то согласно (47.9> Во=В)/е"Ые, так что эта сумма равна ВУ ) )п (1+ с "е+ о)з"Ве= /о' — ~ 1п(1+ с *" 'о) е' 'Ые о о и при фиксировании концентрации рассматриваемая сумма действительно пропорциональна У.
Легко убедиться, что эта пропорциональяость будет иметь место п при наличии внешнего поля. Таким образом, г имеет вид (51.6) зз,) о где п»(»р) = — йр+ — ~' )п (1+ уое о); А при заданной концентрации это — не зависящая от М функция. К интегралу (51.6) мы можем применить теорему об асимптотических значениях интеграла, доказанную в конце этого параграфа, согласно которой асимптотически при М )п у» = )уу~(»ро) с точностью до членов, отношение которых к написанному стремится к нулю при возрастании )т. При этом»ро — корень уравпе- 1 Ы, СТАТИСТИКА ФВРМИ.
ОВЩИИ СЛУЧАЙ ния 1д'(у,) = О, т. е. уравнения ч~п т ч~О тде ы«р)= — ~ — — „~ ',,1=о, А 1+чад ~) (51.6а) или уравнения 1 Х, 1, — )У=О, д( +1 (51.7) где 1у,-~/9. Это уравнение имеет одно действительное рещение ~. В самом деле, поскольку е, > О, при ь- А АА +1 априь- + Х., 1 ОА-СРе ~ + ~' Ае~+1 производная же его левой части по ь, равная (еА- г)/е В „~~~1( (ед-1)~е )1т ' всегда положительна. Таким образом, получаем )пЯ = Жш(сд„) =- Хв~ — ) = — — + д~)п(1+ е ), (5$.8) причем ~ нужно найти из условия (5(.7). Среднее число частиц в й-и состоянии найдем, польвуясь фор- д)п л ыулой (5$.4): ЛА = дь — При этом нужно дифференцировать дя по д„, учитывая, что ь также зависит от д». Позтому Принимая, однако, во внимание, что в силу (5(.ба) дю дв 1 — = — — =О, дЬ де„Ю получаем д1о 2 ~ дм1 ДАе А = ОА — = ~7А( — 1 дт, ~ дтА)1 „, ть,-ио.( 1,(зА-1ро (51.О) Это — выражение для «распределения Ферми».
Оно учитывает принцип Паули и заменяет классическое распределение Максвелла — Больцмана. При этом (5т.7), очевидно, просто выражает 344 ГЛ. Е СТАТИСТИКИ БОЗŠ— ЭЙНШТЕЙНА И ФЕРМИ условие Свободная энергия нашего газа равна Ч'= — 61пл= У[~ — ~ )',)п(1+с( ") )~.
(51.10) е Опа прп заданной концентрации оказывается пропорциональной числу частиц У. При этом здесь это получается без добавления к — 91ЕЯ членов, зависящих от У, как это приходится делать в классической теории (т 13), чтобы получить указанную пропорциональность У (30). Пользуясь (51 10), легко раскрыть термодинамический смысл величины ь, являющейся корнем уравнения (51.7) и поэтому зависящей от температуры и электронной концентрации У/Р. Дифференцируя Ч' по У при постоянном объеме )е н В (следовательно,прн переменной концентрации), получим эч" зб эй '~е 1 — =-~+У— ДУ ж ЕЛ' ~~ РА — ГЗ Е е В силу (51.7) два последних члена сокращаются и (51.11) т.
е. Ь вЂ” химический потенциал электронов. Как вытекает из сделанных при выводе распределения Ферми, т. е. выражения (51.9), предположений, это выражение справедливо всегда, если энергия системы вддитивно складывается из энергий отдельных частиц, т. е. когда взаимодействие частиц не учитывается. Внешнее же поле спл мелеет присутствовать. Значит, вто выражение справедливо прп тех же предполохеекиях, что и выражение Максвелла — Больцмана.
Согласно (51.9) среднее число частиц в определенном состоянии с зпергпей е равно 1 и = ,и-1ве ) 1 ' а классическое (т. е. Ее учитывающее принципа Паули) выражение для й при дискретных уровнях энергии можно записать так: й = сопз( . с-е~~ сп-.пе (51 12) если постоянную обозначить через е"'. Для больших значений энергии з «' ь (когда в (51.9) в знаменателе можно пренебречь единицей по сравнению с показательной функцией) законы распределения (51.9) н (51.12) па рис. 20 примерно одинаковы (кривые 2 справа). Для малых же аначений в эти законы совершенно различны (кривые 2 слева), причем $ еь стАтистикА Фвгмп.
Овщип случАЙ 345 различие тем больше, чем ниже температура 9 (кривые 1). При вырождении, т. е. при достаточно малых Й, как мы знаем, статистика Ферми дает прямоугольный график: й=1 при е(~, й=О при е)~. Ч"=Л'~~ — — ~~1п(1+ е ) )~=- а условие (51.7), определяющее ~, в виде В е мече г' ,1 -~ив+1 е (51 14) При более высоких температурах (6,) переход от участка кривой, примерно параллельного оси абсцисс, к экспокепциальному убыванию происходит при значении з = ь, так как при е( -с ь показательное выражение — (уху) в апамепателе меньше единицы — — 1'ХЩ и при убывании е приближает- ! ся к нулю. Когда же е стано- дг 11 В,<й, вптся больше ь и растет дальше, показательиая функция скоро делается значительно больше единицы, п знаменатель можиозамепить на е' "". При а низких температурах (1т,) этот переход очень резкий, так что Рис.
20. при В О кривая стремится к прямоугольному графику (область вырождения). Отсюда видно, что наивысшая энергия заполненных прп вырождении уровней Ь„ введенная нами в $49, равна зпачеппю ь при В =О: ~, = ЦО). Можно показать, что при очень высоких температурах Ь стаповптся отрицательным и растет неограниченно по абсолютной величине.
