Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (1185134), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Это отсутствие нндивидуалиаации н отличает статистику Ферми аптнснмметричных волновых функций, получаипцуюся в случае наличия запрета Паули, н статистику Бозе — Эйнштейна, соответствующую симметричным волновым фушщиям, от классической. В классической статистике состояния, ссолучаюпснеся одно нз другого путем обмена частиц, расс»сатрквалпсь как различные.
Именно, если и частиц находятся в состоянии с(„, и, — в состоянии ф« и т. д., и„ вЂ” в состоянии ср„, так что и„ + и» + ... + и„ = У, то таким значениям соответствует йц различных состояний, отличающихся одно от дру"а) "З ' нч) гого только перестановкой частиц.
В случае симметричныя волновых функций совокупности чисел и„, и», ..., п„соответствует только одно состояние, описываемое симметричной волновой функцией. В случае ангисимметричных волновых функций, когда кроме отказа от индивидуализации принимается еще запрет Пауля, совокушюсти чисел п, и», ..., п„соответствует одно состояние, когда все числа п„п», ..., п„равны либо нулю, либо единице, и ни одного состояния, когда хотя бы одно иа чисел Зхэ гл. ь стлтистики вози-энншткннл и евами и, и«, ..., п больше единицы (т.
е. когда две и больше частиц находятся в одном и том же состоянии). Перенумеруем состояния отдельных частиц и будем через п„и„..., и„по-прежнему обозначать числа частиц в этих состояниях. Совокупность чисел п„п„..., и, определяет пекотороо состояние всей системы, содержащей )«' частиц. Ясно, что Ю ~ п«=Л'.
»=1 Обозначим через П(и„п„пп . -.) число возможных состояний системы, соответствующих заданным числам п„и„п„... Величину Нпо п„п„...) можно назвать кратностью этого состояния системы, понимая прн этом кратность (в протиэоположпссть прежнему) как число состояний системы, совместимых с принципом симметрии или антисимметрии и соответствующих данным и„и„п„... В случае отсутствия требования симметрии (или антнсиыметрии) — в случае «классической» (в этом смысле) статистики величина П дает общее число таких состояний; она равна Й(п„п», и„...) = (46.11) и«~ п«)аз~ В случае статистики Бозе — Эйнштейна П(по и„п„...) = 1 для всех п„п.„п„...
(46Л2) В случае статистики Ферми Й(пн п«и« ° ) 1 если все и, ~ 1, (46Л3) 1)(по п„и„...) =О, если хотя бы одно п,)1. Изложенные формулировки остаются без изменения и в том случае, когда учитывается взаимодействие между частицами. Оператор Гамильтона, хотя уже и не может быть представлен в виде (46Л), по-прежнему симметричен относительно координат частиц. Поэтому из любого решения Ч" уравнения Шредингера путем перестановки координат частиц мы снова получаем решение того же уравнения, так что формулы (46.7) — (46.9) сохраняют силу и адесь. Только в этом случае частные решения уже не могут быть найдены методом разделения переменных, так что формулы (46.4) и (46.10) не имеют места.
До сих пор мы отвлекались от спина (и связанного с ним магнитного момента) электрона. с'сли его учесть, то формулировка принципа Паули для электронов (или вообще частиц со спинам) остается прежней. Волновая функция системы должна менять знак при перестановке всех величин, определяющих два электрона, т. е. при перестановке их координат и переменных, определяющих их спин. Мы должны, таким образом, в данном случае з 46.
пгиЗщипы симметРии и Антисиммвтгии 327 НЧ' = — —, В дЧ" дГ ' (46.14) причем оператор Н вЂ” симметричный по отношению к координатам частиц; он может (для неизолированной системы) зависеть к от времени. Пусть Ч'(() — решение этого уравнения и пусть значение этого решения, при ( 0 равное Ч'(0),— аптискмметричиая функция, так что если Т обозначает операцию перестановки координат двух каких-либо частиц (транспозицию), то ТЧ'(0) — Ч'(0). (46.15) Рассмотрим функцию Ф(1) = ТЧ'(() + Ч'(().
(46.16) В силу (46.15) Ф(0) =0; кроме того, так как сумма двух реше- ний Ч'(Г) и ТЧгН) уравнения Шредингера (46.14), равная Ф(г), есть также его решение, то отсюда следует, что Ф(() =О. Дей- ствительно, умножая уравнение 11Ф = —— Х дФ 4 дг ка сопряженную функцию Фа, а сопрйженное ему уравнение— ма Ф, складывая и интегрируя по всем значениям координат, получим — —.—, ~Ф*Ф от= ~ (ФЙьФ» — Ф*ЙФ) Ыт, ,где Ыт=дх,др,...Юх . В силу самосопряженности оператора Н определять состояние частвц волновой функцией, зависящей, кроме координат, еще от аспииовой переменной», могущей принимать два значения.
Если же мы будем определять состояние электрона не полно — волновыми функциями, вависящими только от координат, то в каждом так определенном состоянии могут быть два электрона с двумя разными направлениями спина. Как уже указывалось, ограничение симметричными и анти- симметричными функциями не вытекает из уравнений квантовой механики. Необходимо поэтому показать, что опо им не противоречит. Именно, нужно показать, что если система в определенный момент находится в состоянии, описываемом симметричной (или антисимметричной) функцией, то при дальнейшем изменении состояния системы, происходящем по законам квантовой механики, состояние ее будет для любого момента времени описываться опять симметричной (или аптисимметричной) функцией.
