Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (1185134), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Гауссовское распределение (ЗЗЯ) полностью определяется функцией р(г, г'), так как, зная ее, можно найти ры для любых Эз и $( п, следова- тельно, с помо|цью (ЗЗ.З) все ды. Если флуктуации в любых неперекрыза- ющихся объемах статистически независимы между собой, то для двух та- ких объемов Уз и $~ функция ры О. Этот предельный случай получим, если положим р(г, г') р(г)6(г — г'), где р(г) — любая положительная функция, а 6(г — г') — символ Дирака. Если объемы областей Уь Уз, ..., У (предположим теперь, что они не перекрываются и ааполняют всю об- ласть е) беагранично уменьшаются, а число их л беагранично растет, то квадратичная форма ~ переходит в некоторое предельное выражейие.
В теории флуктуаций это предельное выражение и является вадавным, ово равно значению ЬЧ/Э для данного вида распределения величины $ в прост- ранстве для данной функции $ (г). В большинстве случаев его можно пред- ставпть в виде ЗЕ-~Г[Ц ЦЕУ, (33.5) с где Г[$, $] — дифференциальная квадратичная форма. Обозначим через )г[г), Ц соответствующую ей симметрическую билинейную форму. Мы покажем сейчас, что если (г[Ц $] аадана, то можно определить р(г, г'), а следовательно, задание У[Ц Ц достаточно для полного определения вероятности функции $.
Заметим прежде всего, что путем интегрирования по частям (так же, как это делается при выводе уравнения Эйлера — Лавтража в вариацпонном исчислении з) ) ] )г [ц, Ц 6У можно представить в виде 3~К[О, цбу= — ~цбй]бу+~цА(Ш Ь. (33.6) Второй интеграл распространяется по поверхности области о. Выражение Ь[Ц представляет собой линейный дифференциальный оператор Эйл~ ра — Лагранжа, соответствующий форме Р[$, Ц; К($) — оператор соответствующих зестественных» граничных условий. Мы покажем, что р(г, г') представляет собой фумзцию Грина аз) дифференциального оператора Ь(6) при граничных условиях )УЩ О. Для доказательства заметим, что соотношение (33.3), свяаывающее уы и ры, можно сформулировать в несколько ивом виде следующим образом.
Еслв в бвлппекной форме ЗЕ (г) Ц = Х ужцД зл переменные Ц ааменить при помощи подстановки иа 6, = ~~ р Г~, то 4 1тг' т «) См., например: Курант Р., Гилъбзрт Д. Методы математической фивпки. — 3-е изд. — Мл Гостехиздат, 1951, т. 1, гл. )Ч, $ 3. зз) Там же, гл. Ч, $ 10. гл. 3. Ткогия ФлуктуАций 278 Обозначая расстояние от ду до точки наблюдения (обозначенное ранее в (2920) буквой г] через )г,найдем Е =А ) Ьеехр — — ~())+ з)) НУ, 1=, с ю э1вб г з где А= — е ее, а Нз — расстояние от некоторой средней точки 0 объ- 4ясзЛ ема У. Если расстояние Н очень велико, то его можно разложить в ряд во координатам элемента ду, определяемого радиус-вектором г, так что В = )га — (эо Г), где э~ — единичный вектор направления рассеяния.
Учитывая еще, что де Ье =дьк С(г), получим Е = "~й() -цак — д„' (33.9) У Здесь вектор э йз — )гь где )гз — волновой вектор падающего и й, — рассеянного света, так что ])г~) = ])гз] = 2я/А, а г обоаначает радиус-вектор, й: веденвый из начала помещенного в произвольной тачке 0 объема енсивность рассеянного света пропорциональна среднему нвадрату модуля этой величины, т.
е. пропорциональна величине а ~ С(г)гцзг~ду ~ с(г')е Цз'г ~Ау'= ~ ~ 3(г) с(г')ецз'г г ~дуду'= У й У Ъ" = 1 ~ Р(г, г') е'"' ")дуду'. (ЗЗАО) у уг Таким обрааом, принимая интенсввность падающего света за единицу, для интенсивности рассеянного света получим 1 А( ~)е. Значение интеграла легко найти. Заметим прежде всего, что в случае однородного и изотрокного тела функция р(г, г') зависит только от расстонния ]г — г'] между точками г и г', так что Р р(]г — г']). З выражении для з внутреннее ввтегрирование можно распространить по бесконечному пространству и написать (33.9) в ваде +сз а= 1 Ау ] р([г — г')) екал ' ~ду'. У -ш Величина ] рекал г)ду'=С, очевидно, не аавясит от у.
Тогда, выпол- нив интегрирование по ду, имеем а = УС, причем С= ~ р(] г г' )) зцз'г г ~С(У' зцз'г1и (г), (ЗЗ.И) 6 э«. пРименение к тесРин РАссеяния скнтА еглв и (г) = ~ р ( [ г — г' [) к ««з'г >ду', того, что р([г — г'[) — функция Грина (для бесковег.- представляет собой решение уравнения г [, [ „,— це,г> Однако ввиду ной области), и(г) Но в силу (ЗЗЛ1) откуда и=Се «<зт> Ф СЬ [е ««зл>[ = — е у «>я,г>г [ -««з,г>[' (ЗЗ 12) 9 34. Применение и теории рассеянна енота (34.1) где 7 — некоторая постоянная, тем большая, чем ва большие расстоявюа простирается связь между флуктуацпямк.