При этом фупкция раснределения Ферми, т. е. вырапеепие (51.9), для среднего числа частиц й обращается в классическое выран1еппе Максвелла (51.12). Вместе с этим и все свойства газа Ферми при высокой температуре совпадают со свойствами газа, получающимися из классической статистики. Разберем теперь частный случай, когда нет внешних сил (за исключением взаимодействия со стенками). В этом случае согласпо (47.9) о/(е) =Ве'е'"Не, В= 2"т"'/пей'. Поэтому свободную энергию моекпо ааппсать в виде % ЬЬ СТАТИСТИКА ФВРМН. ОЛЩИИ СЛУЧАЙ 347 жопцентрации соглиспо (51.18), нъи этом ~ — функция концентрации )о/У н 6, определяемая посредством уравнения (51.7).
Найдем приближенные выражения термодпнамнческих величин при нпзьох температурах в области вырождения. Для этого преобразуем формулы (51.15) и (51Л8) путел» интегрирования по частям: ее О ./у = ~п(е) оя(е) = (п(с)Х(е)~,=о — 12(е) и'(е)йе = о о ВУ ) сап~ (е) де (51.19) о О Х = ВУ~ п(Р) е" ьйе = о ь'ь 1 ВУ~~, е ~ — — ВУ ~еь'ьп'(е)е(е =- — — ВУ~ еьпп'(з)о/е. о о (51.20) Величина й (е) для низких температур существенно отлична от нуля только вблизи значения е = ь(6), где й(е) при малом (т надает от единицы до нуля. Поэтому положим е = ~+пй и рааложпм е"' в (51Л9) и е"* в (51.20) в ряд по степеням и.
Этим путем найдем Ю е~п'(е)йе = ~ (ь+ иб)о —. Ыи = ди Ю -",е ~1+р — и+ —.— и + ... — ни, Г / Е Р(Р-Т) Е' ь ') д„ В (ь '''/ ди е где р равно 3/2 нлн 5/2. Примем во внимание, что ди е ди = ((ееи+ 1)ь — четная функция и. Тогда получим е ее (" о.--г " '( — ) ( .,...).
о -~е 348 гл. $. статистики БОзе — днпштейнА и ФеРми При атом учитываем, что ее -~ие и что в интегралах ее СО 1 ое оо ( йеоои (ее+ 1)о ) (ее+ т)е — це -ре нижний предел — ~/6 можно заменить на — (при атом мы делаем ошибку порядка е моь/6).
Учитывая далее, что = 2 ( но (е " + Зе о" + ...) Ыи = —. =8, получаем юе ~ еоп' (е) е)е = — Ье(1 + е Р . ( — ) ~. о Отсюда н в силу (51.19) и (51.20) яаходвм 2 е~ф яо (Н)е) В= АЙВУ~"'(1+ — '" ( — ) ~; (51.21) (51.22) (51.23) (51.24) где ье = (3))//2ВУ)"*. Рааделив (51.23) па (51.22) и подставив в полученное выражение ь (51.24), получим с той же степенью точности (51.25) Отсюда находим теплоемкость С зн в )ть ау я н ~ьг (51.26) (ч 2 ~о Теплоемкость очень мала, если температура очень низка по сравнению с температурой вырождения; она примерно в ЙТ/~, раз при 6 0 первое уравнение дает ь = ье = (2В)ЧЗ)е) "".
Разрешая же уравнепне (51.22) относительно ь, находим с точностью до членов порядка (8/~)"": З ЬЬ СТАТИСТИКА ФЕРМИ. ОБШИЙ СЛУЧАЙ 349 меньше, чем классическое значение теплоемкости. Это и объясняет, почему электроны при обычных температурах ничего не добавляют к теплоемкости металлов. Заметим еще, что, пользуясь (5113) и (51.24), мо:кно найти и свободную энергию. Она равна 2 — 3 1 бяз гйтз1 'Р = )Ч9 — — Е =- — )Ч~е [1 ° ~ — ~ ~.
(51.27) 3 = 3 [ йй~~~~ ° и Т вЂ” т ол(р) = лЮ(р) = — (ехр( Р— ~ ~+1) ртлрл (5128) язхз 1 (2мИ которому в классической статистике соответствует максвеллов- ское выражение дл(Р) = — 4л)Ч ( р ехр1 — —,, ~ радар. (2ят6) з~т (51.29) График функции т(й!г(р дан на рис. 21 (сплошная кривая по формуле (51.28), штриховая — по формуле (51.29); энергии е = Г„ здесь соответствует импульс Р-У2т~, при котором примерно и происходит переход от параболического (пропорционального р') возрастания кривой к экспоненциальному убыванию. В случае вырождения (рис. 21) здесь прп р= Р,= У2и4, происходит разрыв кривой и падение ее до нуля. В заключение найдем асимптотическое (при Ж - е) выражение интеграла *) ь Х= ~Р(з)е ' Ыг.
") Смл Курант Р., Гилееерт Д. Методы математяческой физики: Пер. е яем.— 3-е изд.— Мл Гостехиздат, 1961, т. 1, ги. ЧП, 1 6, и. 3. Примекеяие и интегрированию, встречающемуся в статистической теории, дано фауаером и Даракиом; см. книгу: Рев1ег, 31а11зйса1 МесЬаа1се, СашЬг162е, 1936. При отсутствии внешних сил энергия е связана с импучьсом р соотношением е рз/2щ. Поэтому в данном случае, подобно ~~л тому как это часто делается в Р классической статистике, можно дать выражение для распределения частиц по абсолютным вели- чипам импульсов н я статистике Р Р Ферми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
