Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (1185134), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Эйнштейн рассматривал твердое тело 4юяэу9ме 4 Рис. $5. как совокупность Ж частиц, колеблющихся независимо друг от друга около своих положений равновесия. Колебания частиц можно тогда считать происходящими с одной и той же частотой е. Средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы, равна в этом случае еъй,ат (мы отбрасываем не зависящий от температуры и потому не существенный для вопроса о теплоемкости член Ьв/2). Средняя энергия тела (состоящего из Ж частиц и имеющего ЗЖ степеней свободы) равна тогда аэат (39 1) а теплоемкость (39.2) Ход теплоемкости по формуле (39.2) показан на рис. 15. Качественно он согласуется с опытом.
При ниаких температурах С. стремится к нулю в согласии с эмпирическим термодинамическим правилом Пернета. При высоких температурах получается значение С„соответствующее закону Дюлонга и Пти, так как здесь, как мы 9 Зо. ткогня тнплоемкости тВВРдых ткл 299 (39.3) средняя энергия тела равна поэтому »л »и Хз" Ео+1 а /е а-« а=»е " — 1 (39.4) Здесь Е,=~~Райю,/2 †«нулевая энергия», энергия тела при температуре абсолютного нуля.
Как уже было указано, в вопросах теплоемкости она роли не играет, хотя в тех случаях, когда существенна амплитуда колебаний, например в зависимости рассеяния рентгеновских лучей твердым телом от температуры, зта знергия существенна. Если обозначить число нормальных колебаний с частотой, меныпей о», через Я(о»), то число нормальных колебаний с частотами в промежутке (о», о»+ Йв) равно «ьо(ю); тогда сумму, входя- ») Более подробное нзложепно дано М. Борном а книге: Боря М., Гдллерт-Майер М. Теория твердого тела: Пор. о нем.— Мй Лй ОНТЙ, »938, См.
также: Геаьчвекьд К. Ф. Теория твердого тела: Пор. о нем.— М.; Лк ОНТИ, 1936. видели, планковое выражение для энергии осциллятора переходит в классическое. Однако согласие с опытом получается только качественное. Формула (39.2) дает при Т О касание бесконечно высокого порядка с кривой теплоемкости. Па опыте получается спадание теплоемкости более резкое. Кроме того, постоянная о» определяется чисто эмпирически, и по существу для твердого тела нет ни одной такой собственной частоты.
Таким образом, этот результат заставил думать, что введение квантовых представлений может объяснить зависимость теплоемкостп от температуры, но было ясно, что нужно решить задачу для более совершенной модели тела. Это было сделано в 19(2 г. Дебаем, с одной стороны, и Борном совместно с Карманом, с другой о). Мы будем, так же как в 3 18, рассматривать твердое тело каК систему )»' частиц, связанных между собой квазиупругнмисилами и совершающих колебания около положений равновесия. Энергия представляет собой тогда квадратичную форму от слагающих смещений всех частиц, а сила, действующая на какую-нибудь частицу,— однородную линейную функцию смещений всех частиц.
Вводя нормальные координаты, мы можем представить энергию системы Е как сумму энергий осцилляторов, соответствующих отдельным нормальным колебаниям. (Число их равно ЗУ-6 ак ~о ЗУ вЂ” числу степеней свободы). Средняя энергия нормального колебания с частотой, равной о»„дается формулой Планка л»» лм еа = — + 3 а~«1е ГЛ. 4. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ щую в выражение (39.4), можно заменить интегралом з) и Ж ааписать в виде "ювз Е = Еа + ~ за~в ~3 (ю). (39.5) а Здесь ю — наибольшая из частот нормальных колебаний. Оив определяется из соотношения Я(ю ) -3№ (39.6) так как общее число нормальных колебаний равно 3№ Выражения (39.4) и (39.5) показывают, что для решения задачи об энергии твердого тела с помощью квантовой статистики нужно знать собственньье частоты нормальных колебаний, в то время как для решения той же задачи с помощью классической статистики звание частот нормальных колебаний было не нужно — средняя энергия зависит там только от ил числа, т.