С точки зрения методов, изложенных в 1 33, этот внд свяаи является одним иа простейших. Его мояпго е) О>ля>е>я 2. 8., 2егл«йе р. Р>>уз. 2., 1918, т. 19, р. 134; 1926, ч. 27, р. 761. Первоначально работм были напечатаны в журналах: Ашз«. Асад. 1914, т. 17, . 793; 1916; т. 18, р. 1520; 1916, т. 19, р.
1312 — 1321; АгсЫтез 1>еег1ап>)аз1еа, еНе 111 А, т. 1ч', р. 74. Как уже было указано в 1 32, нзложеяяая там теория флуктуаций плотности н вытекающие вз нее следствия относительно рассеяния света ве годятся для жидкости в состояниях, очень близких к критическому. Орвстейн в Цернкке ь) обобщили теорию таким образом, чтобы она была применима и для критического состояния.
Нри этом они откааываются от прежнего допущения статистической независимости флуктуаций в рваных объемах внутри жидкости н допускают, что между этими флуктуацнямв вмеетсл статистическая казисилость. Она убывает вместе с уменьшением расстояния между объемами, так что флуктуация в удаленных объемах статпстическн независимы между собой. Связь между флуктуациямк в близких объемах внутри жидкости обусловливается сплавш молекулярного вааимодействня; однако она может простираться на расстояние значительно большее, чем радиус взаимодейстзня, так как может осуществляться не непосредственно, а чарва посредство молекул, находящихся в промежуточных объемах.
Влияние этвх вааимодействпй должно особенно скаааться вблвав критической точки, так 1 дг как в этом случае благодаря тому, что сжнмаемость — — — очень велик др ка, уже малые силы могут выавать большое изменение плотности (см. вырая«ение (32.6) для свободной ввергни А>у, из которого видно, что при большом дс/др работа, необходимая для того, чтобы вызвать данное изменение плотности, очень мала). Как мы видели в 1 33, статистическую свяаь флуктуаций и ее аавнснмость от расстояния можно характеризовать заданием функцив двух точек р(г, г'), которая в данном случае аавнсит только от нх расстояния Л = [ г — г'[, т.
е. р (г, г') = р (>>). Теория Орнстейна и Цернике соответствует фуякцпп р(>>) следующего впда: ТЛ. 3. 'ГЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИЙ получить, допустив, что свободная ввергал единицы объема равна »5»Р 6)г (и, с) = 1»[»[ — и Ж оа + уз (рв)']; (34.2) зто значит, что она зависат не только от относительного уплотнения о Ьр/р, ао н от его градиента.
Первый член здесь, очезыдпо, совпадает с выражением (32.5). Соответствующее (34.2) ланейное дифференциальное выражение, как легко убедиться, имеет вкд Ь [о[ = — "у~р~а — ~ — и,р 1) в]. (34.3) йТ [ ди / Выражение (34.1) является его функцией Грина для бесконечной областш Действительно, (34Л) удовлетворяет днфференциальвому уравнению Ь[р) = О, стремится к нулю прв В-иоо и имеет особую точку должного типа прн Я О. Дадим еще выраженно для внтенсивностн рассеянного света. Для етого воспольауемся формулами (ЗЗ.М), (33.12). В нашем случае 5[ -»Чв.г)) 1 [ ззз ( (, ир)] -це,г) поэтому У йТУ е1з' »Ь[и Цз 1! дР з — и — + ззу ди Но аз = (й — 1с )з= йз+й* — 2(1с й,), и так как й» = ад = юр(с, а угол между йе н )г» равен углу 6 между падающим и рассеянным лучамы, то г =4(Н ) еш Отсюда ю юв 6 йТУ(р — ) (34.5) е (4яизЛ )з[( — и др ~-)-4уз(ре») з»вз е) Смл д»аыдельжген Л.
Н. Полн. собр. трудов.— Мл Изд-во АН СССР, 1948, т. 1, с. 246. Вдали от нритвческой точки и др»ди велико по сравнению со вторым членом в знаменателе, которым можно пренебречь. Мы получим обычыую формулу Эйнштейна для антенсиввоста рассеянного света (329). Вблыан критической точки и др/ди мало, в вторым членом знаменателя пренебречь уже нельзя. Тогда, нак показывает формула (34.5), по теории Орнстейна н Цернике завасимостк к от направленая, ы от частоты должны быть уже ввыма, в частноств, интенсивность пропорциональна ве четвертой стевены частоты, а взмевенне ее с частотой — более медленное. В качества второго примера рассмотрим флуктуации поверхности жадности *), т. е.
те отклонения свободной границы жидкости, находящейся под действием силы тяжести, от плоскости, которые возникают благодаря тепловому движению. Обозначим через ь(з, р) вертикальную коордыыату повархностн, отсчитываемую от гориаонтальной плоскости з О, представляющей средний уровень коверхностп жидкости. Свободная знергвя 5»Р складывается ка свободной ввергни поверхностного натяжения, пропорциональной увелвченаю поверхности прн флуктуа. Глава 4 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ И ЕЕ ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ 9 Зб. Общие положеняя квантовой статистики равновесных состояний «) Основные положения квантовой статистики основываются на представлениях квантовой механики.
Им может быть придана формулировка, аналогичная формулировке основных положений классической статистики. Существенное отличие имеется, однако, в том, как в квантовой теории описывается и задается состояние систеа«ы. В классической статистике состояние системы определялось заданием всех координат и импульсов системы, и нужно было найти выражение для вероятности так определенного состояния.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
