Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (1185134), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Для многих вопросов интересно также выражение для вероятности распределения числа частиц по многим объемам ио и„ ... внутри »в. Для флуктуаций числа частиц в этих объемах в случае газа можно в) Ом., например: Мерное А. А. Исчнсленне вероятностей.— 4-е нзд.— Мл Государственное н»дательство, 1924; Берне«вейн С. Б. Теория вероятиостей.— 4-е над.— Мл Лл ОНТИ, 1949; М!евев и. %«Ьг»сЬ«(я)1«ЬЬ«11гесЬ- ннпх. [Гнеденно Б.
Б. Курс теории вероятностей.— В-е нзд.— Мл Наука, 1999 1 Рл, 3. Твогия ФлуктуАциЙ доказать следующую теорему. Если у( и ой — два достаточно мачых объема внутри аамкнутого сосуда объема (г, то флуктуации числа частиц в ннх статистически неаависимы между собой. Не давая здесь доказательства этого положения, приведем только непосредственный вывод одного его следствия, важного для теории () г г,тз ()гггзггггй ( () г з(г (( жггяиг л г гггииг)жггг()ггзт 1 ! ( г и и гг гл гг ' г ю ю я гг ж гг гу ж ж гг ж ях ж рис. (к рассеяния света в газах.
Покажем, что для двух таких малых объемов среднее значение произведения флуктуаций (отклонений от среднего) чисел частиц (йл(Ьл, равно нулю. Для доказательства поступаем подобно тому, как при выводе формулы 128.1). Пусть б») = 1, если й-я частица находится внутри объема ао и б» = О в противном случае. Точно так же Ь» (1) (3) равна единице или нулю в зависимости от того, находится ли й-я частица внутри или вне уй. Тогда М М я = ~йз б»1), и = ~~~~ б), й 1 1=1 а потому »,~=1 й 1 14й Вторая сумма распространяется на все неравные индексы й и г и содержит )т'((т' — 1) членов.
Обозначая вероятности попадания $ 29, МОЛЕКУЛЯРНОЕ РАССЕЯНИЕ СВЕТЛ ъакой-нибудь определенной частицы в объемы и, и ой соответственно через рг = уг/р )йг/М и рй ой/у йй/М, для средних (математических ожиданий) 6» 61 получим (пре й чл)) следующее: 11) 1«) 6„"Ь,'й)=11 р,р,+1 О р,(1 — р,)+0-1 (1 — р,)р + + О О (1 — р ) (1 — р,) = р,р,.
Так как всегда хотя бы одна пз двух величин 6» или 6» равна ,1) 19) нулю, то Поэтому п,п, = )1' (Лг — 1) р, р, = п,пй —.+~ /»и Ьпйлйй(п — нг)()г — пй) = п,пй — пг пй = — —. Если М очень велико по сравнению с й, и п„то ййй/))/ очень мало, и в пределе при Ж- /»и,г)гп О. (28.7) При этом обращается в нуль и «коэффициент корреляции» флуктуаций в объемах уг и у„равный ал ггл 1 й — Л Л /1/ 1 й )/ л,л )/л (1 — р)л (1 — р) алйалй 1 й Он представляет собой некоторую меру статистической связи меж- ду флуктуациями в этих объемах. 5 29.
Молекулярное рассеяние света Неоднородное распределение плотности нри флуктуациях ведет к тому, что среда получается оптически неоднородной, т. е. показатели преломления ее в разных точках несколько различаются. Это вызывает рассеяние света. Изучая его, можно судить о величине флуктуаций. Как мы сейчас увидим, для газов и жидкостей интенсивность света, рассеяннного телом какого-либо объема, пропорциональна среднему квадрату флуктуации числа его частиц. При вычислении интенсивности рассеянного света (видимого, ультрафиолетового или инфракрасного) можно представлять тело непрерывным и его оптические свойства описывать показателем преломления, мееяющямся в среде от точки к точке из-за флуктуаций.
Тогда можно пользоваться макроскопическимн гл. в. ткогия елтктглцин уравнениями электромагнитного поля: Е+4яр =его(Н, Н вЂ” сго$Е, (29 1) где Š— напряженность электрического поля, Н вЂ” напряженность магнитного поля, а Р— поляризация среды. Поляризация +аз — 4Е 4л Здесь е (з' — средняя оптическая диэлектрическая проницаемость среды (р — показатель преломления для света рассматриваемой частоты ю), е не зависит от координат, Ле — изменение оптической диэлектрической проницаемости благодаря флуктуациям, это — функция точки.
Решение задачи о распространении света в неоднородной среде значительно упрощается благодаря тому, что переменная часть диэлектрической проницаемостн Ле мала. Для этого решения мы можем представить поле в среде в виде суммы векторов поля падающей волны Е„Н„которое только бы и имело место, еслибы флуктуаций не было, и векторов поля, вызванного наличием флуктуаций, т. е. дополнительных векторов Е„Н,; таким образом, мы имеем (29.3) Е = Ер+ Ео Н = Но+ Нь Величины Е, и Н, представляют собой векторы поля рассеянного света, которые мы и должны вычислить. Для этого заметим, что наличие флуктуаций в среде вызывает появление добавочной поляризации, равной ЛР = — Е. 4я Принимая во внимание, что флуктуации малы и поэтому напряженность поля рассеянного света Е, мала по сравнению с Е„мы можем в этой формуле заменить Е на Ен пренебрегая при этом членом — „Е„имеющим порядок величины (Ле) .
