Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (1185134), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Принципы симметрии и антнсимметряи (принцип Паули) и их формулировка в волновой механике для простейшего случая двух частиц Мы видели выше, что п после введения основных положениГг квантовой теории остается ряд противоречий и трудностей принципиального характера.
Эти трудности были устранены, после того как в статистическую теорию были введены иаменения в согласии с представлениями, связанными с «принципом Паули» в одних случаях и «прпнцппом симметрии» вЂ” в других. Изменения эти привели к необходимости изменения в основных положениях квантовой статистики. В первом случае, который имеет место, например, для электронов, этим путем мы приходим к так пазываемои статистике Ферми, в других случаях, например для фотонов,— к статистике Бозе — Эйнштейна. ») О теоряв»яеятроярояодвоств металлов смл Лорен»я Г. А.
Т«орви элеятрояов в ее прям«я»яке я явлениям света в теплового к»лучевая: Нер. с англ.— 3-е яад.— Мл Гост«хи»дат, 1956, гл. 1, $47; Тамм Л. Е. Основы теоряя электричества.— 9-е вгд.— Мл Наука, 1976, $41; ломмедфельд А. Волновая кехавявя: Строеяве атома в спектры: Пер. с вем.— Мл Гост«хи»дат, 1933, Дояолвеяве 1. з(в Гл. 3.
Статистики БОзе — эйнштейнА и ФеРми Первоначально Паули был вынужден ввести свой принцип в связи с задачей о построении периодической системы элементов, и первоначальная его формулировка относилась к электронам в атоме. Если состояние электрона характеризовать квантовыми числами, определяющими (в теории Бора) его орбиту и спин, то принцип Паули состоит в том, что в атоме в каждом состоянии (заданном четырьмя квантовыми числами) не может быть больше одного электрона.
Выводы из принципа Паули, касающиеся спектров сложных атомов и молекул, оказались в хорошем согласии с опытом. В дальнейшем принцип Паули был обобщен и распространен на любые системы электронов нли протонов. Для других частиц, например для фотонов, вместо этого требования пришлось ввести другое — требование симметрии волновых Яункций, заменяющее принцип Паули и играющее вполне аналогичную ему роль в теории совокупности таких частиц. Мы должны прежде всего сформулировать эти принципы и рассмотреть их содержание в рамках понятий квантовой механики.
Нужно подчеркнуть, что принцип Паули и принцип симметрии волновых функций не являются следствием основных положений квантовой механики — уравнения Шредингера я вероятностного истолкования волновых функций, а должны быть введены в квантовую механику многих одинаковых частиц как новые дополнительные принцины. Рассмотрим сначала простейший случай — систему из двух одинаковых частиц, не взаимодействующих между собой.
Состояпне такой системы описывается волновой функцией Ч" (х„у„г,; хп у„з,), аависящей от координат х„уо з, первой и х„у„з, второй частиц (для простоты мы при дальнейших рассуждениях отвлекаемся от спина частицы). Оператор Гамильтона системы равен Н = Н, + +Н,. Уравнение Шредингера для стационарных состояний системы имеет вид (45Л) (Н, + Н,)Ч' = ЕЧ', где Š— энергия системы двух частиц. При этом оператор Л ~ д д д Й,— — —,~ —,+ —,+ ) +Н(х„у,зг) (45.2) де" дд1з де~ ~) аависит только от координат первой частицы, оператор Н,— только от координат второй частицы.
Вид операторов Н, и Н, одинаковый (одинаковые частицы). Для решения этого уравнения можно воспользоваться методом разделения переменных. Будем искать решение уравнении $ Фг. ЦРинципы симметРии и АптисимметРии З(э 145Л) в виде произведения функций ф(х„у„г,) =ф(1) от координат одной только первой частицы и функции )((х„у„г,) )((2) от координат одной только второй частицы (1 стоит вместо а„уо го 2 — вместо х„у„г,): Ч' ф(1))((2). (45.3) Подставляя это выражение в (45Л), убедимся, что оно дает решение этого уравнения, если ф и )( удовлетворяют уравнениям Н,ф(1) = еф(1), Н,)((2) = (Š— е))((2).
(45.4) Так как частицы одинаковы, то Н, зависит от координат первой частицы так же, как Н, аависит от координат второй. Величина а — собственное значение для первого уравнения, (Š— е) — для второго. Поэтому функции ф(1) и й(2) представляют собой регпения одного и того же уравнения Шредингера для одной частицы, но соответствующие равным собственным значениям, разным уровням энергии. Пусть е„ и е, — два собственных значения этого уравнения, т. е. Н,ф(х, у, г) = еф(х, у, г), (45.5) а 1р„(х, у, г) и фг(х, у, г) — соответствующие им собственные функции. Тогда мы найдем два (и только два) решения уравнения Шредингера (45Л), соответствующие энергии системы, равной Е=е„+е,. Первое решение Ч' получим, если положим в (45.3) ф(1) ф.
