Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (1185134), страница 43
Текст из файла (страница 43)
При этом предположении можно, очевидно, рассуждать так же, как н прежде, причем теперь )т' обозначает полное число всех атомов. Поэтому в данном случае теплоемкость тела равна сумме теплоемкостей соответствующих атомов. Из которых оно состоит. На первый взгляд кажется, что здесь мы имеем хорошее подтверждение выводов классической статистики. Однако прп ближайшем рассмотрении оказывается, что дело обстоит иначе. Таблица 24 с, налямоль К' с, налдмоль К с, ьалнмоль К1 Элемент Эъ мент Эле ент Са Аб Р1 5,60 6,11 6,11 5,99 5,94 6,4Т 1,44 2,64 5,51 Ао РЬ и С (алмаэ) В А) Экспериментальные данные о зависимости теплоемкостей твердых тел от температуры показывают (см.
табл. 2.4 и рис, 48) «), что только прн достаточно высоких температурах теплоемкость не зависит от температуры и имеет значение 6 кал/(моль ° К), в согласии с занопом Дюлонга н Птн и выводами классической «) Таблица молярных топлоомностей твердых элементов С, дана длн температур в интервале 15 — 100'С, 1 19. КЛАССИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА И ПЗЛУЧЕИПВ 223 теории. При иизких же температурах теплоемкость зависит от температуры; ояа падает с понижением температуры. Для ряда твердых элементов, например алмаза, кремния и бора, уже прм комнатной температуре теплоемкость имеет значение, зкачктелько меньшее 6 кал/(моль. К), Кроме того, в некоторых случаях, при очеиь высоких температурах, теплоемкость немного увеличивается и достигает иногда значения 7 кал/(моль К). Какое объясяеиие можно пытаться дать этим отклояеякямй Прежде всего можно было бы думать, что колебания частиц в твердом теле ие настолько малы, чтобы в выражении для потекциальиой энергии можно было ограничиться только членами, квадратичными относительно смещений от положений равновесия (или, что то же самое, в выражении для силы, действующем па отклоненную иа положения равновесия частицу, ограипчиться линейными членами).
Действительпо, в ряде вопросов это прибляхлеиие оказывается яедоетаточяым. Например, если пользоваться им, то температурный козффициеят расширения твердого тела получается равным нулю. Для объяснения теплового расширения нужно в потеяциальпой энергии учитывать кубпчкые относительно смещений члеяы (в силе — квадратичные члены). Для теплоемкостп при этом получается несколько отличное от полученного выше выражение, так как при учете кубичкых членов в потепциальной экергии (пеликейкые колебапия) средняя потенциальная экергия уже яэ равна средней кинетической.
Действительно, упомянутые небольшие отклокеяпя от закона Дюлокга и Пти прп высоких температурах, когда амплитуды смещений становятся большими, могут быть в некоторых случаях объясиепы этим путем. Однако основные резкие отклоиекия, имеющие место для всех тел при низкая температурах, этим путем объясккть нельзя. В самом деле, пи классической механике как раз при низких температурах амплитуды смещений частиц малы, и высшие члены в разложеиим потенциальной энергии по степеням смещения здесь ие могут играть роля. Мы можем, таким образом, сделать вывод, что (аиалогичяа тому, что мы видели для газов) для твердых тел классическая теория дает согласующиеся с опытом значения теплоемкостей только для достаточно высоких температур. Разрешение этих затрудяекий дала квантовая теория, примеиепие которой будет рассмотрено ниже.
э 19. Применение классической статистики к излучемию Кроме вещества, состоящего из молекул, атомов, алектрояов и других частиц, методы термодинамики применяются также к излучению. гл. г. основы классичкскон статистики Прн этом здесь, кроме вопроса о полной плотности энергии излучения, находящегося в термодинамическом равновесии с веществом определенной температуры, можно поставить вопрос о спектральном составе этого излучения. Пользуясь спектральными приборами, можно выделять определенные участки спектра н измерять их энергию.
Применяя законы термодинамики к равновесному излучению, находящемуся в вакууме, окруженном телами температуры Т, удается установить следующие дза закона: 1. Закон Стефана — Больцмана. Полная плотность равновесного излучения е пропорциональна четвертой степени температуры: е = аТ'. (19 1) 2. Закон смещения Вина. Плотность излучения е в интервале частот (ю,ю+Ню) можно записать в следующем виде." е - в')(ю/Т).