е. числа степеней свободы системы. Полное вычисление всех собственных частот для трехмерного твердого тела очень трудно. Решение задачи о теплоемкости при низких температурах, однако, упрощается благодаря следующему обстоятельству. При низких температурах, благодаря изображенной на рис. 13 зависимости функции Планка от частоты, в выражении (39.4) для средней энергии существенны только члены, соответствующие низким частотам нормальных колебаний. Смещения частиц при определенном нормальном колебании можно рассматривать как стоячую волну смещения в теле. Колебаниям с низкими частотами соответствуют волны, длины которых велики по сравнению с постоянной кристаллической решетки тела. Это значит, что эти упругие колебания представляют собой звуковые (и ультразвуковые) колебания, и при их рассмотрении тело можно считать непрерывным, а для вычисления их собственных частот пользоваться теорией упругости непрерывного твердого тела. Чтобы представить себе соотношение между колебаниями непрерывного твердого тела и дискретного кристалла, рассмотрим одномерную модель кристалла.
В этом случае задачу можно решить точно. Заметим еще, что задачу о собственных иолебавзях кристалла мы рассматриваем с точки зревяя классической, а яе квантовой механики. Может показаться непоследовательным, что, лримевяя квантовую статистику, дру- «) Функция 2(ю), дающая число нормальных колебаний с частотой, меньшей ю, представляет собой, очевидно, разрыввую, ступевчатую функцию, увелвчивающуюся иа единицу, как только ю проходит через зиачевие, равное частоте одного из нормальных колебаний, и ве меняющуюся в промежутках между яормальвыми частотами.
Мы можем, однако, зту функцию заменять сглажвввой непрерывкой фувкцивй и тогда ааписать (39.4] в виде интеграла (39.5), понимая интеграл в обычном смысле. з ае. колквания цвпочкн упвггоспязанньтх частиц йс1 кую часть аадачн (нахожденне собственных колебавнй системы) мы решаем с помощью классической механнкн. Это, однако, вполне допустимо, так как нласснческее н квантовое решения втой частй аадачн — нахождение собственных частот снстемы — а точвостн совпадают.
Именно, решемне аадачн сводится к преобразованню функции Гамильтона, представляющей собой квадратнчную форму от координат к импульсов, н нормальному виду. В яеентееой же теории аадача сводится к преобразованию квадратичного оператора (псяучающегося на атой квадратнчнон х д~ формы нутем замены всех импульсов рь на — — ) к нормальному виду с ата! — ~у ~ — $ — +мата~, а это достнтается в точности темп же преобрааовамнямн переменных, что н в классическом случае. Прежде чем изложить рещение задачи о теплоемкости намеченным выше путем, при котором (при вычислении частот нормальных колебаний) дискретное твердое тело заменяется непрерывным, рассмотрим одномерную систему, до некоторой степени аналогичную твердому телу,— цепочку упругосвязанных частиц.
На этой модели можно более детально проследить,при каких условиях указанная замена может считаться оправданной. 4 40. Келейники одномерной цепочки упругосвязанных частиц Рассмотрим совокупность частиц, образующих цепочку, в одном измерении. Пусть частицы при равновесии находятся одна от другой на одинаковом расстоянии а (постоянная цепочки). При этом сила, действующая на частицу, исходит толькоот двух соседних частиц и зависит от их относительного смещения в направлении цепочки. Пусть она пропорциональна разности их смещений (квазиупругая сила). Тогда сила г"„.
„действующая на и-ю частицу со стороны (и — т)-й, равна г" .„, — хЦ вЂ” $.,), (40.1) где й„— смещение н-й частицы из положения равновесия, а х— постоянная. Полная сила, действующая на п-ю частицу, равна, очевидно, Г„„, + г"„, ьо и уравнения движения имеют вид т р„- 7„„, — Р„+ь „, (40.2) ~.+ — „" ( — Ь.,+а.— ~„„) =0. (40.3) Рассмотрим сначала бесконечную (в обе стороны) цепочку. Для нее получается совокупность уравнений (40.3), в которых и пробегает все целые значения от — до + . Будем искать нормальные колебания этой системы в виде монохроматической бег)~- щей волны $» Аек»~-ь»о Аяк»с-е»~ (40.4) гл.
а ОснОВы кВАнтОВОЙ стАтистики Величина ф, определяющая разность фаз в колебаниях соседних частиц, пропорциональна волновому числу й=2я/Л, а именно= ф = йа 2яа/Л. (40.5) Заметим, что ф изменяется в интервале длиной 2я, так как прибавление к ф целого, кратного 2я, не меняет вида волны (40.4), поскольку ф входит туда в виде фл, ы Д где я — целое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
