Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (1185134), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Ряд других флуктуационных явлений, например случайные отклонения поверхности жидкости от плоскости, также вызывает рассеяние света. В цепи проводников без внешних электро- движущих сил возникают флуктуационные случайные токи. Это явление было также изучено. При рассмотрении флуктуационных явлений мы будем пользоваться классической статистикой. В большом числе относящихся сюда задач она дает согласующиеся с опытом результаты.
Заметим, что во многих случаях зто связано с тем, что выводы ее совпадают с выводами квантовой статистики в том приближении, которое здесь оказывается достаточным. 3 25. Предел чувствительности измерителъных приборов, вызываемый флуктуациямн Наличие флуктуаций влечет за собой невозможность повысить чувствительность всех измерительных приборов выше некоторого предела, зависящего от температуры (и конструкции прибора). Этот предел чувствительности вызывается тем, что положение указателя любого прибора, как бы этот указатель ни был построен, изменяется при тепловом движении. Отсчет в приборе делается по среднему (равновесному) положению указателя; укатб М.
А. Леонтович ГЛ. 3. ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИЙ а«ьт 2 2 ' выражающего теорему о равномерном распределении энергии. Отсюда — 1т Д» = — р Если на весы положен груз т, то положение равновесия д, найдется из условия — ад, + л»я = О, шг или д,=— а При наличии нагрузки потенциальная энергия выразитси так: а (« — «,) а«« — — л»щ = 2 2 2' Поэтому, пользуясь теоремой о равномерном распределении энергии по степеням свободы, сейчас же находим, что средний квадгт рат флуктуации в случае нагрузки равен (с — д,)'= —,т. е.
а' тот же, что и без нее. Будем считать, что измерение массы и еще возможно, если вызванное ею смещение д, больше, чем корень квадратный из среднего квадрата флуктуации, т. е. д,) ~ф, или г /ьг ватель же при тепловом движении колеблется около этого среднего положения, что происходит и при отсчете нулевого положения прибора, и при отсчете после нагрузки его. За меру получающейся благодаря этому неточности отсчета можно взять квадратный корень из среднего квадрата отклонения указателя от его среднего положения. Эта неточность отсчета вызывает соответствующую ошибку и в измеряемой величине. Если измеряемая величина меньше такой ошибки, то измерение становится невозможным — это «предел чувствительности» данного прибора. Рассмотрим данный вопрос для простейшего и типичного случая пружинных весов, в которых «пружиной» служит стеклянный или кварцевый прут.
Такие весы иногда применяются для взвешивания малых масс. Пусть д — вертикальная координата указателя (прогиб конца стеклянного прута), отсчитываемая вниз, так что ев среднее значение для ненагруженного прибора равно нулю. Потенциальная энергия, соответствующая этой координате, равна ад«/2, где а — коэффициент, зависящий от упругости и размеров прибора. Средний квадрат д — средний квадрат флуктуации — легко найти из условия З 26. ФЛУКТУАЦИИ И ЧУВСТВИТВЛЬНОСТЬ ГАЛЬВАНОМВТРА 243 Наименьшая масса, которая может быть измерена, равна Ш = — "™.
игтм г Относительную ошибку йтlт, допущенную при взвешивании произвольной массы т, нужно считать равной Ьт ~ дз УЙТа ш д мг 5 26. Вляяние флуктуаций на предел чувствительности гальваиометра Выведем прежде всего соотношения, имеющие место для гальванометров любого устройства. Всякий гальванометр представляет собой систему, способную совершать малые колебания. Обозначим через ~р угол отклонения его подвижной системы (стрелки или рамки) от положения равновесия, череа К вЂ” момент ее инерции, через й — коэффициент трения и через Ср — направляющий момент при отклонении ф. Тогда при наличии в цепи гальванометра тока 1„вызванного внешними электродвижущими силами, уравнение его движения можно записать в виде К~+й~+Ср- (1., где т — некоторая постоянная. Затухание прибора будет определяться, во-первых, трением о воздух и в подвесе и, во-вторых, потерями на джоулево тепло в цепи гальванометра.
Механизм этого затухания несколько различный в гальванометрах разного устройства, Во всяком случае оно вызвано тормозящим действием, оказываемым на подвижную систему гальванометра магнитным полем токов, индуцируемых в проводниках при движении подвижной системы. Принимая во внимание, что Т1 равно моменту силы, действующему на подвижную систему при токе 1 в цепи гальванометра, мы должны поэтому заключить, что коэффициенты Ь и ( связаны между собой определенными соотношениями. Чтобы установить эту связь, не предполагая никакой специальной конструкции гальванометра, можно поступить следующим образом.
Подвижную систему гальванометра и цепь его тока можно рассматривать как связанную электромеханическую систему, состояние которой определяется координатой у, скоростью юр и силой тока в цепи 1, играющей также роль обобщенной скорости (соответствующая координата — заряд — не входитвуравнекия, т. е. является циклической).