Таким образом, ае 3 можно положить (29.4) Поскольку Е, и Ле должны считаться известными, величина ЬР задана, так что вопрос об определении Е, и Н, сводится к определению векторов поля в среде с диэлектрической пропицаемостью е по заданному распределению поляризации ЛР. Другими словами, поле определяется по заданному распределению электрических моментов в среде и будет, очевидно, равно сумме полей, вызванных изменением поляризации АР в отдельных объемах тела. Добавочная поляризация ЛР создает в объеме Ии электрический момент р ЛРИи.
Вызванное ею поле представляет собой поле диполл Герца с этим электрическим моментом. Э 29. МОЛЕКУЛЯРНОЕ РАССЕЯНИЕ СВЕТА Поле диполя*) монсет быть получено из вектора Герца П = Р('-'У7'") (29.5) ег (29.6) Пусть падающая световая волна — монохроматическая, линейпополяризованная с электрическими колебаниями в направлении оси г; ее амплитуду можно принять равной единице.
Тогда в точке, где находится объем с(и,имеем (292) Р = Р* = пР ссг = 4и Еес сэо= 4„в (29.8) Вектор Герца направлен по оси г и равен Ье сс гр'1 П = П, = — й ехр(ю~1 — /, 4и ег с/~ (29.9) где й — единичный вектор вдоль оси г. Векторы Е, и Н, получаются отсюда согласно (29.6), и на расстояниях от с(Р, больших по сравнению с длиной волны (в волновой зоне), вектор Е, направлен по меридиану сферической системы координат с полярной осью по оси г, а Н, — по параллели этой системы, причем со~ Ьес'с Мне . 1 гр'1 Е = Е,а =, ехр ио ~1 — — /.
4исег / Отношение среднего квадрата амплитуды Е, к квадрату амплитуды Е, (принятой нами за единицу) дает отношение плотности энергии рассеянного света к плотности падающего — отношение их интенсивностей. Эта величина равна с сос в(пе 9— — Ьеедуэ. ге (4лс г) Таким образом, необходимо найти величину Ле' для объема Ыш При решении оптической задачи мы считали объем с(и бесконечно малым. Однако было существенно только то, чтобы он был мал по сравнению с длиной волны. При статистическом подсчете величины йз' мы можем поэтому считать ЫР конечным. Нзмене- ° ) См., например: Сваи К.
Оаэ е1е)стгоюэяне11есЪе Ре14, 19с7, 3. 230; Теми я. й. Основы теории электричества.— 9-е иэд.— Мл Наука, 1976, $99. Здесь дано решение задачи при е 1. где с!г'с =с/(2 — скорость света в среде. Векторы Е, и Н, находятся по формулам Е„= Ч б(у П вЂ” —, П, Нг — го1 П. ГЛ.
3.'ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИЙ пие диэлектрической проницаемости Ьз в объеме ои определяется изменением плотности йр внутри пего. При этом, очевидно, гьрlр = (и — йуй йпlй, где п — число частиц, а й — среднее число частиц в объеме гЬ. разлагая Ье в ряд по степеням изменения плотности йр и сохраняя только линейный член разлоя1епия, имеем Ье = — йр. др (29Л2) Средний квадрат е равен л = ~'†,,;) л '. (29Л3) Подставляя это выражение в (29Л1), получим (29Л4) Это отношение выражает интенсивность света, рассеянного объемом ос, очень малым по сравнению с длиной волны. При наблюдении же мы имеем дело с объемом, большим по сравнению с длиной волны. Вообще говоря, чтобы получить интенсивность света, рассеянного таким большим объемом, нужно сложить поля света, рассеянного разными элементами этого объема, учитывая разности фаз между ними, и затем найти интенсивность для этого реаультирующего поля.
Однако в интересующих нас сейчас простых случаях (рассеяние в газе или в жидкости в состояниях, не очень близких к критической точке) можно решить задачу проще. Дело в том, что в этих случаях лучи света, рассеянного двумя какими-нибудь объемами ои, и ои„малыми по сравнению с длиной волны, некоге ренткы между собой.
Это вытекает из того, что в этих случаях флуктуации плотности для двух объемов оо, п ои, статистически независимыы между собой, а значит, Лр, Лр,=О. (29Л5) Для идеального газа это вытекает из совершенно строго доказанной нами формулы (28.6), выражающей независимость флуктуаций числа частиц в разных объемах. Принимая во внимание, что — Ьп Ап бар =р' — ' пп без труда получаем (29Л5). Для жидкости и неидеального газа эта неаависимость будет доказана в т 32. В этих случаях она имеет место, если размер объемов пи, и г)и, велик по сравнению с радиусом действия молекулярных сил, т. е. величиной порядка Ю-' см.
Следователыю, З 29. МОЛЕКУЛЯРНОЕ РАСССЯННЕ СВЕТА можно выбрать <(Р< п «(Рт так, чтобы это условие выполнялось и в то же время размер «(Р< и <(от бь«л мал по сравнению с длиной волны видимого света (10 ' см). Из (29.15) непосредственно следует некогерентность света, РассеЯнного Разнымн объемамп «(и< и <(Р<. Действительно, в силУ (29.10), (29.12) напряженность поля Е< света, рассеянного объемом «(и<,пропорциональна флуктуации плотности Ар< в атом объеме и может быть записана в виде К< А<йрь где А< обозначает не зависящий от Ьр< множитель. Интенсивность света, рассеянного объемом и, состоящим нз объемов ««и„<(и„..., пропорциональна (ЕР; здесь Š— напряженность поля света, рассеянного всем объемом ш Е =- ~ Е« = ~~Р~ А«Арь Средний квадрат Е равен ) Е )в = 1 ~ А«Ар« ~' = ~", ( А«(т Ар1«+ Х А«А; Ар«йрв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