(х„у„г,), )((2) фг(х„у„г,), з=з, Š— е=ея оно равно (45.6) Ч~ фа(хо Уо г1)фг(хг, Ум г1). Второе решение Чг получим, если в (45.3) положим ф(1) — фз(хо уо г,), )((2) ф„(х„у„з,), е=еа Š— е-е,.; оно равно Чг" ф,(х„у„г,)ф (х, у„г*). (45.7) Первое из этих решений соответствует состоянию системы, при котором первая частица находится в состоянии ф с энергией е„ вторая частица — в состоянии фз с энергией еь Второе решение изображает состояние системы, при котором первая частица находится в состоянии фм а вторая — в состоянии ф„.
Величина (Ч" РЮГЕР; дает в том и другом случае, в согласии с общими положениями волновой механики, вероятность того, что первая частица находится в объеме г)Г,=г(х,ду,Иго вторая— в объеме И'г"г г(х,ду,дг,. 320 гл. ь. стАтиспхки БОзе — эинштеннА и Фегмн Таким образом, для нашей системы, состоящей из двух частиц, мы имеем случай «кратных» собственных значений энергии. Одному и тому же собственному значению энергии Е е +з» соответствуют два рааличных состояния системы — две различные волновые функции: Ч' и Ч'". Такая кратность собственных значений («вырождение») всегда связана с некоторой симметрией системы. В нашем случае она свяаана с симметрией (одинаковостью) частиц, выражающейся в том, что оператор Гамильтона системы (даже в случае наличия взаимодействия между частицами) симметричен, т.
е. не изменяется при перестановке координат частиц. Поскольку уравнение Шредингера (45 1) линейно и однородно, решением его, соответствующим той же энергии системы Е, будет любая линейная комбинация Чг решений Ч" и Ч'": Чг = с'Ч'+ с" Ч"" с'«Р„(1)«Р«(2) + с" $»(1)«) (2). (45.8) Каждой такой функции должно соответствовать определенное состояние системы. Дело будет, однако, обстоять иначе, если мы введем принцип Паули. Если наши частицы — электроны (нлн протоны, но не фотоны), то, как сказано выше, в силу этого принципа возмоя«- ны только такие состояния системы, при которых нет двух частиц, находящихся в одном и том же состоянии. Это значит, что возможны состояния системы, соответствующие не всем решенVям уравнения Шредингера, а из этих решений нужно выбрать некоторые так, чтобы соблюсти принцип Паули.
Для системы нз двух частиц такой выбор сделать очень просто. Среди волновых функций (45.8) нашей системы есть функция Ч".« = «ра(1)ф»(2) Ча(2)Ч»(1)1 (45.9) это — антисимметричная функция. При перестановке координат двух частиц она меняет знак. Она равна нулю, если обе частицы находятся в одинаковых состояниях. Поэтому принцип Паули в волновой механике выражают так: принимают, что кэ всех допустимых с точки арекня уравнения Шредингера состояний возможны только состояния, изображаемые антисиммегричными волновымн функциями. Отсюда принцип Паули в первоначальной формулировке получается сразу; невозможность для двух электронов находиться в одном и том же состоянии выражается в том, что тогда волновая функция системы — нуль„ «Антнснмметричное» состояние системы нз двух электронов с волновой функцией Чгл (45.9), допускаемое принципом Паули, уже не может быть истолковано так, что при нем первый электрон находится в состоянии ф„, а второй — в состоянии ф» (или наоборот).
Можно только сказать, что при этом какой-го один электрон находится в состоянии а, а какой-то другой — в состоянии (1. З «Ь. ПРИНПИПЫ СИММЕТРИИ И АНТИСИММЕТРИИ ззт Заметим в связи с этим, что вероятность определенного положения электронов в объемах «()««и ««'т"в дается выражением )Ч А! д) «д)'в. (45 10) Данную величину можно было бы понимать так: это вероятность того, что один электрон (а не какой-то определеннный, например первый) находится в объеме дро другой — в объеме «))«в. Тогда вероятность нужно, очевидно, нормировать так: (45.11) При этом внутренний интеграл берется при условии х,(х„ у, ( у„з, ( з„а внешнпй — по всем возможным значениям х„ у„з„так как прп этом учтены все возможные состояния системы. Однако удобнее (45.10) понимать как вероятность первой частицы (электрону) быть в объеме дро второй — в объеме «(т'в.
При этом нужно только взять такое нормирование: (45.12) где интегрирование производится по всем возможпым значениям координат обеих частиц. Легко видеть, что, поскольку !Чта!'— симметричная величина, математические ожидания любых симметричных в координатах частиц (а только такие величины и имеют смысл) будут при обоих способах определения вероятности одинаковы. Таким образом, принцип Паули в его квантовомеханической формулировке требует отказа от индивидуализации частиц. Мы исходили из того, что две одинаковые частицы (например, два электрона) абсолютно не отличимы друг от друга. Это нашло себе вырая«ение в том, что мы считали оператор Гамильтона системы Н симметричной фуш«цпей координат (п спиноз) частиц.
Если две частицы поменять местами, то результат такого обмена никак нельзя обнаружить. С этой точки зрения отказ от индивидуализации частиц естествен. Можно думать, что к этому выводу должна прийти всякая удовлетворительная теория, от которой мы вправе требовать, чтобы два неразличимых никакими опытами состояния она рассматривала как одно и то же состояние.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