Чтобы написать уравнение движения системы, можно воспользоваться методом Лагранжа. 26» гл. з. твогия эл1 ктглции Функцию Лагранжа Л пишем в виде 2Л Кб'+ 1.1' — С~р'+ 2щ1. Первые два члена етого выражения соответствуют кинетической, третий член — потенциальной внергин, последний член учитывает взаимодействие токов в цепи н в подвил<ной системе. Он должен быть написан именно в таком виде, так как его производная по у должна равняться моменту силы 71,действующему на подвижную систему благодаря присутствию токов в цепи. Есля ввести силу трения -Ьдр, силу электрического сопротивления — Л! и внешнюю алектродвижущую силу е, то уравнения Лагранжа будут иметь следующий вид: — —.— — =К~+Ср — 71= — й,~, Н дЛ дЛ д' д (26.1) д, — „=1 д, +ур= — Л1+д и дЛ дг (26.2) илп 1,1+ 7<р+ В1 е.
(26.3) Отсюда получим и т ' е (26.4) Мы пренебрежем здесь членом 1.1 по сравнению с В1. В случае свободных колебаний гальванометра это пренебрежение допустимо прп достаточно медленных процессах, что будет иметь место, если момент инерции К настолько значителен, что собственный период гальванометра велик по сравнению с временной постоянной цепи ЫН. Тогда, объединяя (26.4) и (26.1), получим К% + ( в + Ь~) р + С~р 71 (26.5) где 1, еИ вЂ” сила тока в цепи, вызванная внешними электро- движущими силами. Общий коэффициент трепля равен, таким образом, й= — '„'+5~ (26.6) Ф Ф ф (26.7) У Если, как это обычно бывает, гальванометр установлен на пределе Проградуировав гальванометр с помощью постоянного тока, его отклонения можно выразить в единицах силы тока.
Обозначим их в этих единицах через У. Из (26.5) видно (нужно положить = 0), что з та. флуктуации и чуВстВительнОсть РАльВАномвтРА 245 периодичности, то выполнено соотношение и = 2Кшо =' — ', (26.6) юе где ш« УС/К вЂ” собственная частота (циклическая) колебаний в гальваиометре (если бы и 0). (Найдем теперь предел чувствительности гальванометра, определяемый колебаниями его нулевой точки. При атом мы будем предполагать, что внешней влектродвижущей силы пет. Тогда средняя сила тока в гальваиометре будет равна нулю.
Если бы цепь гальваиометра была разомкнута, то функция Лагранжа дли $ 3 4 3 него была бы равна Л = — К~уз — — С«р и гальванометр можно 2 2 было бы рассматривать как гармонический осциллятор. Согласно закону равномерного распределения средний квадрат флуктуации его отклонения удовлетворяет соотношению Сбд - йТ (26.9) Если цепь гальванометра замкнута, то при движении рамкигальванометра в атой цепи возникают индукциоппые токи, взаимодействующие с внешним магнитным полем. Из-за этого в функции з Лагранжа появляется добавочный член 2 П*+щ|.
Однако, как следует пз подстрочного примечания«), выражение (26.9) остается справедливым и в атом случае.1 В единицах силы тока для отклонения получим — Сз — САТ уе 6)з 7 7 «) Строго говоря, для вывода соотношения (26.9) нужно поступать так: пользуясь выражением лагранжевой фуикцзш Л, находим импульсы дЛ дЛ рв= — -Нр рг= д| =||+77 де и функцию Гамильтона ° дЛ дЛ Ре (Рг — 77) Св Н= р —.'+| —,.
— Л= —.е+, + д| 2К 2Ь 2 де Примем закон равномерного распределения в виде дН дН ди р; — = ЬТ дз — =О и о — =АТ; ЕдРЗ ' З дР«Е дор тогда дН ° ° з дН дН вЂ” дН дЛ вЂ” з 7«р| Фд =фу=О, Ф д — % — С~р.— ~ ««ЬТ, (б) дрг ' де дю Из (а) и (б) следует (26.9). гл.
з. твогия влгктгхцин Если гальванометр работает на пределе периодичности, то в силу (26.8) с т~ 2т~ и для квадрата предела чувствительности находим Ьа г'з — ~~ *яТ. 2т Подставляя в согласии с (26.6) Ъ-Ь,+ "('/Л и вводя вместо ю собственный период гальванометра т,— 2н/е, (при отсутствии затухания), получим У=„"йТ 1+ (26.10) Если, наконец, затуханием трения Ь, можно пренебречь по сравпению с электромагнитным затуханием, то ьг лт (26.И) Эта формула дает для предела чувствительности гальванометра вполне измеримые и могущие быть замеченными экспериментально величины; например, при Л вЂ” 100 Ом н т, =8 с получается ~/У~ж 4 10 — мА. б 27. Флумгуацни объема, аанятого газом или жидкостью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