Доказательство этого положения следующее. Волновая функция системы подчиняется уравнению Шредин- гера 328 гл. ь. стхтистнки Бозе — энпштенпл и ФБРми правая часть уравнения равна пулю, так что — "ФвФ Ит = О ю .) и, значит, 1ФвФ дт =сове); так как при Т = О функция Ф = О, то ~ Ф*Ф Ит= ~ ~ Ф )в Ыт = О, т. е. Ф = О для любого ), илн ТЧг(() — — Ч'(().
А это значит, что функция Чг остается аптисимметрнчпой для любого й Доказательство для случая симметрии такое же. $47. Возможные квантовые состояния частвщы в сосуде В дальнейшем мы будем применять квантовую статистику к газу, т. е. к совокупности невзаимодействующих частиц. Поэтому мы рассмотрим, какие состояния может иметь согласно квантовой теории частица, находящаяся внутри сосуда (который для простоты будем считать кубом со сторонами, равными Ы с непроницаемыми стенками.
Такие стенки осуществляются при помощи «потенциального барьера», т. е., другимн словами, потенциальная энергия частицы внутри сосуда — пуль, прп приближении же к стенкам быстро растет до бесконечности. При этом, чтобы обеспечить полную невозможность прохоя1денпя частицы через барьер, в квантовой теории необходимо принять, что этот барьер именно бесконечно высокий. (В классическом случае он должен Г>ыть для этого только достаточно высоким.) Состояние частицы описывается волновой функцией ф удовлетворяющей уравнению Шредингера для стационарных состояний.
Внутри сосуда, где потенциальная энергия — нуль, это уравнение имеет вид (47.1) Волновое число й связано с импульсом частицы р и ее энергией в в этом стационарном состоянии соотношениями де Бройля: Р йв 2ме (47.2) На стоиках сосуда должны быть выполнены граничные условия О, (47.3Э выражающие невозможность проникновения частицы через стенки. з гь квлнтовын состояния члстицы в состдв З2Э Как мы видели (т 20), уравнение (47Л) при граничных условиях (47.8) имеет следующее решение: $=з1пй гз!пй„уз(пА,г, (47.4) удовлетворяющее граничным условиям на степках, т.
е. при я=О, у=О, г=О и г=б, у А, г Е, если Подставляя (47.4) в уравпепие (47Л), убеждаемся, что (47,4) удовлетворяет этому уравнению, если й = а+ ь'„+ а = ~Ы (р + + г— (47.6) Можно показать, что таким образом мы получаем полную систе- му решений уравнения (47Л). Каждому из них соответствует возможное состояние частицы с импульсом рз = (йй)з = ~ — ~ (рт -)- пг ) тг) / аз~' (47.7) и энергией Число Ы2(р) стационарных состояний с импульсом в промежутке р, р + др можно найти совершенно так же,как число нормальных колебаний в т 20.
Оно равно числу точек пространственной кубической решетки (с ячейкой, сторона которой равна Ьл/А), расположенных в зазоре между двумя сферами радиусов р и р + ор, которые лежат в положительном оптанте. Поэтому это число равно отношению объема шарового слоя к объему ячейки (Ья/А)' = (йл)'/у, т. е.
и(р) = З (Зз,/)~ 2лгь~ (47.8) у~измз1яут 2птпгаз (47.8а) Заметим, что, поскольку мы пользовались скалярным волновым уравнением (47Л), в котором спин электрона не учтен, длг, электронов нужно еще отдельно учесть, что состояния электронов могут отличаться направлением спина. Учет этого обстоятельства ведет к необходимости удвоить число возможных состо- где г'=Ь' — объем сосуда. Выражая это число через энергию частицы з, получим взо Рл. 3. стлтистики вове — эингятеянА и Фегми япий (47.8а) соответственно двум возможным независимым направлениям спина. Это дает 21 '3„,3'3 ЫЕ (е) =В$'ему, В = (47.9) пЛ» Применяя эти выводы к фотонам, нужно иметь в виду, что выражение (47.8) сохраняется и здесь. Его нужно только удвоить, чтобы учесть возможность поляризации фотона ($20). Однако для фотона импульс и энергия уже связаны не соотношением (47.7), вытекающим нз механики Ньютона, а соотношением е р= с (где с — скорость света), вытекающим из релятивистской меха- ники для частицы с массой покоя, равной нулю.
Поэтому урав- пенне (47.9) в этом случае не имеет места, а должно быть заме- нено уравнением сй (е) = — еес(з. У 3 ехе (47.М) 3 48. Прнмененне статистики Бозе к фотонному газу Переходя к приложениям изложенных общих положений, рассмотрим прежде всего излучение. Будем рассматривать его, с точки зрения представления о зсоголах, как своеобразный «фотонный» газ, и поставим себе задачу найти плотность излучения з Ию в интервале частот (ю, ю+ с(ю) при термодинамическом равновесия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
