Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (1185134), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Мы можем, таким образом, считать, что ф лежит в интерл вале — я ( ф ~ я. Значениям ф в / этом интервале соответствуют волны л л г(/ — обоих направлений распространения с длиной волны от Л 2а до Л= Таким образом, охватываются все возможные колебания частиц цепочки при распространении в ней волн Подставляя (40.4) в (40.3), убеждаемся, что система уравнений (40.3) удовлетворяется, если частота и волновое число связаны соотношением Рис. 16. юз = 4 — зш' —..
Х . ф и В' (40.6) Извлекая корень и взяв его положительное значение (частоту мы можем считать положительной), имеем а = 2 ~~ — "(з(п фх ~. (40.7) Скорость распространения волны равна (40.8) Она зависит от волнового числа й = ф/а; другими словами, имеет место дисперсия. Групповая скорость волны равна ае гв ч/ к ф и= — „= а — = а у — соз —,. аа мт (40.9) На рис. 16 изображена зависимость ю от ф для цепочки. Прн малых ф (длинных волнах) ю пропорционально ф и скорости с и и постоянны. При больших ф, т. е.
для волн длины порядка постоянной решетки а, дисперсия становится заметной. При ф= и, т. е. для волн длины 2а, групповая скорость обращается в нуль. Это показывает, что для очень коротких волн отдельные частицы колеблются почти независимо друг от друга. Легко видеть, что касательная (проведенная в начале координат) к кривой зависимости ю от ф (показана штриховой линией на рис. 16) даваиа бы зависимость ю от ф, если бы мы рассматри- з 10. колкБАния цнпочки тпгутосзязанных чАстиц 393 вали колебания нашей цепочки как колебания сплошного стержня.
Этому же случаю соответствует начальное значение с арк/шна кривой, изображенной на рис. 17. Действительно, скорость упругой волны в непрерывном стержне равна УЕ!р, гдв Š— модуль Юнга, р — плотность. Модуль Юнга равен отношению силы к вызванной ею относительной деформации. Для нашей цепочки он выразится -гак: Е = "'" ' = ак.
(40ЛО) а -1 а Принимая во внимание ещв, что рт/а, получаем скорость по формуле )/ ар (а А- цепочки при ф = О. Мы видим, таким образом, что частота, соответствующая определенной длине волны, в случае длинных (по сравнению с постоянной цепочки а) волн может быть вычислена с помощью формул, относящихся к непрерывному телу. Даже для самых коротких воли (ф= я, Х=2а) ошибка в частоте при применении непрерывной модели не так уж велика: в1 получается равной я)'и/ш вместо 2рк/ж, т.
е. больше примерно в полтора раза. Нас интересует тело ограниченного объема и соответственно етому нормальные колебания ограниченной цепочки. Пусть цепочка состоит из 1т'+ 2 частиц, причем крайние: нулевая и ())/+ 1)-я— закреплены. Такой модели соответствует твердое тело, зажатое жесткими стенками. Соответственно этому граничные условии таковы: Ь-О, Ь« -О. (40Л2) Частное решение задачи (дифференциальных уравнений (40.3) при граничных условиях (40Л2П получим, если возьмем линейную комбинацию двух бегущих в противоположных направлениях волн, которые мы запишем в действительной форме: Р„А соз (ю( — фп+ 7,) + В соз (в11+ 1рв+ (,), (40.13) гдв А, В, 7„7, — произвольные постоянные.
Чтобы удовлетворить граничному условию $, = 0 (для любого 1), мы должны положить А — В, '(,=11 7, так что т,. = А (соз (е11 — фл+ 7) — соз (ю8+ фн+ ТП =. 2А зш (ар+ т) а(п фп. Рл. а ОснОВы кВАнтОВОЙ стАтистики Из условия Ь+, 0 вытекает зш (У+ 1)~р = 0 и, значит, <р =~рь= +, а=1,2, ...,)т'.
ль Таким образом, искомое решение задачи имеет вкд $„=сопзс зш(в1+у)з!п —,+, Ус= 1, 2,...,Х (4014) Каждое иэ этих решений представляет собой нормальное колебание, при котором все частицы колеблются с одной и той жэ частотой Ъ/К . ТА в=2 р — зш в 3 Совокупность полученных М решений и дает как раз Ж нормальных колебаний, возможных для нашей цепочки, имеющей )т степней свободы. Частоты вз этих нормальных колебаний изменяются в промежутке 0(вь~(2 — з1В2 л' 3 2Я иь 2(Л'+ 3) ю т Каждое из них представляет собой стоячую волну с длиной Х 2яа/<р„2а(У+ 1)/й, которая определяется из того же условия, что и для колебаний непрерывного стержня (или струны), именно, пэ условия, что на длине цепочки (Ж+ 1)а должно укладываться целое число полуволн, Как мы видели, для длинных волн скорость нх распространения по цепочке очень близка к скоростям волн для непрерывного стержня с той же плотностью и модулем Юнга. Поэтому в данном случае и частоты нормальных колебаний практически совпадают.
Итак, для длинных волн мы, действительно, можем пользоваться моделью непрерывного тела; в частности, мы можем ею пользоваться для вычисления теплоемкости при низких температурах, когда только длинные волны (низкой частоты) обладают заметной энергией. К этому же выводу можно прийти, рассматривая колебание трехмерной кристаллической решетки, состоящей иэ одинаковых частиц (одноатомное твердое тело, например твердые химические элементы), в наиболее общем случае. $41. Теория теплоемкости твердых тел (продолжение) Как мы видели в $ 39, для вычисления средней энергии твердого тела необходимо знать функцию 2(в) — число собственных колебаний в определенном интервале частот.