(19.2) Внд функции ~ остается неопределенным. Закон Вина можно выразить еще и в более частном виде, именно как соотношение между частотой в„, которой соответствует максимальная спектральная плотность энергии, и температурой: (19.3) ю !Т=сопз(. Действительно, для нахождення максимума е„дифференцнруем е, приравниваем нулю производную де„/да; получим ЗЯ+г —;64= . Вели разрешить это уравнение относительно ю IТ, то, очевидно, получим (19.3). Заметим, что прн выводе этих соотношений предполагается (в полном согласии с опытом), что равновесие между веществом и излучением возможно, и поэтому плотность е является совершенно определенной конечной величиной.
Заметим, что иа закона Вина заков Стефана — Больцмана вытекает как следствие. Действительно, в силу (19.2) е = ) ев Йо = ~ юз1 (<е(Т) Йо; е а полагая и/Т л, получим е = Т' ) хз) (л) дл = аТ4. $20. нОРмАльные кОлеБАния непРеРывных систем 225 Попытаемся применить к излучению методы классической статистики и определить таким образом плотность е„„Нужно, однако, иметь в виду, что излучение в одном отношении существенно отличается от систем, которые мы рассматривали до сих пор. Дело в том, что законы статистической физики были сформулированы нами для систем с конечным числозе степеней свободы.
Состояние такой системы определялось заданием конечного числа параметров — координат и импульсов (или координат и скоростей). Излучение же, другими словами, электромагнитное поле, мы рассматриваем (во всяком случае в классической теории) как непрерывное поле. Состояние электромагнитного поля определяется заданием двух непрерывных векторных функций точки — электрического вектора Е и магнитного вектора Н. Таким образом, для задания состояния электромагнитного поля нужно анать не конечное число параметров, а бесконечное число их, например, надо задать величины Е и Н в каждой точке поля. При таких условиях излучение представляет собой систему с бесконечным числом степеней свободы, и применение статистики к нему требует, в сущности, обобщения ее законов па системы с бесконечным числом степеней свободы.
Такое обобщение может быть сделано. Ниже (в $20) мы разберем этот вопрос болев детально. Сейчас же мы уже беа детального разбора этого вопроса покажем, к чему приводит применение классической статистики к излучению. Излучение, заключенное в некотором объеме, представляет собой систему с квадратичной энергией, равной Колебания электромагнитного поля — векторов Е и Н вЂ” можно рассматривать совершенно так же, как колебания координат и импульсов в квазиупругой системе со многими степенями свободы.
Поэтому мы вправе применить к ней теорему о равномерном распределении по степеням свободы. На каждую степень свободы такой системы при температуре Т приходится энергия йТ. Но общее число степеней свободы излучения бесконечно; поэтому Общая энергия излучения, равная величине ЙТ, умноженной на число степеней свободы, принимает бесконечное значение. Этот вывод находится в резком противоречии с экспериментом. Он показывает, в противоположность повседневному опыту, невоаможность равновесного излучения.
3 20. Нормальные колебания непрерывных систем В этом параграфе мы рассмотрим непрерывные системы с квадратичной потенциальной энергией, уравнения движения которых линейны. Мы разберем, как в этом случае можно ввести 15 М. А. Леоыеоеое ГЛ. Х ОСНОВЫ КЛАССИЧКСКОИ СТАТИСТИКИ да д"8 —,, =сз —,, (20Л) д22 дз" где с' = еlр е — модуль упругости, р — масса единицы длины стержня.
Если стержень зан<ат на концах и его концьг (х 0 и х Ы должны находиться в покое, то граничные условия имеют вид $(2, 0) =$(2, Л)-О. (20.2) Пользуясь известным методом решения краевых задач (разделение переменных), можем представить решение $(т,х), удовлетворяющее граничным условиям (20.2), в виде следующего ряда Фурье: ь ((ах) = ф~ — )' дв 8(п (20.3) ~! Коэффициенты д, этого ряда (вместе с соответствующими производными по времени а).) определяют состояние нашего стержня. Они могут, таким образом, рассматриваться как обобщенные координаты нашей системы. Путем подстановки в (20Л) убеждаемся, что д. должны удовлетворять уравнениям движения Да — — — 82аЯв, (20.4) где Фа=в ~ > зв=$в2вЗв ввв (20.5) Таким образом, каждая координата д, совершает простое гармоническое колебание с частотой еа..
Поэтому эти величины представляют собой нормальные координаты для нашей системы. В соответствии с этим кинетическая и потенциальная энер- гии стержня '=Б '=Я й' нормальные координаты, которыми удобно пользоваться для решения задач статистической физики, и как можно получить частоты нормальных колебаний. Выводы настоящего параграфа понадобятся нам в дальнейшем, поэтому разберем эти вопросы достаточно подробно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