В силу сказанного $4С. ТЕОРИЯ ТЕПЛОЕМКОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ (ПРОДОлжение) 305 выше для низких температур при рассмотрении колебаний твердое тело можно считать сплошным, рассуждая следующим образом. Мы должны решить задачу о возможных собственных колебаниях непрерывного твердого тела, ограниченного жесткими стенками. Эта аадача сводится к решению дифференцкальных уравнений теории упругости при определенных граничных условиях; она аналогична задаче об электромагнитных колебаниях внутри зеркального ящика, рассмотренной нами в $20. Результат решения получается следующий. В твердом теле возможны как продольные, так и поперечныэ колебания. Каждое нормальное колебание представляет собой либо стоячую волну с продольными колебаниями, либо стоячую волну с определенным образом направленными поперечными колебаниями. Частоты этих колебаний выражаются совершенно аналогично частотам электромагнитных колебаний (3 20).
Число поперечных колебаний с частотами в интервале (в, в+с(в) выражается формулой того же вида, что и (20.17); оно равно 2 —. ув с)в 2лвсв Здесь с, — скорость поперечных упругих волн в кристалле, а У— объем кристалла. Действительно, возможны два независимых нормальных колебания определеннойчастоты,отличающиеся одно от другого поляризацией, а число различных собственных частот каждого из них равно Уввссв/2явс~с.
Кроме того, возможны еще продольные колебания, число которых равно Уввс)в/2птс~с, где с,— скорость продольных упругих волн. Таким образом, общее число нормальных колебаний с частотами между в и в+ йо равно гг(»= — ~ ~— + — ~ = Ув ов/ 2 З ( 3Ув йо (41. 1) зя ~, в ) 2ят где с — середняя скорость», определяемая соотношением 3 2 1 (41.2Р + с св св с При этом выводе мы пренебрегли анизотропией упругих свойств кристалла, проявляющейся даже для кристаллов кубической системы.
Мы пользовались уравнениями для изотропного твердогсе тела, упругие свойства которого характеризуются двумя упругими постоянными (например, модулем Юнга и коэффициентом Пуассона или значениями скоростей с, и с,). 20м. А, леонтович ГЛ. З. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ Средняя энергия кристалла согласно (39.5) равна ошах едаах о~о~ е о полагая х яы/6, получим а кодах/е ~=Ье+ — з ) Вуббо Р азлк 2яхсзаз 1 ох о (41.4) о (41.5) Интеграл в правой части, очевидно, есть постоянная, а именно о)1 (41.6) е Таким обраэом, вводя еще ст = ЙТ, получаем е=е,+дтд, (41.7) *) Иитеграл вычисляется таи: о 1 е" ч~~ -к ч~~ -ка Ф о" — 1 1 — е а-о СФ ха к 1„,-х,! з злк ~ ( з-<а+па 'кт 1 Р зАк= р — д р е олу.
о " оо ко("+)е Но Р ОО „,— '=ФФ у~о ела=3!=6, а (к+ 1)о Поэтому Ф» й ,к, („+ ц 15' Си., иаиример: Марков А. А. Исчаслеиие иоиечиых разиостев.— 2-е изд.— десса: Матезис, 1910, гл. П1, 1 11, с. 157; (Зоммер1Роаод А. Диффереяц~- альаые урааиеиия а частных производиых физики.— Мс ИЛ, 1950, гл. 1, с. 2?.)) Для низких температур подынтегральное выражение прн высокик частотах очень мало, а потому точное определение верхнего пре- дела «д , несущественно. Этот предел можно заменить бесконеч- ным.
Тогда а и. ткогия твплокмкости твввдых твл (пгодолжкнив> зст где х уха И вЂ”. =10сз" (41.8) Отсюда теплоемкость получим Лх) * 2лс~ 3 ) так что х' = хх'аа. Длина упругой максимальной частоте, равна = а~'З )"'= 1,5а юшах = с ~6л где а — постоянная решетки, волны, соответствующей атой 2лс аш!а = ш шах Нужно, конечно, помнить, что этот расчет дает только порядок величин се, и Х „, так как для этих коротких волн выражение Я(ех), полученное из рассмотрения непрерывной модели твердого тела, уже не может дать точного результата. Введем обозначение (41.12) 20а С, = — = 4с)Тз.
ат (41.9) дто — закон кубов, найденный Дебаем. При стремящейся к нулю температуре теплоемкость тоже стремится к нулю. Это обращение теплоемкости в нуль при Т 0 находится в полном согласии о опытом и (еще до теории Дебая) нашло свое выражение в эмпирическом принципе Нернста.
Закон кубов для теплоемкости тоже хорошо оправдывается на опыте при низких температурах (27). Для высоких температур остается классическое выражение средней энергии. Это видно уже из (39.4), где при больших В каждык член суммы равен 6 и, следовательно, Е Зйхх=ЗХИТ. В этой области применимости классической статистики формула (41.3), где Е(ю) определено по-прежнему выражением (41.1) (т. е. из непрерывной модели тела), тоже справедлива.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
